2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第八章第六节空间向量的运算及应用

第六节空间向量的运算及应用

1．空间向量及其有关概念

概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝

3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
4．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0

1．空间向量基本定理的3点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
2．有关向量的数量积的2点提醒
(1)若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·ca＝c.
(2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一
[熟记常用结论]
1．证明空间任意三点共线的方法
　对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝λ (λ∈R);
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
　 对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1) ＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3) ∥ (或∥或∥ )．
3．确定平面的法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．
(2)待定系数法：取平面内的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由解方程组求得．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)
(2)若两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　)
(3)已知＝(2,2,1)， ＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±.(　　)
(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1⊥n2⇔α⊥β.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
二、选填题
1．若O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)
A．，，共线　　　　 B．，共线
C．，共线 D．O，A，B，C四点共面
解析：选D　∵向量，，不能构成空间的一个基底，∴向量，，共面，因此O，A，B，C四点共面，故选D.
2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．1,1 B.1，
C.， D.，1
解析：选C　＝＋＝＋＝＋，故x＝，y＝.
3．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)
A．2， B.－，
C．－3,2 D．2,2
解析：选A　∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)，
即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴解得或故选A.
4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　)
A．3 B.6
C．－9 D．9
解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，
∴z＝－9.
5．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.
解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，
故|b|＝＝2.
答案：2
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．
解析：由题意，可设a＝xb＋yc，
故(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，
即解得λ＝.
答案：


考点一 空间向量的线性运算 [基础自学过关]
[题组练透]
1.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c　　　　 B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析：选A　＝＋＝AA1＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
2.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；
(2) ；
(3)＋.
解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝a＋c，
∴＋＝＋＝a＋b＋c.
[名师微点]
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
考点二 共线、共面向量定理的应用 [基础自学过关]
[题组练透]
1．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
解析：∵＝(3，－1,1)，＝(m＋1，n－2，－2)，
且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ.
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.
∴m＋n＝－3.
答案：－3
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，， 三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解：(1)由已知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面．
(2)由(1)知，，共面且过同一点M.
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
3.如图所示，已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面．
解：∵＝k，＝k，
∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝kB1A―→＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
[名师微点]
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y即可．对空间任意一点O，若＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．
考点三 空间向量数量积及应用 [师生共研过关]
[典例精析]
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1) ·；(2) ·.
[解]　设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
(1)因为＝＝(AD－AB)＝c－a，＝－a，
所以·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)·＝(＋)·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝－＋＋－＋－＝.
[解题技法]
空间向量数量积的3个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题

[过关训练]
　如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD.
解：(1)设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，
∴||＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝.
∴线段AC1的长为.
(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈， 〉|＝.
∵＝a＋b＋c，＝b－c，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
||＝＝
＝＝.
∴cos θ＝＝＝.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明：∵＝c，＝b－a，
∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即AA1⊥BD.

考点四 利用向量证明平行与垂直问题 [师生共研过关]
[典例精析]
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
[证明]　以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.
设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E.
因为底面ABCD是正方形，
所以G为AC的中点
故点G的坐标为，
所以＝(a,0，－a)，＝，
则＝2，故PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，所以＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，
所以PB⊥DE.
由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
[解题技法]
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．
[提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
[过关训练]
如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.
则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，＝(－8，0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝，又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM，
又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.

一、题点全面练
1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．－9
C．－3 D．3
解析：选B　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.
2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)
A．α∥β B.α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：选C　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．
3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B.0
C．1 D．不确定
解析：选B　如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　　)
A．x＝，y＝，z＝ B.x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝
解析：选D　设＝a，＝b，＝c，∵点G分MN所成的比为2，∴＝，∴＝＋＝＋(－)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.
5.如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选D　∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，∴||＝.
6.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________________.
解析：∵＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.
解析：连接PD(图略)，∵M，N分别为CD，PC的中点，∴MN＝PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，
∴PD＝＝，∴MN＝.
答案：
8．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点， ＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．
因为底面边长为1，侧棱长为2，
所以A，B1，
C，C1，
M(0,0,0)，设N，
因为＝λ，所以N，
所以＝，＝.
又因为AB1⊥MN，所以·＝0.
所以－＋＝0，所以λ＝15.
答案：15
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．

解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.
又∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
当〈，〉＝60°时，2＝4；
当〈，〉＝120°时，2＝2.
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
10.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．
(1)试用向量，，表示；
(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.
解：(1)设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c＋b＋＝a＋b＋c＝＋＋.
故AG＝AB＋AD＋AA1.
(2)证明：＝＋＝a＋b，
＝＋＝b＋a＝，
∵EG与AC无公共点，
∴EG∥AC，
∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，
∴EG∥平面AB1C.
又∵＝＋＝a＋c，
＝＋＝c＋a＝，
∵FG与AB1无公共点，
∴FG∥AB1，
∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，
∴FG∥平面AB1C.
又∵FG∩EG＝G，FG⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，
∴平面EFG∥平面AB1C.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件 B.充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n (m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
2．空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为(　　)
A．共线 B.共面
C．不共面 D．无法确定
解析：选C　＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y (x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.
3．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P (1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
解析：由题意，设＝λ，则OQ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时取最小值，此时Q点坐标是.
答案：
4．已知四面体P­ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，则|＋＋|＝________.
解析：∵在四面体P­ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，∴·＝1×2×cos 60°＝1，·＝2×3×cos 60°＝3，·＝1×3×cos 60°＝，∴|＋＋|＝
＝＝5.
答案：5
(二)素养专练——学会更学通
5．[数学建模、数学运算]
如图，在四面体A­BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
求证：PQ∥平面BCD.
证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.
由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)．
因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．
又P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，
故·a＝0.
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
6.[数学建模、数学运算]如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
证明：(1)取BC的中点O，连接PO，
∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC.
∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.