2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章第八节　曲线与方程 学案

第八节　曲线与方程

2019考纲考题考情

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：

(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解。

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

(1)建系：建立适当的平面直角坐标系。

(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)。

(3)列式：列出或找出动点P满足的等式。

(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程。

(5)验证：验证所得方程即为所求的轨迹方程。

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件。

2．曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。

一、走进教材

1．(选修2－1P37A组T3改编)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)

A．双曲线    B．椭圆

C．圆    D．抛物线

解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线。

答案　D

2．(选修2－1P37A组T4改编)已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M(4,0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为________。

解析　

根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分。以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)。结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)。

答案　(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)

二、走近高考

3．(2017·全国卷Ⅱ节选)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ ，求点P的轨迹方程。

解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，由＝ ，得x0＝x，y0＝y，因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，

因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2。

三、走出误区

微提醒：①混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；②忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”。

4．平面内与两定点A(2,2)，B(0,0)距离的比值为2的点的轨迹是________。

解析　设动点坐标为(x，y)，则＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆。

答案　圆

5．设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________。

解析　若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1,0)与到定直线x＝－1的距离相等，其轨迹是抛物线，且＝1，所以其方程为y2＝4x(x>0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x<0)。故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)。

答案　y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)

6．已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________。

解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)。

答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)

考点一  直接法求轨迹方程

【例1】　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2)，定点P(1,1)。

(1)求△ABC外接圆的标准方程；

(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程。

解　(1)由题意得AC的中点坐标为(0，)，AB的中点坐标为，kAC＝，kAB＝1，故AC中垂线的斜率为－，AB中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y－＝－x，AB的中垂线的方程为y－＝－。

由得

所以△ABC的外接圆圆心为(2,0)，半径r＝2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9。

(2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2,0)，

由MN⊥MP，得·＝0，

所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，

整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，

故弦EF中点的轨迹方程为2＋2＝。

1．若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验。求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点。

2．若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形。

【变式训练】　已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|＝5|MQ|。

(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中轨迹为C，若过点N(－2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程。

解　(1)由|MP|＝5|MQ|，得＝5，

化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0，

所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆。

(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为2×＝8，

所以l：x＝－2符合题意。

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，

圆心到l的距离d＝，

由题意，得2＋42＝52，解得k＝，

所以直线l的方程为x－y＋＝0，

即5x－12y＋46＝0。

综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0。

考点二  定义法求轨迹方程

【例2】　已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n。

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；

(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程。

解　(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1。

(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y。

1．定义法求轨迹方程的适用条件：动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。

2．定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义。

【变式训练】　在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________。

解析　由正弦定理，得－＝×(R为外接圆半径)，所以|AB|－|AC|＝|BC|，即点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(不含右顶点)。又知实轴长为a，焦距为a，所以虚半轴长为 ，所以动点A的轨迹方程为－＝1(x>0且y≠0)。

答案　－＝1(x＞0且y≠0)

考点三  代入法(相关点法)求轨迹方程

【例3】　(1)(2019·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________。

(2)(2019·武威模拟)设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________。

解析　(1)设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3,2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1。

(2)设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0。由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0，即y2＝4x。故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x。

答案　(1)(2x－3)2＋4y2＝1　(2)y2＝4x

相关点法求轨迹方程的步骤

1．明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动点)M(x，y)。

2．寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)。

3．将x0，y0代入已知曲线方程。

4．整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程。

【变式训练】　(1)(2019·聊城模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0    B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0    D．2x－y＋5＝0

(2)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：x＋y＋＝0(x，y∈R)，则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足的关系式为(　　)

A．4x2＋y2＋2xy＝1    B．4x2＋y2－2xy＝1

C．x2＋4y2－2xy＝1    D．x2＋4y2＋2xy＝1

解析　(1)设Q(x，y)，则可得P(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得：2x－y＋5＝0。故选D。

(2)如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2，据题意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝，所以B，D的坐标分别为(1,0)，(1，)，所以＝(1,0)，＝(1，)，设P(m，n)，则由x＋y＋＝0，得＝x＋y，所以依题意，得m2＋n2＝1，所以x2＋4y2＋2xy＝1。故选D。

答案　(1)D　(2)D