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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第九章 平面解析几何9.4
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§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.
dr⇔相离.
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
概念方法微思考
1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.
2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ )
题组二 教材改编
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1] B.[－1,3]
C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B
解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2
答案 2
解析 由
得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
题组三 易错自纠
5.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A.[－，]
B.[－2，2]
C.[－－1，－1]
D.[－2－1,2－1]
答案 D
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，
解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
6. (2018·鄂尔多斯模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案 C
解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，
则|a|＝，
解得a＝5＋2或a＝5－2，
可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，
故|C1C2|＝＝8，故选C.
7.过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________.
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，
∵|OA|＝＝>2，∴点A(3,5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
例2 已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 4
解析 把圆的方程化成标准方程为
(x－3)2＋(y－4)2＝9，
所以圆心坐标为(3,4)，半径r＝3，
所以圆心到直线12x－5y＝3的距离
d＝＝1，
则|AB|＝2＝4.
命题点3 切线问题
例3 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程.
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法
①几何法：利用d与r的关系.
②代数法：联立方程之后利用Δ判断.
③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________.
答案 相交
解析 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交.
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
答案 2
解析 设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(3)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
题型二 圆与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例4 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切.
解 将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，
则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝，k<50.
从而|C1C2|＝＝5.
当|－1|<5<＋1，即4<<6，
即14
当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切.
所以当k＝14或k＝34时，两圆相切.
命题点2 公共弦问题
例5 已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(1)证明 由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，∴|r1－r2|
(2)解 圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离
d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法
两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
(3)两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案 B
解析 ∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2<|MN|
答案 x－2y＋6＝0
解析 两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.
即x－2y＋6＝0.
1.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(121，＋∞)
C.[1,121] D.(1,121)
答案 C
解析 x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为
(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝＝5，
若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，
所以1≤m≤121.故选C.
2. (2018·沈阳调研)直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长为( )
A. B.
C.4 D.3
答案 A
解析 圆(x－1)2＋(y－3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r＝，圆心(1,3)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝＝，故弦|AB|＝2＝，故选A.
3.已知直线l：xcos α＋ysin α＝2(α∈R)，圆C：x2＋y2＋2xcos θ＋2ysin θ＝0(θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与α，θ有关
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋2xcos θ＋2ysin θ＝0(θ∈R)，即(x＋cos θ)2＋(y＋sin θ)2＝1(θ∈R)，圆心C的坐标为(－cos θ，－sin θ)，半径为r＝1.圆心C到直线l：xcos α＋ysin α＝2(α∈R)的距离
d＝
＝2＋cos(θ－α).
当cos(θ－α)＝－1时，d＝r，直线l和圆C相切；
当－1r，直线l和圆C相离，故选D.
4. (2018·包头模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A.y＝－ B.y＝－
C.y＝－ D.y＝－
答案 B
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
5.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 C
解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).
6.(2018·东北三省联考)直线x＋2y＋m＝0(m>0)与⊙O：x2＋y2＝5交于A，B两点，若|＋|>2||，则m的取值范围是( )
A.(，2) B.(2，5)
C.(，5) D.(2，)
答案 B
解析 ∵直线x＋2y＋m＝0与⊙O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，∴O点到直线x＋2y＋m＝0的距离d<.
记＋＝，则四边形OADB是菱形，且||＝2d.
∵|＋|>2||，∴2d>2||，
即d>||＝2，解得d>2.
又d<，∴2
7.(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得y2－3y＋6＝0，
解得x1＝－3，y1＝；x2＝0，y2＝2，
∴A(－3，)，B(0,2).
过A，B作l的垂线方程分别为
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
8.过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
答案
解析 由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，
∵P(1，)，∴PB⊥x轴，
|PA|＝|PB|＝.
∴△POA为直角三角形，
其中|OA|＝1，|AP|＝，
则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝.
9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.
答案
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.
故k的最大值是.
10.(2018·大连模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，则＋的最小值为____________.
答案
解析 圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，则直线l与圆C相离，设圆心到直线的距离为d，则d－r＝1，可得＝6，解得m＝－55或m＝5(舍去).
因为点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，
所以3a＋4b＝55，a>0，b>0.
则＋＝(3a＋4b)
＝
≥＝，
当且仅当a＝－55＋，b＝55－时取等号.
11.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程.
解 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件.
当l的斜率存在时，设斜率为k，
得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0).
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝ ＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的取值范围为[2－2，2＋2].
13.(2018·呼伦贝尔质检)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是( )
A.m≤1或m≥2 B.2≤m≤8
C.－2≤m≤10 D.m≤－2或m≥8
答案 C
解析 如图，
设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及|MA|＝|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|＝＝2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l的距离d＝≤2，即m2－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C.
14.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________.
答案 4
解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1所在直线对称，
∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，
∴|AB|＝2×＝4.
15.已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点( )
A. B.
C.(1,2) D.(9,0)
答案 C
解析 因为P是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB为圆x2＋y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
易知圆C的方程是
2＋2＝， ①
又x2＋y2＝9， ②
②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，
即公共弦AB所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，
即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，
由得x＝1，y＝2.
所以直线AB恒过定点(1,2)，故选C.
16.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，求实数t的取值范围.
解 由题意可得直线AB的方程为x＝y＋1，与y2＝4x联立消去x，可得y2－4y－4＝0，显然Δ＝16＋16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
设E(xE，yE)，则yE＝＝2，xE＝yE＋1＝3，
又|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋1＋y2＋1＋2＝8，
所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，
所以点D恒在圆E外.
圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，
即圆E上存在点P，Q，
使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，则∠P′DQ′≥，
所以＝≥，
整理得t2－4t－≤0，解得2－≤t≤2＋，
故实数t的取值范围为.
最新考纲
考情考向分析
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.
d
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
概念方法微思考
1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.
2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ )
题组二 教材改编
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1] B.[－1,3]
C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B
解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2
答案 2
解析 由
得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
题组三 易错自纠
5.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A.[－，]
B.[－2，2]
C.[－－1，－1]
D.[－2－1,2－1]
答案 D
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，
解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
6. (2018·鄂尔多斯模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案 C
解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，
则|a|＝，
解得a＝5＋2或a＝5－2，
可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，
故|C1C2|＝＝8，故选C.
7.过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________.
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，
∵|OA|＝＝>2，∴点A(3,5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
例2 已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 4
解析 把圆的方程化成标准方程为
(x－3)2＋(y－4)2＝9，
所以圆心坐标为(3,4)，半径r＝3，
所以圆心到直线12x－5y＝3的距离
d＝＝1，
则|AB|＝2＝4.
命题点3 切线问题
例3 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程.
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法
①几何法：利用d与r的关系.
②代数法：联立方程之后利用Δ判断.
③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________.
答案 相交
解析 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交.
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
答案 2
解析 设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(3)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
题型二 圆与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例4 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切.
解 将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，
则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝，k<50.
从而|C1C2|＝＝5.
当|－1|<5<＋1，即4<<6，
即14
当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切.
所以当k＝14或k＝34时，两圆相切.
命题点2 公共弦问题
例5 已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(1)证明 由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，∴|r1－r2|
(2)解 圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离
d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法
两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
(3)两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案 B
解析 ∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2<|MN|
答案 x－2y＋6＝0
解析 两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.
即x－2y＋6＝0.
1.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(121，＋∞)
C.[1,121] D.(1,121)
答案 C
解析 x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为
(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝＝5，
若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，
所以1≤m≤121.故选C.
2. (2018·沈阳调研)直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长为( )
A. B.
C.4 D.3
答案 A
解析 圆(x－1)2＋(y－3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r＝，圆心(1,3)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝＝，故弦|AB|＝2＝，故选A.
3.已知直线l：xcos α＋ysin α＝2(α∈R)，圆C：x2＋y2＋2xcos θ＋2ysin θ＝0(θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与α，θ有关
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋2xcos θ＋2ysin θ＝0(θ∈R)，即(x＋cos θ)2＋(y＋sin θ)2＝1(θ∈R)，圆心C的坐标为(－cos θ，－sin θ)，半径为r＝1.圆心C到直线l：xcos α＋ysin α＝2(α∈R)的距离
d＝
＝2＋cos(θ－α).
当cos(θ－α)＝－1时，d＝r，直线l和圆C相切；
当－1
4. (2018·包头模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A.y＝－ B.y＝－
C.y＝－ D.y＝－
答案 B
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
5.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 C
解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).
6.(2018·东北三省联考)直线x＋2y＋m＝0(m>0)与⊙O：x2＋y2＝5交于A，B两点，若|＋|>2||，则m的取值范围是( )
A.(，2) B.(2，5)
C.(，5) D.(2，)
答案 B
解析 ∵直线x＋2y＋m＝0与⊙O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，∴O点到直线x＋2y＋m＝0的距离d<.
记＋＝，则四边形OADB是菱形，且||＝2d.
∵|＋|>2||，∴2d>2||，
即d>||＝2，解得d>2.
又d<，∴2
7.(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得y2－3y＋6＝0，
解得x1＝－3，y1＝；x2＝0，y2＝2，
∴A(－3，)，B(0,2).
过A，B作l的垂线方程分别为
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
8.过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
答案
解析 由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，
∵P(1，)，∴PB⊥x轴，
|PA|＝|PB|＝.
∴△POA为直角三角形，
其中|OA|＝1，|AP|＝，
则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝.
9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.
答案
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.
故k的最大值是.
10.(2018·大连模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，则＋的最小值为____________.
答案
解析 圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，则直线l与圆C相离，设圆心到直线的距离为d，则d－r＝1，可得＝6，解得m＝－55或m＝5(舍去).
因为点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，
所以3a＋4b＝55，a>0，b>0.
则＋＝(3a＋4b)
＝
≥＝，
当且仅当a＝－55＋，b＝55－时取等号.
11.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程.
解 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件.
当l的斜率存在时，设斜率为k，
得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0).
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝ ＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的取值范围为[2－2，2＋2].
13.(2018·呼伦贝尔质检)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是( )
A.m≤1或m≥2 B.2≤m≤8
C.－2≤m≤10 D.m≤－2或m≥8
答案 C
解析 如图，
设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及|MA|＝|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|＝＝2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l的距离d＝≤2，即m2－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C.
14.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________.
答案 4
解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1所在直线对称，
∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，
∴|AB|＝2×＝4.
15.已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点( )
A. B.
C.(1,2) D.(9,0)
答案 C
解析 因为P是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB为圆x2＋y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
易知圆C的方程是
2＋2＝， ①
又x2＋y2＝9， ②
②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，
即公共弦AB所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，
即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，
由得x＝1，y＝2.
所以直线AB恒过定点(1,2)，故选C.
16.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，求实数t的取值范围.
解 由题意可得直线AB的方程为x＝y＋1，与y2＝4x联立消去x，可得y2－4y－4＝0，显然Δ＝16＋16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
设E(xE，yE)，则yE＝＝2，xE＝yE＋1＝3，
又|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋1＋y2＋1＋2＝8，
所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，
所以点D恒在圆E外.
圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，
即圆E上存在点P，Q，
使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，则∠P′DQ′≥，
所以＝≥，
整理得t2－4t－≤0，解得2－≤t≤2＋，
故实数t的取值范围为.
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