2020高考数学理科大一轮复习导学案：第十章概率10.7

知识点一　　　　随机变量的有关概念

1．随机变量

随着试验结果的不同而变化的变量，常用大写字母X，Y，…表示．

2．离散型随机变量

所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量．

1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　C　)

A．取到产品的件数

B．取到正品的概率

C．取到次品的件数

D．取到次品的概率

解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

2．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的取值为(　C　)

A．0,1  B．1,2

C．0,1,2  D．0,1,2,3

解析：因为8件产品中有2件次品，所以表示次品件数ξ的取值为0,1,2.

知识点二　　　　离散型随机变量的分布列及性质

1．若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn；取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

　　称为离散型随机变量X的概率分布列．

2．性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；

(2)i＝1.

3．(选修2－3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：

则p为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.

4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝.

解析：由已知得X的所有可能取值为0,1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，

由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，

得P(X＝0)＝.

知识点三　　　　常见离散型随机变量的分布列

1．两点分布：若随机变量X分布列为

，其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．

2．超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．

5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.

6．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球．设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为

.

解析：ξ可取0,1,2.

又P(ξ＝0)＝＝0.1，

P(ξ＝1)＝＝0.6，

P(ξ＝2)＝＝0.3.

∴ξ的分布列为

1．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．

2．要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．

3．超几何分布的特点

(1)随机变量X的取值范围是{0,1,2，…，m}，其中m＝min{M，n}．

(2)随机变量取某个值时的概率属古典概型．

考向一　　　　离散型随机变量分布列的性质

【例1】　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q的值为(　　)

A．1   B.±

C.－   D.＋

(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P<X<的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　(1)由分布列的性质知

解得q＝－.

(2)由×a＝1，知a＝1，得a＝.

故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.

【答案】　(1)C　(2)D

离散型随机变量的分布列的性质的应用

(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；

(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

设离散型随机变量X的分布列为

求2X＋1的分布列．

解：由分布列的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.

列表

所以2X＋1的分布列为

考向二　　　　离散型随机变量分布列的求法

【例2】　(2019·长沙模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：

(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；

(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．

【解】　(1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P＝·＋·＝×＋×＝.

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝·＝×＝，

P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝，

P(ξ＝3)＝·＝×＝，

∴ξ的分布列是

离散型随机变量分布列的求解步骤

(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．

(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．

(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．

(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．

(2019·长春质量监测)某市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；

(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望．

解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.

(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝20)＝＝＝，

P(X＝40)＝＝＝，

P(X＝60)＝＝＝，

则X的分布列为

即E(X)＝0×＋20×＋40×＋60×＝.

考向三　　　　超几何分布

【例3】　(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

【解】　(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．

由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.

所以，事件A发生的概率为.

超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：

1考察对象分两类；

2已知各类对象的个数；

3从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.)

某人在甲、乙两社区各经营一个小士多店，他记录了连续25天的营业额(单位：拾元)，结果用茎叶图表示如下：

(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论；

(2)若从两店营业额超过3 300元的天中随机抽取4天作进一步分析，设抽到甲店的天数为X，求X的均值．

解：(1)由茎叶图可以得到如下结论：

①乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数．

②甲店营业额较乙店营业额更分散．(或：乙店营业额较甲店营业额更集中(稳定)．甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大)．

③甲店营业额的中位数为3 070元，乙店营业额的中位数为3 180元．

④乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)．甲店营业额除一个特殊值(3 520)外，也大致对称，其分布较均匀．

(2)由茎叶图可知，两店营业额超过3 300元的共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天．

由题意得X可能的取值为0,1,2,3,4，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.

于是，X的概率分布列如下：

故X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.