2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 学案


第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
2019考纲考题考情



1．直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac
Δ＞0
相交
Δ＝0
相切
Δ＜0
相离
几何法
计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系。相交时弦长为2
d＜r
相交
d＝r
相切
d＞r
相离
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)。
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解

续表
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
内切
d＝|r1－r2|
(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|
(r1≠r2)
无解
3.两圆公切线的条数
位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
公切线条数
0
1
2
3
4

1．关注一个直角三角形
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形。
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0。

一、走进教材
1．(必修2P128练习T4改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。
答案　C
2．(必修2P133A组T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________。
解析　由得x－y＋2＝0。又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝。由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2。
答案　2
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析　因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，r＝，△ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝|AB|·d＝d，又圆心到直线的距离d′＝＝2，则dmax＝3，dmin＝，所以2≤S≤6。故选A。
答案　A
4．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．
解析　设双曲线的渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0。圆的半径为2，弦长为2。圆心(2,0)到直线的距离为，则＝，即＝，得＝，所以＝，所以1－2＝，所以1－＝，所以e＝2。故选A。
答案　A
三、走出误区
微提醒：①忽视分两圆内切与外切两种情形；②忽视切线斜率k不存在的情形；③求弦所在直线的方程时遗漏一解。
5．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________。
解析　两圆的圆心距d＝，由两圆相切，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0。
答案　±2或0
6．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________。
解析　由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0。综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0。
答案　x＝3或4x＋3y－15＝0
7．若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为______________。
解析　当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意。当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，则圆心到直线的距离d＝，则2＝8，解得k＝－，所以直线方程为3x＋4y＋15＝0。综上所述，所求直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0。
答案　x＝－3或3x＋4y＋15＝0

考点一 直线与圆的位置关系
【例1】　(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A．(－，) B．[－，]
C． D．
解析　数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤。故选D。

解析：数形结合可知，直线l的斜率存在，设为k，当k＝1时，直线l的方程为x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为＝>1，直线与圆相离，故排除A，B；当k＝时，直线l的方程为x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为＝1，直线与圆相切，排除C。故选D。

答案　D


判断直线与圆的位置关系的常见方法
1．几何法：利用d与r的关系。
2．代数法：联立方程之后利用Δ判断。
3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。
【变式训练】　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交。
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，故直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交。故选C。
答案　(1)B　(2)C
考点二 圆的弦长问题微点小专题
方向1：圆的弦长问题
【例2】　(2019·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析　因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，因为d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0。故选B。
答案　B


有关弦长问题通常有两种方法：(1)几何法；(2)代数法。对于几何法通常要构造直角三角形，但要注意斜率不存在这种特殊情况。
方向2：有关最值问题
【例3】　(2019·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________。
解析　令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－。

答案　－


有关最值问题要充分考虑最值的几何意义，比如本例当OA⊥OB时S△AOB最大。
【题点对应练】　
1．(方向1)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．4
解析　根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±，所以|MN|＝2。故选A。
答案　A
2．(方向2)在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是________。
解析　由圆的方程知，圆心C(m,2)，半径r＝2，所以S△ABC＝r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，所以当∠ACB＝时，S△ABC取得最大值20，此时△ABC为等腰直角三角形，|AB|＝r＝4，则点C到AB的距离为2，所以2≤|PC|<2，即2≤<2，解得－3 答案　(－3，－1]∪[7,9)
考点三 圆与圆的位置关系
【例4】　已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0。
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长。
解　(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，
所以|r1－r2| 所以圆C1和C2相交。
(2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0。圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离
d＝＝3，
故公共弦长为2＝2。


两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解。
【变式训练】　(1)(2019·佛山调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3}
C．{1，－1} D．{3，－3}
(2)(2019·湖北联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3　 　 　B．4 C．2　　　D．8
解析　(1)圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1，3，－3。故选A。
(2)连接O1A、O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C。在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，所以AB＝2AC＝4。故选B。

答案　(1)A　(2)B

1．(配合例2使用)设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则|AB|＝________。
解析　因为点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1。又圆心在直线l：x＋y＝0上，所以m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径R＝，所以圆心到直线y＝x＋1的距离d＝，所以|AB|＝2＝。
答案　
2．(配合例3使用)过定点P(－2,0)的直线l与曲线C：(x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是________。
解析　易知曲线C：(x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)是以C(2,0)为圆心，以2为半径的圆的，其中两个端点为A(3，)，B(3，－)。当直线与曲线C相切时，设切线方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，得＝2，解得k＝±。又kPA＝，kPB＝－，所以直线l的斜率的取值范围是∪。
答案　∪
3．(配合例3使用)直线x＋2y＝m(m>0)与圆O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，若|＋|>2||，则实数m的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(2,2)
C．(2，5) D．(2，)
解析　因为直线x＋2y－m＝0与圆O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，所以O点到直线x＋2y－m＝0的距离d<。设线段AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|>2||，所以|2|>2||，所以||<||。因为||2＋||2＝5，所以||2>4。所以4<||2<5，即4<<5，又m>0，所以2 答案　C
4．(配合例4使用)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，－3)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在一点M满足|MA|＝2|MO|，则实数a的取值范围是________。
解析　设满足|MA|＝2|MO|的点的坐标为M(x，y)，由题意有＝2，整理可得x2＋(y－1)2＝4，即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x2＋(y－1)2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1有交点，据此可得关于实数a的不等式组：解得综上可得，实数a的取值范围是[0,3]。
答案　[0,3]