2020届全国各地高考试题分类汇编05统计概率.docx

11 统计和概率

1.（2020•北京卷）在的展开式中，的系数为（    ）．

A.  B. 5 C.  D. 10

【答案】C

【解析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

2.（2020•北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）

【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）,（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；

（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；

（Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.

【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，

该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;

（Ⅲ）

【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.（2020•全国1卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

4.（2020•全国1卷）的展开式中x3y3的系数为（    ）

A. 5 B. 10

C. 15 D. 20

【答案】C

【解析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.

【详解】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为.故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

5.（2020•全国1卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；

（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.

【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；

（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，

则四局内结束比赛的概率为

，

所以，需要进行第五场比赛的概率为；

（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，

记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、

、、、、，

所以，甲赢概率为.

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为.

【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.

6.（2020•全国2卷）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名

【答案】B

【解析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，

，,故需要志愿者名.故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

7.（2020•全国2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】

【解析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

8.（2020•全国2卷）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数r=，≈1.414.

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析

【解析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；

（2）利用公式计算即可；

（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.

【详解】（1）样区野生动物平均数为，

地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为

（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

9.（2020•全国3卷）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.

【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

10.（2020•全国3卷）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【解析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

11.（2020•全国3卷）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：，

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析.

【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率；

（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；

（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；

（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为

（3）列联表如下：

，

因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

12.（2020•江苏卷）已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.

【答案】2

【解析】根据平均数的公式进行求解即可．

【详解】∵数据的平均数为4∴，即.故答案为：2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．

13.（2020•江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14.（2020•新全国1山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A. 120种 B. 90种

C. 60种 D. 30种

【答案】C

【解析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

15.（2020•新全国1山东）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A. 62% B. 56%

C. 46% D. 42%

【答案】C

【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

16.（2020•新全国1山东）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A. 若n=1，则H(X)=0

B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C. 若，则H(X)随着n的增大而增大

D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【解析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.

【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，所以，所以D选项错误.故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

17.（2020•新全国1山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？

附：，

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.

【解析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（2）根据表格中数据可得列联表；

（3）计算出，结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，

所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；

（2）由所给数据，可得列联表为：

（3）根据列联表中的数据可得

，

因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.

18.（2020•天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

【答案】B

【解析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.

【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，

则区间内零件的个数为：.故选：B.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.

19.（2020•天津卷）在的展开式中，的系数是_________．

【答案】10

【解析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．

【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

20.（2020•天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.

【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子概率为，

甲、乙两球都不落入盒子的概率为，

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.

【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

21.（2020•浙江卷）设，则a5=________；a1+a2 + a3=________．

【答案】    (1). 80
    (2). 122

【解析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【详解】的通项为，令，则，故；.故答案为：80；122

【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

22.（2020•浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.

【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，随机变量，，

，所以.故答案为：.

【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.

23.（2020•上海卷）从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

【答案】180