2020版高考数学一轮复习课后限时集训62《不等式的证明与应用》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(六十二)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

1．已知x＞0，y＞0，且x＋y=1，求证：·≥9.

[证明]　因为x＞0，y＞0，

所以1=x＋y≥2.所以xy≤.

所以=1＋＋＋=1＋＋=1＋≥1＋8=9.

当且仅当x=y=时，等号成立．

2．已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.

[证明]　2sin 2α－=4sin αcos α－==－，

因为α∈(0，π)，所以sin α＞0,1－cos α＞0，

又(2cos α－1)2≥0，

所以2sin 2α－≤0，所以2sin 2α≤.

3．若a>0，b>0，且＋=.

(1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b=6？并说明理由．

[解]　(1)由=＋≥，得ab≥2，当且仅当a=b=时等号成立．

故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a=b=时等号成立．

所以a3＋b3的最小值为4.

(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.

由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b=6.

4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c=8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．

[解]　由柯西不等式得

(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，

∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.

∵2a＋2b＋c=8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，

当且仅当==c－3时等号成立，

∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.

B组　能力提升

1．已知定义在R上的函数f(x)=|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.

(1)求a的值；

(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r=a，求证：p2＋q2＋r2≥3.

[解]　(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|=3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，

所以f(x)的最小值等于3，即a=3.

(2)证明：由(1)知p＋q＋r=3，因为p2＋q2≥2pq，q2＋r2≥2qr，p2＋r2≥2pr，所以2(p2＋q2＋r2)≥2pq＋2qr＋2pr，所以3(p2＋q2＋r2)≥(p＋q＋r)2=9，

则p2＋q2＋r2≥3.

2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，x1，x2∈(0，＋∞)．

(1)求＋＋的最小值；

(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.

[解]　(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，

x1，x2∈(0，＋∞)，

所以＋＋≥3·=3·≥3·=3×=6，当且仅当==且a=b，即a=b=，且x1=x2=1时，＋＋有最小值6.

(2)证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，

x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：

(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)=[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2=(a＋b)2=x1x2，当且仅当=，即x1=x2时取得等号．

所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.

法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b=1，x1，x2∈(0，＋∞)，

所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)

=a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2

=x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)

≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)

=x1x2(a2＋b2＋2ab)

=x1x2(a＋b)2=x1x2，

当且仅当x1=x2时，取得等号．

所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.