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2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题
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[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．
2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查．
3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．
【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
[解] (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)
[律方规法] 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和b的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度．
2．有关独立性检验的问题的解题步骤：(1)作出2×2列联表；(2)计算随机变量K2的值；(3)查临界值，检验作答．
科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施，某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：kg)．
对照组
12
15
21
23
26
24
35
35
34
32
51
52
49
46
43
53
44
61
63
43
实验组
23
32
34
36
42
41
51
59
46
43
43
45
52
67
65
65
62
56
55
58
(1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(2)若每株葡萄树的年产量不低于45 kg，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；
对照组
实验组
合计
产量高
产量一般
合计
(3)从“产量高”的数据中随意抽取3株做进一步科学研究中，计算恰好有2株来自实验组的概率．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋ d．
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解] (1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差．
(2)完成2×2列联表如下表所示：
对照组
实验组
合计
产量高
7
12
19
产量一般
13
8
21
合计
20
20
40
所以χ2的观测值
k＝≈2.506＜3.841.
所以没有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．
(3)记事件A为“这3株中恰好有2株来自实验组”，则P(A)＝＝.
所以恰好有2株来自实验组的概率为.
离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．
【例2】 (本题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．
机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的②
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，③
n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求④确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
[信息提取] 看到①这种条件，想到解题时可能要分类求解；
看到②想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义；
看到③想到X的所有可能取值；
看到④想到X和n的含义，想到(1)中的分布列．
[规范解答] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. ·················1分
由题意可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. ····································4分
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
·····························································6分
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故n的最小值为19. ···········································7分
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；···································9分
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. ··························································11分
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. ·······················································12分
[易错与防范]
易错点
防范措施
忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.
细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义.
忽视P(X≤n)≥0.5的含义，导致不会求解.
结合(1)中的分布列及n的含义，推理求解便可.
忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.
本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.
[通性通法] 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和均值、方差公式求解．
某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．
(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；
(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列及其数学期望E(X)．
[解] (1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，
甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，
第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，
而2张黑桃A的位置共有C＝10(种)．
所以P(M)＝＝.
(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.
由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为，
则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为.
当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝××＝；
当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝××＋××＋××＝；当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X＝2)＝××＝；
当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝××＋××＝＝；
当X＝5时，即三局甲都胜，P(X＝5)＝××＝.
所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为
X
0
1
2
3
5
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.
概率与统计的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
【例3】 (2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.682 6.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
[律方规法] 统计与概率的综合应用
(1)正态分布：若变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为x＝μ；σ为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性．
(2)二项分布：若变量X～B(n，p)，则X的期望E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．
某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．
参考数据：
≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954.
[解] (1)μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈(1－0.954)＝0.023，
设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则Y～B(82,0.023)．
Y的均值E(Y)＝82×0.023≈2.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数约为2.
[大题增分专训]
1．某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各个村进行综合评分，高分(大于等于88分)的村先给予5万元的基础奖励，然后比88分每高1分，奖励增加5千元，低分(小于等于75分)的村给予通报，取消5万元的基础奖励，且比75分每低1分，还要扣款1万元，并要求重新整改建设，分数在(75,88)之间的只享受5万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各10个村的得分数据(单位：分)：
甲：62,74,86,68,97,75,88,98,76,99；
乙：71,81,72,86,91,77,85,78,83,84.
(1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各10个村的得分的平均值及分散程度(不要求计算具体的数值，只给出结论即可)；
(2)为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率；
(3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？
[解] (1)茎叶图：
通过茎叶图可以看出，甲乡镇10个村的平均得分比乙乡镇10个村的平均得分高，甲乡镇10个村的得分比较分散，乙乡镇10个村的得分比较集中．
(2)由茎叶图可知甲乡镇10个村中低分的有4个，乙乡镇10个村中低分的有2个，所以从甲乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为＝，从乙乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为＝，故抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率为×＋×＋×＝.
(3)由茎叶图可知甲乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有4个，分别是88分、97分、98分、99分，奖励分共9＋10＋11＝30分，低分(小于等于75分)有4个，分别是75分、74分、68分、62分，扣款分共1＋7十13＝21分，分数在(75,88)之间的有2个，故甲乡镇所获奖励为6×5＋30×0.5－21×1＝30＋15－21＝24万元．
由茎叶图可知乙乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有1个，为91分，奖励分共3分，低分(小于等于75分)有2个，分别是71分、72分，扣款分共4＋3＝7分，分数在(75,88)之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×5＋3×0.5－7×1＝40＋1.5－7＝34.5万元．
故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多．
2．(2018·太原二模)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测．甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下所示．
甲套设备的样本频数分布表
质量指标值
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
乙套设备的样本频率分布直方图
(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
(2)根据以上数据，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；
(3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的数学期望E(X)．
附：
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
χ2＝.
[解] (1)根据题中数据填写列联表如下：
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
由列联表得χ2＝≈3.053.
∵3.053＞2.706，
∴有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．
(2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备．
(3)由题知，X～B，
∴E(X)＝3×＝.
3．(2018·石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y＝bx＋a(系数精确到0.01)；
(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日销量，z∈[1 800,2 000)，则每位员工每日奖励100元；z∈[2 000,2 100)，则每位员工每日奖励150元；z∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N(2 000,10 000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)
参考数据：xiyi＝338.5，x＝1 308，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1,2,3，…，8.
参考公式：
①对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b.
②若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ，μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ，μ＋2σ)＝0.954 5.
[解] (1)由题可得＝11，＝3，
将数据代入得b＝
＝
＝≈0.219，
a＝－b≈3－0.219×11≈0.59，
所以y关于x的回归方程y＝0.22x＋0.59.
(2)由题知该网站6月份日销量z服从正态分布N(2 000,10 000)，
则日销量在[1 800,2 000)上的概率为＝0.477 25，
日销量在[2 000,2 100)上的概率为＝0.341 35 ，
日销量在[2 100，＋∞)上的概率为＝0.158 65，
所以某位员工当月奖励金额的总数为
(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．
[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．
2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查．
3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．
【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
[解] (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)
[律方规法] 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和b的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度．
2．有关独立性检验的问题的解题步骤：(1)作出2×2列联表；(2)计算随机变量K2的值；(3)查临界值，检验作答．
科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施，某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：kg)．
对照组
12
15
21
23
26
24
35
35
34
32
51
52
49
46
43
53
44
61
63
43
实验组
23
32
34
36
42
41
51
59
46
43
43
45
52
67
65
65
62
56
55
58
(1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(2)若每株葡萄树的年产量不低于45 kg，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；
对照组
实验组
合计
产量高
产量一般
合计
(3)从“产量高”的数据中随意抽取3株做进一步科学研究中，计算恰好有2株来自实验组的概率．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋ d．
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解] (1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差．
(2)完成2×2列联表如下表所示：
对照组
实验组
合计
产量高
7
12
19
产量一般
13
8
21
合计
20
20
40
所以χ2的观测值
k＝≈2.506＜3.841.
所以没有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．
(3)记事件A为“这3株中恰好有2株来自实验组”，则P(A)＝＝.
所以恰好有2株来自实验组的概率为.
离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．
【例2】 (本题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．
机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的②
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，③
n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求④确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
[信息提取] 看到①这种条件，想到解题时可能要分类求解；
看到②想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义；
看到③想到X的所有可能取值；
看到④想到X和n的含义，想到(1)中的分布列．
[规范解答] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. ·················1分
由题意可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. ····································4分
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
·····························································6分
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故n的最小值为19. ···········································7分
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；···································9分
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. ··························································11分
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. ·······················································12分
[易错与防范]
易错点
防范措施
忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.
细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义.
忽视P(X≤n)≥0.5的含义，导致不会求解.
结合(1)中的分布列及n的含义，推理求解便可.
忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.
本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.
[通性通法] 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和均值、方差公式求解．
某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．
(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；
(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列及其数学期望E(X)．
[解] (1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，
甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，
第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，
而2张黑桃A的位置共有C＝10(种)．
所以P(M)＝＝.
(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.
由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为，
则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为.
当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝××＝；
当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝××＋××＋××＝；当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X＝2)＝××＝；
当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝××＋××＝＝；
当X＝5时，即三局甲都胜，P(X＝5)＝××＝.
所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为
X
0
1
2
3
5
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.
概率与统计的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
【例3】 (2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.682 6.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
[律方规法] 统计与概率的综合应用
(1)正态分布：若变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为x＝μ；σ为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性．
(2)二项分布：若变量X～B(n，p)，则X的期望E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．
某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．
参考数据：
≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954.
[解] (1)μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈(1－0.954)＝0.023，
设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则Y～B(82,0.023)．
Y的均值E(Y)＝82×0.023≈2.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数约为2.
[大题增分专训]
1．某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各个村进行综合评分，高分(大于等于88分)的村先给予5万元的基础奖励，然后比88分每高1分，奖励增加5千元，低分(小于等于75分)的村给予通报，取消5万元的基础奖励，且比75分每低1分，还要扣款1万元，并要求重新整改建设，分数在(75,88)之间的只享受5万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各10个村的得分数据(单位：分)：
甲：62,74,86,68,97,75,88,98,76,99；
乙：71,81,72,86,91,77,85,78,83,84.
(1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各10个村的得分的平均值及分散程度(不要求计算具体的数值，只给出结论即可)；
(2)为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率；
(3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？
[解] (1)茎叶图：
通过茎叶图可以看出，甲乡镇10个村的平均得分比乙乡镇10个村的平均得分高，甲乡镇10个村的得分比较分散，乙乡镇10个村的得分比较集中．
(2)由茎叶图可知甲乡镇10个村中低分的有4个，乙乡镇10个村中低分的有2个，所以从甲乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为＝，从乙乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为＝，故抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率为×＋×＋×＝.
(3)由茎叶图可知甲乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有4个，分别是88分、97分、98分、99分，奖励分共9＋10＋11＝30分，低分(小于等于75分)有4个，分别是75分、74分、68分、62分，扣款分共1＋7十13＝21分，分数在(75,88)之间的有2个，故甲乡镇所获奖励为6×5＋30×0.5－21×1＝30＋15－21＝24万元．
由茎叶图可知乙乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有1个，为91分，奖励分共3分，低分(小于等于75分)有2个，分别是71分、72分，扣款分共4＋3＝7分，分数在(75,88)之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×5＋3×0.5－7×1＝40＋1.5－7＝34.5万元．
故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多．
2．(2018·太原二模)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测．甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下所示．
甲套设备的样本频数分布表
质量指标值
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
乙套设备的样本频率分布直方图
(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
(2)根据以上数据，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；
(3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的数学期望E(X)．
附：
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
χ2＝.
[解] (1)根据题中数据填写列联表如下：
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
由列联表得χ2＝≈3.053.
∵3.053＞2.706，
∴有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．
(2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备．
(3)由题知，X～B，
∴E(X)＝3×＝.
3．(2018·石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y＝bx＋a(系数精确到0.01)；
(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日销量，z∈[1 800,2 000)，则每位员工每日奖励100元；z∈[2 000,2 100)，则每位员工每日奖励150元；z∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N(2 000,10 000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)
参考数据：xiyi＝338.5，x＝1 308，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1,2,3，…，8.
参考公式：
①对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b.
②若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ，μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ，μ＋2σ)＝0.954 5.
[解] (1)由题可得＝11，＝3，
将数据代入得b＝
＝
＝≈0.219，
a＝－b≈3－0.219×11≈0.59，
所以y关于x的回归方程y＝0.22x＋0.59.
(2)由题知该网站6月份日销量z服从正态分布N(2 000,10 000)，
则日销量在[1 800,2 000)上的概率为＝0.477 25，
日销量在[2 000,2 100)上的概率为＝0.341 35 ，
日销量在[2 100，＋∞)上的概率为＝0.158 65，
所以某位员工当月奖励金额的总数为
(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．
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