2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题14概率与统计含解析

这是一份2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题14概率与统计含解析，共78页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分，解答题部分等内容，欢迎下载使用。

专题14 概率与统计
一、选择题部分
1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T8)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
【答案】B．
【解析】，

故选B．
2.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T9) 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
【答案】CD．
【解析】，故方差相同，C正确；由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，D正确；故选CD．
3.(2021•高考全国甲卷•理T2)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C．
【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
4.(2021•高考全国甲卷•理T10) 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.故选C.
5.(2021•高考全国乙卷•文T7) 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】设“区间随机取1个数”，
“取到的数小于”，所以．
故选：B．
6.(2021•江苏盐城三模•T9)已知X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有
A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)
B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)
C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1
D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1
【答案】AC．
【考点】正态分布的应用
【解析】法一：由题意可知，对于选项AB，若σ1＞σ2，则Y分布更加集中，则在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，由正态分布的性质可得，P(Y＞μ1)＝P(X≤μ2)，又P(X≤μ2)＋P(X＞μ2)＝1，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
法二：由题意可知，可把正态分布标准化，即＝Z＝，则Z ~ N(0，1)，对于选项AB，若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＝P(|Z|≤)，P(|Y－μ2|≤1)＝P(|Z|≤)，因为σ1＞σ2＞0，所以＜，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＝P(Z＞)，P(Y＞μ1)＝P(Z＞)，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝P(Z＞)＋P(Z≤)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
7.(2021•河南开封三模•文理T4)2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　）

A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C．
【解析】甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），
C选项错．
8.(2021•河南开封三模•文T10．)三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加，甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第四次仍由甲传球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】所有传球方法共有：
甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；
甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙．
则共有8种方法．第四次仍由甲传球有2情况，
∴第四次仍由甲传球的概率P＝＝．
9.(2021•安徽宿州三模•文T3．)教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，....，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．9号学生 B．300号学生 C．618号学生 D．816号学生
【答案】C．
【解析】记被抽取到的学生的编号为{an}，则{an}为等差数列，公差为d＝＝10，
所以an＝a1+10（n﹣1），由an＝58，解得a1＝8，所以an＝10n﹣2，
所以编号为618的学生可以被抽取到．
10.(2021•安徽宿州三模•文T4理T3．)我国古代著名数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周率π的近似值在3.1415926和3.1415927之间，这是我国古代数学的一大成就．我们知道用均匀投点的模拟方法，也可以获得问题的近似解．如图，一个圆内切于一个正方形，现利用模拟方法向正方形内均匀投点，若投点落在圆内的概率为，则估计圆周率的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】由几何概型得：P＝＝，∴π＝．
【答案】A．
11.(2021•江西上饶三模•理T3．)已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，则P（ξ≤0）＝（　　）
A．0.16 B．0.34 C．0.66 D．0.84
【答案】A．
【解析】∵P（ξ＞6）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ＞6）＝0.16．
12.(2021•山东聊城三模•T9.)对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据(x1,y1)(i=1,2,…,n)，则下列结论正确的是（）．
A.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(x,y)
C.若以模型y=aebx拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=6x+ln3，则a，b的估计值分别是3和6．
D.用R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则R2的值为1
【答案】 B,C,D．
【考点】线性回归方程，可线性化的回归分析
【解析】【解答】若两变量x，y具有线性相关关系，即满足y=bx+a，则一定满足y=bx+a，样本点不一定在拟合直线上，A不符合题意，B符合题意；
若以模型y=aehx拟合该组数据，z=lny=bx+lna=6x+ln3，故a=3,b=6，C符合题意；用R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则yi=yi，即R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2=1-0=1，D符合题意；故答案为：BCD．
【分析】根据线性相关关系可判断A错误，B正确。根据拟合曲线关系可判断C正确，D正确。
13.(2021•山东聊城三模•T6.)在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为12，则受表彰人员中男性人数为（）．
A.15B.18C.21D.15或21
【答案】C．
【考点】古典概型及其概率计算公式，组合及组合数公式，一元二次方程
【解析】【解答】设男性有x人，则女性有36-x人．
∵男性多于女性，∴x>36-x，即x>18．
∵选出的两人性别相同的概率为12．∴Cx2+C36-x2C362=12，即x2-36x+315=0．
∴x=21或x=15（舍）．所以男性有21人．故答案为：C.
【分析】根据古典概率可得Cx2+C36-x2C362=12，再由组合数公式化简得x2-36x+315=0，解一元二次方程即可求得．
14.(2021•四川内江三模•理T4．)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）

A．me＝mo＝ B．me＝mo＜ C．me＜mo＜ D．mo＜me＜
【答案】D．
【解析】由图知m0＝5，
有中位数的定义应该是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是6，第16个数是6，
所以
＞3.9
．
15.(2021•重庆名校联盟三模•T9．)空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”、“良”、“轻度污染“、“中度污染”“重度污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是（　　）

A．从2日到5日空气质量越来越好
B．这14天中空气质量指数的极差为195
C．这14天中空气质量指数的中位数是103.5
D．这14天中空气质量指数为“良”的频率为
【答案】BC．
【解析】对于A，由折线图可知，从2日到5日空气质量指数越来越大，所以空气质量越来越差，故选项A错误；
对于B，这14天中空气质量指数的极差为220﹣25＝195，故选项B正确；
对于C，这14天中空气质量指数为25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，所以中位数是（86+121）÷2＝103.5，故选项C正确；
对于D，这14天中空气质量指数为“良”的频率为，故选项D错误．
16.(2021•重庆名校联盟三模•T4．)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对．那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，
在不超过16的素数中任意取出不同的两个，
基本事件总数n＝＝15，
可组成孪生素数包含的基本事件有：
（3，5），（5，7），（11，13），共3个，
∴在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为P＝．
17.(2021•安徽蚌埠三模•文T5．)国家统计局官方网站2021年2月28日发布了《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就．如图是2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图．

给出下列说法：
①从2016年至2020年国内生产总值逐年递增；
②从2016年至2020年国内生产总值增长速度逐年递减；
③从2016年至2020年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；
④从2016年至2020年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【答案】D．
【解析】对于①，由图1可知，从2016年到2020年国内生产总值数不断的增大，
条形图中对应的长方形的高度不断升高，故选项①正确；
对于②，由图2可知，在2016年到2017年国内生产总值增长的折线是上升的，
从6.8到6.9，故选项②错误；
对于③，由图2可知，2016年到2020年第三产业增加值占国内生产总值比重
从52.4→52.7→53.3→54.3→54.5，是不断增加的，故选项③正确；
对应④，由图2可知，在2016年到2017年第二产业增加值
占国内生产总值比重由39.6上升到了39.9，故选项④错误．
18.(2021•上海嘉定三模•T10．)有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是　　．
【答案】．
【解析】反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，
取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是．
19.(2021•贵州毕节三模•文T3．)一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】20组随机数恰好有两个是1，2，3，4的有191，171，932，393，812，184，共6个，因此三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为．
20.(2021•辽宁朝阳三模•T8．)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，
∴该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，
基本事件总数n＝＝36，这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：m＝+＝26，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P＝＝＝．
21.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T3．)某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过5分钟的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，
则等待的时间不超过5分钟的概率为P＝．
22.(2021•江苏常数三模•T2．)若随机变量X～B（5，p），，则E（X）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】因为X～B（5，p），，
则，解得，所以．
23.(2021•湖南三模•T8．)在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p1和p2，则（　　）
A．p1＜p2 B．p1＝p2
C．p1＞p2 D．以上三种情况都有可能
【答案】A．
【解析】根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为1﹣＝，则至少能摸出一个黑球的概率P1＝1﹣（）20，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为1﹣＝，则至少能摸出一个黑球的概率P2＝1﹣（）10，则有P1﹣P2＝[1﹣（）20]﹣[1﹣（）10]＝（）10﹣（）20＝（）10﹣（）10＜0，故P1＜P2．
24.(2021•湖南三模•T3．)每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（　　）
A．20家 B．10家 C．15家 D．25家
【答案】A．
【解析】根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×＝20（家）．
25.(2021•福建宁德三模•T10) 某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作2018年人均消费支出条形图(单位：元)和2019年人均消费支出饼图(如图).已知2019年居民人均消费总支出比2018年居民人均消费总支出提高8.5%，则下列结论正确的是( )

A. 2019年的人均衣食支出金额比2018年的人均衣食支出金额高
B. 2019年除医疗以外的人均消费支出金额等于2018年的人均消费总支出金额
C. 2019年的人均文教支出比例比2018年的人均文教支出比例有提高
D. 2019年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低
【答案】ACD．
【解析】∵2019年居民人均消费总支出比2018年居民人均消费总支出提高8.5%，
∴2019年居民人均消费总支出为：
(7000+4600+2300+1700+4400)×1.08=21600，
对于A，2019年的人均衣食支出金额为：21600×34.5%=7452元，
∴2019年的人均衣食支出金额比2018年的人均衣食支出金额高，故A正确；
对于B，2019年除医疗以外的人均消费支出金额为：
21700×(1-8.5%)=19855.5，
2018年的人均消费总支出金额为7000+4600+2300+1700+4400=20000元，
2019年除医疗以外的人均消费支出金额不等于2018年的人均消费总支出金额，故B错误；
对于C，2019年的人均文教支出比例为12.0%，
2018年的人均文教支出比例为230020000×100%=11.5%，
∴2019年的人均文教支出比例比2018年的人均文教支出比例有提高，故C正确；
对于D，2018其他支出4400元，2019年其他支出21600×21.0%=4536元，
“其他”消费支出的年增长率为4536-44004400×100%≈3.09%，
衣食支出的年增长率为：21600×34.5%-70007000×100%≈6.46%，
住支出的年增长率为：21600×24.0%-46004600×100%≈12.70%，
文教支出的年增长率为：21600×12.0%-23002300×100%≈12.70%，
医疗支出的年增长率为：21600×8.5%-17001700×100%=8%，
∴2019年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低，故D正确．
故选：ACD.
利用条形图和饼状图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查条形图、饼状图的性质等基础知识，考查运算求能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
26.(2021•福建宁德三模•T5) 根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为( )
A. 0.8 B. 0.625 C. 0.5 D. 0.1
【答案】A．
【解析】设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B，
所以P(A)=0.25，P(B)=0.4，P(AB)=0.2，
则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.20.25=0.8.
故选：A.
利用条件概率的概率公式求解即可．
本题考查了条件概率的理解与应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，属于基础题．
27.(2021•宁夏中卫三模•理T7．)已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，
结合几何概型计算公式可得：骰子落在阴影部分的概率为．
28.(2021•宁夏中卫三模•理T5．)2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高三高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　）

A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C．
【解析】根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中物理、化学、地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分，1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多，故A项叙述正确，C项叙述不正确；
B项：根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述正确；
对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的种选科结果，故D项叙述正确．
29.(2021•江西南昌三模•理T7．)随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：
①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5；
③P（X＞k+1）＜P（X＜k﹣2）；④P（k﹣1＜X＜k）＞P（k+1＜X＜k+2）．
若只有一个假命题，则该假命题是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C．
【解析】因为4个命题中只有一个假命题，又①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5，
由正态分布的相知可知，①②均为真命题，所以μ＝k，
则P（X＞k+1）＞P（X＞k+2）＝P（X＜k﹣2），故③错误；
因为P（k﹣1＜X＜k）＝P（k＜X＜k+1）＞P（k+1＜X＜k+2），故④正确．
30.(2021•安徽马鞍山三模•理T3．)雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图．如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（　　）

A．综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡
B．三人中，小陈的每门学科的平均成绩都是最低的
C．六门学科中，小张存在偏科情况
D．小陈在英语学科有较强的学科优势
【答案】B．
【解析】对于A，小明各科成绩都处于较高分数段且图形最均衡，由此可知小明成绩最好，最均衡，故选项A正确；
对于B，小陈的英语平均成绩是三人中最高的，故选项B错误；
对于C，小张数学平均成绩为满分，化学接近满分，但物理和英语成绩均为三人中最低，可知小张存在偏科情况，故选项C正确；
对于D，小陈的英语平均成绩是三人中最高且接近满分，所以小陈在英语学科有较强的学科优势，故选项D正确．
31.(2021•安徽马鞍山三模•文T4．)第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C．甲成绩的极差比乙成绩的极差小
D．乙的成绩比甲的成绩稳定
【答案】D．
【解析】甲的成绩分别为90，93，92，94，96，93，乙的成绩分别为93，94，91，95，92，93，
A：∵甲成绩的中位数为＝93，乙成绩的中位数为＝93，∴A错误，
B：∵甲成绩的众数为93，乙成绩的众数为93，∴B错误，
C：∵甲成绩的极差为96﹣90＝6，乙成绩的极差为95﹣91＝4，∴C错误，
D：∵甲成绩的平均数为＝93，∴甲成绩的方差为＝，
∵乙成绩的平均数为＝93，∴乙成绩的方差为＝，
∵＞，∴乙成绩比甲成绩稳定，∴D正确．
32.(2021•河北邯郸二模•理T5．)某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，各楼层的商铺种类如表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（　　）

生活用品店
服装店
餐饮店
一层
25
7
3
二层
4
27
4
三层
6
1
23
A．0.75 B．0.6 C．0.4 D．0.25
【答案】D．
【解析】100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23＝75家，
故不一致的有100﹣75＝25家，
所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为．
33.(2021•河北邯郸二模•理T3．)某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】B．
【解析】根据分层抽样的定义可得选《西游记》的学生抽取的人数为×125＝10．
34.(2021•江西鹰潭二模•理T9．)如图是一个正方体纸盒的展开图，把1，1，2，2，3，3分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】由题意，图中有6个位置，将1，1，2，2，3，3这6个数字在6个位置全排列，共有A66种结果，
要使所得到的正方中体相对面上的两个数都相等都相等，必须是1、1相对，2、2相对，3、3相对，
正方体有6个面，写第一个数字时有6种选择，
剩下四个面，则第三个数字只有4种选择，
此时剩余两个面，2个数字，有2种选择；
以此类推，可得出正方体两个对面上两数字和相等的组合方式有6×4×2＝48．
∴所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率为：
P＝＝．
35.(2021•江西上饶二模•理T8．)在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB为锐角的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】如果∠AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）．
要使∠AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；
因为半圆的面积为，正方形的面积为4×4＝16，
所以满足∠AMB为锐角的概率P＝1﹣＝1﹣．

36.(2021•河北秦皇岛二模•理T7．)某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，
设事件A表示“有一名主任医师被选派”，B表示“另一名主任医师被选派”，
P（A）＝+＝，
P（AB）＝＝，
则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：
P（B|A）＝＝＝．
37.(2021•北京门头沟二模•理T10)某维修公司的四个维修点如图环形分布，公司给A，B，C，D四个维修点某种配件各50个在使用前发现需要将发送给A，B，C，D四个维修点的配件调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻维修点间进行，每次调动只能调整1个配件，为完成调整，则( )
A. 最少需要16次调动，有2种可行方案
B. 最少需要15次调动，有1种可行方案
C. 最少需要16次调动，有1种可行方案
D. 最少需要15次调动，有2种可行方案
【答案】A．
【解析】解：根据题意，因为B、D两处互不相邻，所以B处至少调整5次，D处至少调整11次，故最少需要调整16次
相应的可行方案有2种，
方案①：A调整10个给D，B调整5个给C，然后C再调整1个给D；
方案②：A调整11个给D，B调整1个给A，调整4个给C，
故选：A.
根据题意，先分析两处互不相邻BD两处的调整方法数目，进而分析可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意认真审题，明确题意，属于基础题．
38.(2021•江西九江二模•理T6．)恩格尔系数（Engel'sCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．

给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（　　）
A．① B．② C．①② D．②③
【答案】C．
【解析】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，
居民人均可支配收入在逐年增加，故两者之间存在负相关关系，恩格尔系数越小，
居民人均可支配收入越多，经济越富裕，故选项①②正确．
39.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T7．)设0＜p＜，随机变量ξ的分布列是
ξ
﹣1
0
1
P
p

﹣p
则当P在（0，）内增大时，（　　）
A．D（ξ）增大 B．D（ξ）减小
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D．
【解析】由随机变量ξ的分布列可得，E（ξ）＝﹣1•p+0×+1＝，
故D（ξ）＝
＝＝，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为，
因为，所以D（ξ）先增大后减小．
40.(2021•山东潍坊二模•T12．)连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（　　）

A．甲选择的三个点构成正三角形的概率为
B．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为
C．乙选择的三个点构成正三角形的概率为
D．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为
【答案】ABD．
【解析】甲随机选择的情况有种，乙随机选择的情况有种，
对于A，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种，
故甲选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项A正确；
对于B，甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：
①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有＝4种；
②上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有种；
③中间四个点中选三个点，共有种，
故共有4+4+4＝12种，
所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为，故选项B正确；
对于C，乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：
上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有种，
所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为，故选项C错误；
对于D，选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16＝24种，概率为，
甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，
所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为，故选项D正确．
41.(2021•辽宁朝阳二模•T11．)下列说法正确的是（　　）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
【答案】BD．
【解析】A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故A错误，
B．从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3，5，7，一种，则构成三角形的概率是，故B正确，
C．|r|→1，两个变量的线性相关性越强，|r|→0，线性相关性越弱，故C错误，
D．由题意知P（）•P（）＝，P（）•P（B）＝P（A）•P（），
设P（A）＝x，P（B）＝y，则，
得得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，得x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
得x＝（舍）或x＝，即事件A发生的概率为，故D正确．
42.(2021•辽宁朝阳二模•T2．)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（　　）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C．
【解析】∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，
∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，
∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，
∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．
43.(2021•广东潮州二模•T7．)中国古代数学名著《周牌算经》记载的“日月历法”日：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（　　）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】B．
【解析】由题意可设年纪最大年龄为m，年纪最小年龄为n，
则有n+（n+1）+……+（n+18）+m＝1520，所以m＝1349﹣19n，∵90＜1349﹣19n≤100，
解之得：65，又∵n∈N*，∴n＝66，m＝95，极差为m﹣n＝95﹣66＝29．
44.(2021•天津南开二模•T4)某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示．现已知时间增加值在[30，35），[40，45），则学员时间增加值是[30，35）或[40，45）的频率为（　　）

A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.4
【答案】D．
【解析】设学员时间增加值是[35，40）的频率为a，
则学员时间增加值是[30，35）或[40，45），
由频率分布直方图的性质得：（0.01+0.07）×8+a+2a＝1，解得a＝7.2，
∴学员时间增加值是[30，35）或[40，45）．
45.(2021•山西调研二模•文T4)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为( )
A. 0.1 B. 1 C. 10 D. 100
【答案】B．
【解析】∵数据x1，x2，…，xn的方差为100，∴数据0.1x1，0.1x2，…，0.1xn的方差为：0.12×100=1.故选：B.
根据方差性质可解决此题．本题考查方差的性质，考查数学运算能力，属于基础题．
46.(2021•河南郑州二模•文T8．)皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，
基本事件总数n＝＝20，
所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有：
（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9个，
∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝．
47.(2021•河南郑州二模•文T3．)如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）

下列说法错误的是（　　）
①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%
②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化
③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%
④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】B．
【解析】根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，

所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；
根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；
因此②③错误．
48.(2021•宁夏银川二模•文T5．)为进一步促进“德、智、体、美、劳”全面发展，某学校制定了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，甲、乙两名同学各从中选择一门课程，则两人选择课程相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，
甲、乙两名同学各从中选择一门课程，
基本事件总数n＝5×5＝25，
两人选择课程相同包含的基本事件个数m＝5，
∴两人选择课程相同的概率P＝＝．


90
80
70
1 2 3 4 5
49.(2021•吉林长春一模•文T8.) 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的
温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到
茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析
泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔
测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图
所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数
模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律
A. B.
C. D.
【答案】C．
【解析】由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C．
50.(2021•吉林长春一模•文T5.)张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是
A. 10% B. 50% C.60% D. 90%
【答案】D．
【解析】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站
的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D．
二、填空题部分
51.(2021•浙江卷•T15) 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
【答案】(1). 1 (2).．
【解析】，所以，
, 所以, 则．
由于
．故答案为：1；．
52.(2021•河北秦皇岛二模•理T14．)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），若P（ξ＜120）＝0.75，则P（90≤ξ≤120）＝　　．
【答案】0.5．
【解析】∵学生的数学成绩ξ服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），P（ξ＜120）＝0.75，
∴P（ξ＜90）＝P（ξ＞120）＝1﹣0.75＝0.25，则P（90≤ξ≤120）＝1﹣0.25×2＝0.5．
53.(2021•浙江杭州二模•理T14．)甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X．若，则m＝　　，P（X＝2）＝　　．
【答案】2，．
【解析】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，则X～B（3，），
∵，∴E（X）＝3×＝，∴m＝2，
∴P（X＝2）＝＝．
54.(2021•河南焦作三模•理T13)某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是　　．
【答案】．
【解析】要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，
某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，
∴两种兴趣班都选择的学生人数为：21+39﹣50＝10，
从全班学生中随机抽取一人，这个人两种兴趣班都选择的概率是P＝＝．
55.(2021•河北张家口三模•T14)2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为　　．
【答案】．
【解析】从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名共有（种）选法，
男生A和女生甲被同时选中有种）选法，
故所求概率．
56.(2021•河北张家口三模•T3)某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛．如果小明知道了自己的成绩后（　　）
A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差
【答案】A．
【解析】12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，
因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛．
57.(2021•辽宁朝阳三模•T15．)2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

A区
B区
C区
D区
E区
外来务工人员数
5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
80%
90%
80%
80%
84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为＝0.8135x+．该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为　　万元．（参考数据：取0.8135×36＝29.29）
【答案】818.6．
【解析】由表知，＝×（5000+4000+3500+3000+2500）＝3600，
A，B，C，D，E五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为5000×80%＝4000，4000×90%＝3600，3500×80%＝2800，3000×80%＝2400，2500×84%＝2100，
所以＝×（4000+3600+2800+2400+2100）＝2980，
因为样本中心点在（，）上，
所以2980＝0.8135×3600+，
解得＝51，
所以＝0.8135x+51，
当x＝10000时，＝0.8135×10000+51＝8186，
所以估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为8186×1000＝818600元＝818.6万元．
58.(2021•上海浦东新区三模•T4．)若从总体中随机抽取的样本为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，则该总体标准差的点估计值是　　（精确到0.1）．
【答案】2.1．
【解析】因为样本为数据为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，
所以样本的平均值为＝1，
故该总体标准差的点估计值是
2.1．
59.(2021•上海浦东新区三模•T6．)在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为　　．
【答案】0.4．
【解析】5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，得到的五位数的总数是A55＝120
五位数能被2整除的特征是个位数排2，4两个数，其排法种数是C21×A44＝48
故所得五位数能被2整除的概率是＝0.4．
60.(2021•安徽马鞍山三模•理T15．)某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是　　．
【答案】．
【解析】某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，基本事件总数n＝34＝81，
他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m＝＝36，
∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P＝＝＝．
61.(2021•天津南开二模•T13．)甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题．规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答　　；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是　　．
【答案】，．
【解析】甲不合格的概率是P＝1﹣﹣＝；
甲、乙两人中每次答题合格的概率为P＝+＝，
∴甲、乙两人中恰有一人合格的概率P＝＝．
62.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T15．)一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为　　．
【答案】．
【解析】一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，
这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，
∴投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，
∴投掷一次得到质数的概率为：P＝＝．
三、解答题部分
63.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T18) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；；
．
所以的分布列为








（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
64.(2021•高考全国甲卷•理T17)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
65.(2021•高考全国乙卷•文T17) 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解析】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.
66.(2021•江苏盐城三模•T21)运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．
(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；
(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．
【考点】随机事件的概率与期望
【解析】(1)P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋＝，P(ξ＝1)＝，……3分
则ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝．……5分
(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，得出Pn＝，……7分
法一：则Pn＝Pn＋1×＋Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，
故0≤n≤k－2时，Pn＋1＝Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，
以上两式作差得，Pn－Pn＋1＝Pn＋1×，则Pn＝Pn＋1×，……10分
则Pn＋1＝Pn＋2×，Pn＋2＝Pn＋3×，…，Pk－2＝Pk－1×，
则PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…Pk－1××××…×，
化简得Pn＝Pk－1×，而Pk－1＝，故Pn＝，
又n＝k－1时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)．……12分
法二：同法一得Pn＝Pn＋1×，……9分
则P0＝P1×，P1＝P2×，P2＝P3×，…，Pn－1＝Pn×，
则P0P1P2…Pn－1＝P0P1P2…Pn××××…×，
化简得P0＝Pn×(n＋1)，而P0＝1，故Pn＝(0≤n≤k－1)，
又n＝0时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)．……12分
法三：记Pm(n)表示在出现m的条件下出现n的概率，
则Pn＋1(n)＝，Pn＋2(n)＝Pn＋1(n)＋＝，
Pn＋3(n)＝Pn＋2(n)＋Pn＋1(n)＋＝，……9分
依此类推，Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，
所以Pk(n)＝(×(k－n－1)＋1)＝．……12分
法四：记Pk(n)表示在出现k的条件下出现n的概率，
则Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，
则kPk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，①
则(k－1)Pk－1(n)＝Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，②
①－得kPk(n)－(k－1)Pk－1(n)＝Pk－1(n)，……9分
则Pk(n)＝Pk－1(n)(k≥n＋2)，
则Pk(n)＝Pn＋1(n)＝．……12分
67.(2021•河南郑州三模•理T19)手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能．某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

产品的性能指数在[50，70）的称为A类芯片，在[70，90）的称为B类芯片，在[90，110]的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率．
（Ⅰ）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；
（Ⅱ）该公司为了解年营销费用x（单位万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x，和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示．
（ⅰ）利用散点图判断，y＝a+bx和y＝c•xd（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（ⅱ）对数据作出如下处理：令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得到相关统计量的值如表：








150
725
5500
15750
16
25
56
82.4
根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；
（ⅲ）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值．（参考数据：e3.4＝30）
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归方程v＝+u中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝；＝．
【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，A，B，C三类芯片的频率分别为0.15，0.45，0.4，
故取出C类芯片的概率为，
设“抽出C类芯片不少于2件”为事件A，则P（A）＝；
（Ⅱ）（i）由散点图的形状可知，y＝c•xd（其中c，d为大于0的常数）更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型；
（ii）将y＝c•xd两边同时取自然对数，则有lny＝lnc+dlnx，
令u＝lnx，v＝lny，则有v＝lnc+du，
因为，
则＝，
则lnc＝，
所以，即，
因为e3.4＝30，故y关于x的回归方程为；
（iii）当x＝100时，，
所以当年营销费用为100万元时，年销量y（万件）的预报值为300万件．
68.(2021•河南开封三模•理T19)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀．某班50名同学都参加了听力测试，将所得测试值制成如图频率分布直方图：
（1）现从测试值在区间（0，10]内的同学中任意抽取4人，其中听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4．测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列）．记Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．

【解析】（1）听力等级为（0，5]的有0.016×5×50＝4人，
听力等级为（5，10]的有0.024×5×50＝6人，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





则X的数学期望为；
（2）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为种，
当Y＝0时，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，
当Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|＝2时，a1，a2，a3，a4的取值为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3或a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝4或a1＝2，a2＝1，a3＝3，a4＝4，
所以Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，
所以．
69.(2021•河南开封三模•文T19．)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀．某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图：
（1）从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10]内的概率；
（2）已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；
（3）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4．测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中集合{a1，a2，a3，a4}＝{1，2，3，4}．记Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．

【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间（0，10]内的频率为1﹣（0.06+0.08+0.02）×5＝1﹣0.8＝0.2，
以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10]内的概率为0.2；
（2）样本中听力为优秀的学生人数为0.2×50﹣4＝6，
所以估计总体中听力为优秀的学生人数为；
（3）当a1＝1时，序号a1，a2，a3，a4的情况为6种，分别记为（1，2，3，4），（1，2，4，3），（1，3，2，4），（1，3，4，2），（1，4，2，3），（1，4，3，2），
同理，当a1＝2，3，4时，序号a1，a2，a3，a4的情况也分别为6种，
所以序号a1，a2，a3，a4所有的情况总数为24种，
当Y＝0时，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，
当Y＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|＝2时，a1，a2，a3，a4的取值为：
a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3或a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝4，或a1＝2，a2＝1，a3＝3，a4＝4，
所以Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，
所以．
70.(2021•河南焦作三模•理T21)甲、乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满2k+1（k∈N*）局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为p（0＜p＜1），设甲获得最终胜利的概率为ak．
（Ⅰ）证明：≤；
（Ⅱ）当＜p＜1时，比较ak与ak+1的大小，并给出相应的证明．
【解析】（Ⅰ）证明：甲赢得单局比赛的概率为p，则乙赢得单局比赛的概率为1﹣p，
a1表示打3局比赛甲赢两局或三局的概率，
所以a1＝，
所以；
（Ⅱ）ak表示打2k+1局比赛，甲至少赢k+1局的概率，
所以ak＝…+，
ak+1表示打2k+3局比赛，甲至少赢k+2局的概率，分三种情况：
①前2k+1局甲赢k局，最后两场甲都胜利，
对应的概率，
②前2k+1局甲赢k+1局，最后两场甲不全输，
对应的概率
＝，
③前2k+1局甲至少赢k+2局，
对应的概率，
所以ak+1＝P1+P2+P3
因为，
所以ak+1﹣ak＝P1+P2﹣
＝
＝，
因为＜p＜1，
所以ak+1﹣ak＞0，
故ak+1＞ak．
71.(2021•河北张家口三模•T19)某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，并由县政府公开招聘事业编制教师．招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，第一题考查教育心理学知识，答对得10分；第二题考查学科专业知识，答对得10分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分
（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布N（65，152），80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否、优秀与否互不影响
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．
【解析】（1）因为X服从正态分布N（65，152），
所以，
因为2000×7.15865≈317，
所以进入面试环节的人数约为317人．
（2）记该应聘者第i（i＝1，2）题答对为事件Ai，第8题优秀为事件B，
Y的可能取值为5，15，35，
则，

＝＝，

＝＝，
．
所以Y的分布列为：
Y
5
15
25
35
P




所以Y的数学期望为．
72.(2021•山东聊城三模•T20.) 2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
40
80
60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？
【解析】（1）解：由题意得，X=0,1,2,3,4,5,6，
P(X=0)=110×110=1100，P(X=1)=110×15×2=125，P(X=2)=110×25×2+15×15=325，P(X=3)=110×310×2+15×25×2=1150，
P(X=4)=310×15×2+25×25=725，P(X=5)=310×25×2=625P(X=6)=310×310=9100，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
1100
125
325
1150
725
625
9100

（2）解：选择方案一：所需费用为Y1元，则X≤2时，Y1=5000，X=3时，Y1=6000；X=4时，Y1=7000；X=5时，Y5=8000，X=6时，Y1=9000，
∴Y1的分布列为
Y1
5000
6000
7000
8000
9000
P
17100
1150
725
625
9100
E(Y1)=5000×17100+6000×1150+7000×725+8000×625+9000×9100=6860，
选择方案二：所需费用为Y2元，则X≤4时，Y2=6230；X=5时，Y2=6230+t；X=6时，Y2=6230+2t，则Y2的分布列为
Y2
6230
6230+t
6230+2t
P
67100
625
9100
E(Y2)=6230×67100+(6230+t)×625+(6230+2t)×9100=6230+21t50，
要使选择方案二对客户更合算，则E(Y2) ∴6230+21t50<6860，解得t<1500，即t的取值范围为[0,1500)
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】X所有可能取值0,1,2,3,4,5,6分别求出概率，即可求出分布列。
（2）选择方案一求出所需费用分布列和期望，选择方案二求出所需费用分布列和期望，由此能求出选择方案二对客户更合算。
73.(2021•四川内江三模•理T18．)某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价（元）
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量（件）
11
10
8
6
5
14.2
（1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入﹣成本）．
参考公式和参考数据：回归直线方程＝x，其中＝，xiyi＝392，xi2＝502.5．
【解析】（1）因为＝（7+9.5+10+10.5+11）＝10，
＝（11+10+5+6+5）＝4，
所以＝＝，
则，
所以y关于x的回归直线方程为；
（2）当x＝8时，，
则，
所以可以认为所得到的回归方程式理想的；
（3）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.3x+40）＝﹣3.2x6+48x﹣100（2.5＜x＜12.3），
因为W＝3.2x（﹣x+15）﹣100，
当且仅当x＝﹣x+15，即x＝7.5时取等号，
故该配件的销售单价应定为5.5元才能获得最大利润．
74.(2021•重庆名校联盟三模•T) 20．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：
土地使用面积（单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间（单位：月）
8
10
13
20
24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：

愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50

（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（保留三位小数）
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：，，其中n＝a+b+c+d，．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【解析】（1）依题意：，，
故，，，
则
故管理时间y与土地使用面积线性相关．
（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得k2的观测值为．
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关．
（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为．
，
，
，
，
故x的分布列为：
X
0
1
2
3
P




则数学期望为．
75.(2021•安徽蚌埠三模•文T19．)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如表的数据：
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
990
990
450
320
300
240
210
（1）现用y＝a+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；
（2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？
参考数据（其中）


﹣7×
1845
0.37
0.55
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．
【解析】（1）由题意（990+990+450+320+300+240+210）＝500，
令，设y关于t的线性回归方程为y＝bt+a，
则有＝1000，
则＝500﹣1000×0.37＝130，
所以，
又，所以y关于x的回归方程为；
（2）当x＝100时，y＝140，
所以经过100天训练后，小明每天解题的平均速度约为140秒．
76.(2021•贵州毕节三模•文T18．)某校为了解同学们选择“网页制作”选修课的情况，随机调查文、理科同学各50名，每位同学对是否选择这门课程做出“选择”和“不选择”的答案，统计得如下列联表：

选择
不选择
合计
理科
40


文科

20

合计



（Ⅰ）完成列联表，判断是否有95%的把握认为选择“网页制作”选修课与文、理科类别有关？
（Ⅱ）从文科同学中按分层抽样选取5人，再从这5人中任选3人，求这3人中至多有1人不选择“网页制作”选修课的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）根据题意填写列联表为：

选择
不选择
合计
理科
40
10
50
文科
30
20
50
合计
70
30
100
由表中数据，计算K2＝＝≈4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为选择“网页制作”选修课与文、理科类别有关；
（2）由题意得：5名文科同学中有3人做出“选择”，设为A1，A2，A3；有2人“不选择”，设为B1，B2，
从中选3人的总体情况有：
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，共10种；
至多有1人不选择“网页制作”选修课有：
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A2A3B1，A2A3B2，共7种；
所以所求的概率为．
77.(2021•辽宁朝阳三模•T18．)某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行．根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为p1，后两天每天出现风雨天气的概率均为p2，每天晚上是否出现风雨天气相互独立已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为．
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望．
【解析】（1）因为前两天晚上均为风雨天气的概率为，所以P12＝，解得p1＝，
因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为，
所以1﹣（1﹣p1）3（1﹣p2）2＝，又p1＝，所以p2＝，
设“该社区能举行4场音乐会”为事件A，
则P（A）＝C××（1﹣）2×（1﹣）2+（1﹣）3×C××（1﹣）＝；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（X＝0）＝（）3×（）2＝，
P（X＝1）＝C（）2××（）2+（）3×C××＝，
P（X＝2）＝C××（）2×（）2+C（）2×（1﹣）×C××+（）3×（1﹣）2＝，
P（X＝3）＝（1﹣）3×（）2+C（1﹣）2××C××+C（）2×（1﹣）×（1﹣）2＝，
P（X＝4）＝，P（X＝5）＝1﹣＝．
所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×+5×＝．
78.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T19．)2020年，病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难．面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研究工作．某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压、…）是否与更容易感染病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如表：

感染病毒
未感染病毒
合计
不患有重大基础疾病

15

患有重大基础疾病


25
合计
30


（1）请填写2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒；
（2）已知某样本小组6人中4人感染病毒，若从中任意抽取2人，求2人都感染病毒的概率．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
【解析】（1）2×2列联表如下：

感染病毒
未感染病毒
合计
不患有重大基础疾病
10
15
25
患有重大基础疾病
20
5
25
合计
30
20
50
∴K2＝＝＞6.635，
∴有99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染病毒．
（2）设6人中感染病毒人员分别记为A，B，C，D，未感染人员分别记为a，b，
从6人中任取2人，总的基本事件有：（A，B），（A，C）．（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共15个，
设“选出的2人都感染病毒”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：（A，B），（A，C）．（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个，
∴P（M）＝＝．
79.(2021•四川泸州三模•理T17．)体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1：3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[0，60]范围内，且规定分数在40分及以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．
（Ⅰ）将下面的2×2列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？
类别
非城镇学生
城镇学生
合计
优良



不优良

115

合计


200
（Ⅱ）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？
附参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
k0
2.072
2.706
3.841

【解析】（Ⅰ）根据题意以及频率分布直方图，
因为非城镇与城镇学生人数之比为1：3，且样本容量为200，
所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150，
故城镇学生优良人数为150﹣115＝35，
又因为优良学生的人数为（0.005+0.02）×10×200＝50，
所以非城镇优良学生人数为50﹣35＝15，
则非城镇不优良学生人数为50﹣15＝35，
类别
非城镇学生
城镇学生
合计
优良
15
35
50
不优良
35
115
150
合计
50
150
200
计算K2＝≈0.889＜2.706，
所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关．
（Ⅱ）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为p＝＝，
记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X，
则X～B（3，），
所以E（X）＝np＝3×＝，
故成绩“优良”人数的期望值为．
80.(2021•江苏常数三模•T20．)为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如图频率分布直方图：

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

超过2500小时
不超过2500小时
总计
A型



B型



总计



根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？
（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；
（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度．只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由．
参考公式：，n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）列联表如下：

超过2500小时
不超过2500小时
总计
A型
70
30
100
B型
50
50
100
总计
120
80
200
由于K2＝≈8.333＞6.635，
所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关．
（2）由（1）和分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，
所以X的取值可能为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝
P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：
A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台，
B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，
选择A型设备的总费用y1＝（10+3）×1+10×2×0.75×2500×10﹣4＝16.75，
选择B型设备的总费用y2＝（10+5）×0.6+10×6×0.75×2500×10﹣4＝20.25＞16.75，
所以选择A型设备．
81.(2021•湖南三模•T18．)为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用．其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用．在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现．为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：

无疲乏症状
有疲乏症状
总计
未接种疫苗
100
20
120
接种疫苗
x
y
n
总计
160
m
200
（1）求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．
（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查．若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望．
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【解析】（1）由题意得：m＝200﹣160＝40，y＝m﹣20＝20，
x＝160﹣100＝60，n＝x+y＝60+20＝80，
因为．
所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．
（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，X＝10；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，X＝13；当这3人中没有人有疲乏症状时，X＝16．
因为；；．
所以X的分布列如下：
X
10
13
16
P



期望．
82.(2021•福建宁德三模•T20) 某同学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒则需当天降价处理，每盒亏损10元.若每天该礼盒的需求量在{10,11,12,…，19}(单位：个)范围内等可能取值.
(1)求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；
(2)若某日超市进货13 个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润ξ(元)的分布列，并求出ξ的数学期望；
(3)这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.
【解析】(1)每天该礼盒的需求量在{10,11,12,⋅⋅⋅,19}(单位：个)范围内等可能取值，
则该礼盒的日需求量不低于15盒的概率P=510=12；
(2)ξ的可能取值为470，530，590，650，
所以P(ξ=470)=110，
P(ξ=530)=110，
P(ξ=590)=110，
P(ξ=650)=710，
所以ξ的分布列为：
ξ
 470
530
 590
 650
 P
 110
 110
 110
710
故E(ξ)=470×110+530×110+590×110+650×710=614；
(3)设超市日进货x个水果礼盒，需求量为a盒，
则日利润Y的分布列为：
Y
50×10-10(x-10)
5×11-10(x-11)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5×19-10(x-19)
P
110
110
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
 110
故E(Y)=-3x2+107x-270，
所以当x=18时，E(Y)的最大值为684，应该建议超市日进货18个水果礼盒．
【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；
(2)先求出随机变量ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
(3)设超市日进货x个水果礼盒，需求量为a盒，计算日利润Y的分布列，求出数学期望，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了古典概型概率公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
83.(2021•宁夏中卫三模•理T18．)某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：
目的地A地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率


得分
1
0

目的地B地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率


得分
1
0
若甲同学去A地玩，乙、内同学去B地玩，选择出行方式相互独立．
（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
（2）求三名同学总得分X的分布列及数学期望EX．
【解析】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率．
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：
；
+×＝，
P（X＝2）＝＝，
．
故X的分布列为：

X

0

1

2

3
P








所以．
84.(2021•江西南昌三模•理T20．)高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ＝|16﹣4m|．小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，…，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为η元，其中η＝（n﹣4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
【解析】（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件A．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，
所以P（A）＝．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．……………………
（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，ξ的可能取值为0，4，8，12.，
，
，
．
ξ
0
4
8
12
P




一次游戏付出的奖金，
则小红的收益为．………
小明的收益计算如下：每一次游戏中，η的可能取值为0，1，4，9．
，
，
，
．
∴η的分布列为：
η
0
1
4
9
P




一次游戏付出的奖金，则小明的收益为4﹣1＝3．
∵，∴小明的盈利多．…………………
85.(2021•江西上饶三模•理T19．)上饶市正在开展2021年“阳光护苗”文明校园创建行动，分为“清网”护苗、“培根”护苗、“关爱”护苗、“雨露”护苗、“法治”护苗五个专项行动．在“培根”护苗方面，为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1、2、3、4班准备从《唱支山歌给党听》、《没有共产党就没有新中国》、《映山红》、《十送红军》、《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．
（1）求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；
（2）记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数（相同的红歌记为1个），求X的分布列与数学期望．
【解析】（1）4个班每个班各选一首红歌的试验有54＝625个基本事件，它们是等可能的，记“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”为事件A，包含＝96个基本事件，从而“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”概率为P（A）＝；
（2）随机变量X的可能取值为1,2,3,4，
P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P




所以X的数学期望E(X)＝1×+2×+3×+4×＝．
86.(2021•安徽宿州三模•理T20．)2021年春节档电影《你好李焕英》在大年初一上映，该片是今年票房的黑马，上映之前人们对它并不看好，预售成绩也很一般，不过上映之后很快就改变了人们对它的看法，凭借着不错的口碑，《你好李焕英》票房实现了逆袭，仅用10天就成为春节档票房冠军．某电影院统计了该电影上映高峰后连续10场的观众人数，其中每场观众人数y（单位：百人）与场次x的统计数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2.77
2
1.92
1.36
1.12
1.09
0.74
0.68
0.62
0.55
通过散点图可以发现y与x之间具有相关性，且满足经验关系式：y＝aebx，设ω＝lny．
（Ⅰ）利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系（当相关系数满足|r|＞0.789时，则有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）；
（Ⅱ）利用x与ω的相关性及表格中的前8组数据求出y与x之间的回归方程（结果保留两位小数）；
（Ⅲ）如果每场观众人数不足0.7（百人），称为“非满场”．从表格中的10组数据中随机选出8组，设ξ表示“非满场”的数据组数，求ξ的分布列及数学期望．
附：≈6.48，≈2.45，≈1.30，e1.17≈3.22．前8组数据的相关量及公式：xi＝36，yi＝11.68，ωi＝2.18，（xi﹣）2＝42，（yi﹣）2＝3.61，（ωi﹣）2＝1.70，（xi﹣）（yi﹣）＝﹣11.83，（xi﹣）（ωi）＝﹣8.35，
对于样本（vi，ui）（i＝1，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝，相关系数r＝．
【解析】（Ⅰ）∵γ＝≈≈﹣0.99．
∴|r|≈0.99＞0.789，
∴有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系．
（Ⅱ）对y＝aebx两边求对数得：lny＝lna+bx，
设μ＝lna，又ω＝lny，则ω＝bx+μ，
＝＝≈﹣0.20，
＝＝4.5，＝＝0.2725，
∴μ＝＝0.2725+0.2×4.5＝1.1725≈1.17，
∴ω＝﹣0.2x+1.17，
∴y与x之间的回归方程为y＝e﹣0.20x+1.17，即y＝3.22e﹣0.20x．
（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P



∴E（ξ）＝＝2.4．
87.(2021•安徽宿州三模•文T18．)2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成．2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占．
（Ⅰ）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？

赞成种植
不赞成种植
合计
45岁及以下



45岁以上



合计



（Ⅱ）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．
附表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式为：K2＝．
【解析】（Ⅰ）由题意可得2×2 列联表：

赞成种植
不赞成种植
合计
45岁及以下
200
150
350
45岁以上
100
150
250
合计
300
300
600
∴K2＝＝≈17.143＞7.879，
经查表，得P（K2＞7.879）≈0.005，
所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．
（Ⅱ）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2：3，
所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a，b，“不赞成种植的”有3人，记为C，D，E，
从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：（a，b），（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），（C，D），（C，E），（D，E），共有n＝10种不同的结果，
两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了m＝6种结果．
所以所求概率P＝＝＝．
88.(2021•安徽马鞍山三模•理T19．)某校组织200名学生参加某学科竞赛．这200名学生的成绩频率分布表如表：
分组
[20，40]
（40，60]
（60，80]
（80，100]
（100，120]
（120，140]
频率
0.01
0.09
0.365
0.43
0.085
0.02
（1）求样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩Z近似服从正态分布N（μ，16.52），其中μ取样本平均值．分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；
（3）本次学科竞赛的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分．学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为，作答的情况下他从6个选项中随机的选择其中一个作答．求甲的得分X的期望值．
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6828，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．
【解析】（1）样本平均数＝30×0.01+50×0.09+70×0.365+90×0.43+110×0.083+130×0.02＝81．
（2）由（1）知Z～N（81，16.52），
∴P（Z＞97.5）＝＝0.1587，
∴在这200名学生中，晋级人数为200×0.1587≈32．
（3）设甲剩余10道题中答一题的得分为Y，则Y的分布列为：
Y
6
0
1.5
P



故Y的期望E（Y）＝6×+0×+1.5×＝，
故甲的得分X的期望值为E（X）＝E（90+10Y）＝90+10×＝．
89.(2021•安徽马鞍山三模•文T18．)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响．PM2.5粒径小，富含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量影响很大．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为优级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为良级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A城市2020年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，日均值（单位：微克/立方米）如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）求20天样本数据的平均数；
（2）在A城市共采集的20个数据样本中，从PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5日均值均超标的概率；
（3）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A城市一年（按365天计算）中空气质量达到优级、良级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）

【解析】（1）20天样本数据的平均数为：
＝（16+20+24+27+32+36+37+40+42+54+57+62+63+65+71+76+78+82+85+93）＝53．
（2）在A城市共采集的20个数据样本中，PM2.5日均值在[70，90]的数据有6个，其中PM2.5日均值超标的数据有5个，
从PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，基本事件总数n＝＝15，
取到2天的PM2.5日均值均超标包含的基本事件个数m＝＝10，
∴取到2天的PM2.5日均值均超标的概率P＝＝＝．
（3）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，
这20天的PM2.5日均值数据，空气质量达到优级的天数为5天，空气质量达到良级的天数为10天，
∴A城市一年（按365天计算）中空气质量达到优级的天数为：365×≈91（天），
空气质量达到良级的天数为：365×≈183（天）．
90.(2021•江西九江二模•理T21．)2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战略．要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设．要尊重科学、严格监管，有序推进生物育种产业化应用．某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植．通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p（0＜p＜1），每颗种子是否发芽相互独立．现任取该植物种子2n﹣1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功（n≥2）．
（Ⅰ）当n＝3，p＝时，求种植成功的概率及X的数学期望；
（Ⅱ）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
【解析】（Ⅰ）由题意可知，X服从二项分布B（5，），故P（X＝k）＝（k＝3，4，5），
故种植成功的概率为＝，
E（X）＝＝；
（Ⅱ）设种植2n﹣1颗种子时，种植成功的概率为P1，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为P2，
当种植2n+1颗种子时，考虑前2n﹣1颗种子出芽数，
为了种植成功，前2n﹣1颗种子中至少要有n﹣1颗种子出芽，
①前2n﹣1颗种子中恰有n﹣1颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子必须都要出芽，
所以这种情况下种植成功的概率为•p2；
②前2n﹣1颗种子恰有n颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，
所以这种情况下种植成功的概率为•[1﹣（1﹣p）2]；
③前2n﹣1颗种子至少有n+1颗出芽，它的概率为，此时种植一定成功．
所以P2＝•p2+•[1﹣（1﹣p）2]+，
故P2﹣P1＝•p2+•[1﹣（1﹣p）2]，
＝，
因为，
所以＝，
所以当时，P2＜P1，种植成功率会降低；
当时，P2＝P1，种植成功率不变；
当时，P2＞P1，种植成功率会提高．
91.(2021•北京门头沟二模•理T17) 京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响.如表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：
时间(分钟)
10∼20
20∼30
30∼40
40∼50
50∼60
莲石路(L1)的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
阜石路(L2)的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
若甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率).
甲、乙两人应如何选择各自的路径？
按照的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望.
【解析】表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到西站”，
Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到西站”，i=1，2.
用频率估计相应的概率可得：
因为P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，
P(A2)=0.1+0.4=0.5，
因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1，
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，
因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择L2.
，B分别表示针对的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到西站，
由知P(A)=0.6，P(B)=0.9，
又由题意知，A，B相互独立，
P(X=0)=P(A-B-)=P(A-)P(B-)=0.4×0.1=0.04，
P(X=1)=P(A-B+AB-)=P(A-)P(B)+P(A)P(B-)
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，
P(X=2)=P(AB)=P(A)(B)=0.6×0.9=0.54，
X的分布列为：
 X
0
1
2
 P
 0.04
0.42
0.54
E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.
【解析】表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到西站”，用频率估计相应的概率P(A1)，P(A2)比较两者的大小，及P(B1)，P(B2)的从而进行判断甲与乙路径的选择；
，B分别表示针对的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内抵达西站，由(I)知P(A)=0.6，P(B)=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可．
本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解，离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查运算求解能力，属于中档题．
92.(2021•河北秦皇岛二模•理T21．)有A、B两盒乒乓球，每盒5个，乒乓球完全相同，每次等可能地从A、B两盒中随机取一个球使用．
（1）若取用后不放回，求当A盒中的乒乓球用完时，B盒中恰剩4个球的概率；
（2）根据以往的经验，每个球可以重复使用3次以上，为了节约，每次取后用完放回原盒，设随机取用3次后A盒中的新球（没取用过的）数目为ξ，求ξ的分布列及期望．
【解析】（1）当A盒中的乒乓球用完时，B盒中恰剩4个球的概率为P＝C根据；
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，
则P（ξ＝2）＝（）3×＝，
P（ξ＝3）＝×）+C＝，
P（ξ＝4）＝（）3××，
P（ξ＝5）＝，
所以ξ的分布列如下：
ξ
2
3
4
5
P




Eξ＝2×＝．
93.(2021•江西上饶二模•理T18．)某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤．
（1）某教练将所带6名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率．
科目
学员
①
②
③
④
⑤
（1）
√
√

√

（2）
√

√
√

（3）
√
√
√

√
（4）
√

√

√
（5）
√
√
√
√

（6）
√
√


√
注“√”表示合格，空白表示不合格
（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行第一轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．（注：每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序全部重考，学员在同一轮补测中5个项目均合格，则可通过“科二”考试）．每人最多只能补考1次．学员甲每轮测试或补测通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为1、1、1、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．求：
（ⅰ）学员甲能通过“科二”考试的概率；
（ⅱ）学员甲缴纳的考试费用X的数学期望．
【解析】（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有的可能情况如下：
学员编号
补测编号
项数
（1）（2）
②③⑤
3
（1）（4）
②③④⑤
4
（1）（6）
③④⑤
3
（2）（4）
②④⑤
3
（2）（6）
②③④⑤
4
（4）（6）
②③④
3
由表可知，全部6种情况中，有4种情况补测项数不超过3，故所求概率为＝；
（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为．
（ⅰ）由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应的概率为，
故学员甲能通过“科二”考试的概率为＝；
（ⅱ）根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但是通过第1轮补测时X＝150，其他情况时均有X＝450，
而，
故X的分布列为：
X
150
450
P


故E（X）＝＝．
94.(2021•江西鹰潭二模•理T19．)疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．
（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布N（μ，σ2）（μ和σ2分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：）规定：若P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＞0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＞0.9974，则称变量X“近似满足正态分布N（μ，σ2）的概率分布”．
（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是，获得100元的概率是．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y，求Y的分布列和数学期望．
【解析】（1）该校的疫情防控是有效的，理由如下：
∵≈14.5，μ＝65，
∴μ﹣2σ＝65﹣2×14.5＝36，μ+2σ＝65+2×14.5＝94，μ﹣3σ＝65﹣3×14.5＝21.5，μ+3σ＝65+3×14.5＝108.5，
∴从抽取的5个低分成绩中得分小于36分的学生有3个，
抽取的10个高分成绩中得分大于94分的有4个，
∴P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝1﹣＝0.965＞0.9544，
∵学生的得分都在[30，100]之间，
∴P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝1＞0.9974，
∴学生的成绩“近似满足正态分布N（65，210）的概率分布”，
因此该校的疫情防控是有效的．
（2）90分以上的同学的人数为10人，其中不低于94分的有4人，得分低于94分的有6人，
则Y的可能值为50，100，150，200，
P（Y＝50）＝×＝，
P（Y＝100）＝×+×（）2＝，
P（Y＝150）＝××+××＝，
P（Y＝200）＝×（）2＝，
所以Y的分布列为：
Y
50
100
150
200
P




所以E（Y）＝50×+100×+150×+200×＝87.5．
95.(2021•河北邯郸二模•理T19．)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品（充话费等）的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．
表1
购买实物商品（元）
（0，100）
[100，500）
[500，1000）
积分
2
4
6
概率



表2
购买虚拟商品（元）
（0，20）
[20，50）
[50，100）
[100，200）
积分
1
2
3
4
概率




（Ⅰ）求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；
（Ⅱ）求小张一个月积分不低于8分的概率；
（Ⅲ）若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望．
【解析】（Ⅰ）小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为+＝，
购买虚拟商品不低于100元的概率为，
所以所求概率为×＝．
（Ⅱ）根据条件，积分不低于8分有两种情况：
①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2，3，4分；
②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，
故小张一个月积分不低于8分的概率为×（1﹣）+×＝．
（Ⅲ）由条件可知X的可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝P（X＝5）＝＝，
即分布列如下：
X
3
4
5
P



数学期望E（X）＝3×+4×+5×＝．
96.(2021•山东潍坊二模•T17．)某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有60人．下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图．将日均校内体育锻炼时间在[60，80]内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生．
（1）若该校共有2000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；
（2）根据样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？
是否达标
性别
锻炼时间达标
锻炼时间未达标
合计
男



女



合计



附：K2＝，
P（K2≥k）
0.10
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

【解析】（1）由频率分布直方图可得：
在日均校内体育锻炼时间在[60，80]内“锻炼时间达标”的学生概率为：0.010×10+0.005×10＝0.15，
其人数为：100×0.015＝15人，
已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生，
所以男生有10人．
未达标人数中男生：60﹣10＝50人，女生：100﹣60﹣5＝35人；
若该校共有2000名学生，该校“锻炼时间达标”的学生人数为：2000×0.15＝300人；
（2）根据样本数据完成下面的2×2列联表，
是否达标
性别
锻炼时间达标
锻炼时间未达标
合计
男
10
50
60
女
5
35
40
合计
15
85
100
K2＝＝≈0.327＜6.635，
故答案为：没有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关．
97.(2021•辽宁朝阳二模•T19．)中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．

关注
没关注
合计
男



女



合计



附：
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
，其中n＝a+b+c+d
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

【解析】（1）2×2列联表如下：

关注
没关注
合计
男
30
30
60
女
12
28
40
合计
42
58
100
所以＝3.941＞3.841，
所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；
（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为＝，
又因为X～B（3，），所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




故E（X）＝np＝．
98.(2021•广东潮州二模•T20．)为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M，则M的对立事件是一个给药周期也没有参加完，
设一次给药出现F症状为事件A，则一个一个给药周期也没有参加完的概率为：
P（）＝P（AA）+P（AA）＝（）2+＝．
∴一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为：
P（M）＝1﹣P（）＝1﹣＝．
（2）设事件B为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状”，
则P（B）＝＝，
随机变量X的可能取值为1，2，3，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝[1﹣P（B）]•P（B）＝＝，
P（X＝3）＝[1﹣P（B）]•[1﹣P（B）]＝＝，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P



E（X）＝＝．
99.(2021•安徽淮北二模•文T19．) 2021年2月25日，全国脱贫攻坚表彰大会在北京隆重召开，习近平总书记在讲话中指出，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除贫困的艰巨任务．脱贫攻坚决战取得了全面胜利．为了防止返贫监测和建立帮扶机制，采取有效举措巩固脱贫攻坚成果，某市统计局统计出该市居民2014至2020年人均月支配收入散点图如图：（年份用末尾数字减3表示，2020年用7表示）

（Ⅰ）由散点图可知，人均可支配月收入y（万元）与年份x之间具有较强的线性关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到0.001），依此相关关系预测2021年该市人均可配月收入；
（Ⅱ）在2016到2020年的五个年份中随机抽取两个数据作进一步样本分析，求所取得的两个数据中，人均可支配月收入恰好有一个超过5000元的概率．
（＝＝，＝﹣．）
【解析】（Ⅰ）由散点图知，＝×（1+2+3+4+5+6+7）＝4，
＝×（0.4+0.39+0.45+0.48+0.6+0.62+0.7）＝0.52，
xi•yi＝0.4+0.78+1.35+1.92+3+3.72+4.9＝16.07，
＝1+4+9+16+25+36+49＝140，
＝＝＝≈0.054，
＝﹣＝0.52﹣0.054×4＝0.304，
所以y关于x的回归方程y＝0.054x+0.304，
由2021年对应的x＝8，y＝0.52×8+0.304＝0.736，
依此相关关系预测2021年该市人均可配月收入0.736万元；
（Ⅱ）在2016到2020年的五个年份中，人均可支配月收入分别为4500，4800，6000，6200，7000；
其中低于5000元的有2个，记为A、B，超过5000元的有3个，记为c、d、e，
从这5个数中随机抽取2个，基本实践为：AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10个，
恰好有一个超过5000元的事件为Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共6个，
故所求的概率为P＝＝．
100.(2021•吉林长春一模•文T19．)(12分)某小区超市采取有力措施保障居民
1 2 3 4 5 6 购买量/kg
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
频率/组距
正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的
甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲
类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率
分布直方图(如图).
(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数;
(Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量
在单位:)的居民为A组,购买量在
(单位:]的居民为B组,采用分层抽样的方式从
该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B组户数为2的概率.
【解析】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为;
(Ⅱ)依据分层抽样,A组有2人,设为x，y，B组有3人,设为a，b，c
从中任选2人,可能的情况为xya、xyb、xyc、xab、xbc、xac、yab、ybc、yac、
abc共10种情况,其中B组户数有2户的有xab、xbc、xac、yab、ybc、yac共6
种,因此选出的B组户数为2的概率为.
101.(2021•山西调研二模•文T19)某医药科技公司研发出一种新型疫苗，为了合理定价，公司将在A地区进行为期一个月(30天)的试预约疫苗，收录数据如下：(由于正式开始预约疫苗后，人员会大量增加，估计全市预约人数为A地区试预约人数的300倍.)
表1：A地区一个月预约疫苗人数统计表
预约人数
(10,15]
(15,20]
(20,25]
(25,30]
(30,35]
(35,40]
天数
a
5
8
6
5
3
(1)若将人数少于20人称为“清闲”，则A地区半年(按6×30天计算)中“清闲”的天数为多少？(将频率视为概率)
(2)每支疫苗的成本约80元，疫苗前期研发、人员支出等成本约1500万元，若要在一年内(12×30天)恰好收回成本，则每支疫苗的合理定价应为多少元？(同组数据用中值代替)(保留一位小数)
(3)疫苗开始预约后，医院人流量也受到影响.从某医院收集到疫苗预约前后各30天来医院看病的人数，数据如表2.若规定人数大于30为“看病高峰”，则通过计算判断“看病高峰”是否与疫苗开始预约有99%的相关性？
表2：预约疫苗与看病人数2×2列联表

看病高峰天数
非看病高峰天数
总计
疫苗预约前
8


疫苗预约后

3

总计



附：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)由表知，a=30-5-8-6-5-3=3天，
∴A地区半年中“清闲”的天数为3+530×180=48天．
(2)试预约人数每月平均数为x-=12.5×3+17.5×5+22.5×8+27.5×6+32.5×5+37.5×3=745人，
∵全市预约人数为A地区试预约人数的300倍，
∴正式预约后一年内人数为745×300×12=2682000人=268.2万人，
设每支疫苗定价为m元，则268.2(m-80)=1500，解得m≈85.6元，
∴每支疫苗的合理定价应为85.6元．
(3)预约疫苗与看病人数2×2列联表如下：

看病高峰天数
非看病高峰天数
总计
疫苗预约前
8
22
30
疫苗预约后
27
3
30
总计
35
25
60
∴K2=60×(8×3-22×27)230×30×35×25≈24.754>6.635，
故有99%的把握认为“看病高峰”与疫苗开始预约有关．
【解析】(1)由表知，a=3，再以频率估计概率，即可得解；
(2)先计算试预约人数每月平均数x-，从而得正式预约后一年内人数，设每支疫苗定价为m元，由数量×(单价-单位成本)=总成本，列得关于m的方程，解之即可；
(3)先填写2×2列联表，再根据K2的公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断．
本题考查独立性检验，频数分布表，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．
102.(2021•宁夏银川二模•文T18．)某公司举办了一场新产品推介会，为进步了解产品消费群体的年龄和性别特征，销售人员拟从参加现场会的人员中抽取一个容量为200的样本．
（1）你认为销售人员应该采用哪种抽样方法，能使样本有更好的代表性并说明理由；
（2）经过调查，销售人员获得了如下数据：

喜欢
不喜欢
合计
男
30
50
80
女
80
40
120
合计
110
90
200


喜欢
不喜欢
合计
50岁以上（含50岁）
90
40
130
50岁以下
30
40
70
合计
120
80
200
根据以上信息，你是否有99%的把握认为是否喜欢该产品和性别有关：你是否有99%的把握认为是否喜欢该产品和年龄有关；
（3）根据以上信息，你对该公司这款产品销售策略有何建议．
参考公式和数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】（1）分层抽样，由于现场人员中个体分不同部分，所以采用分层抽样可以更好的从部分体现总体．
（2）∵＝＞6.635，
∴有99%的把握认为是否喜欢该产品和性别有关，
∵K2＝＝＞6.635，
∴有99%的把握认为是否喜欢该产品和年龄有关．
（3）该产品更多受到女性与50岁以上人群喜欢，
所以在销售时，对象尽量选择女性和50岁以上人群．
103.(2021•河南郑州二模•文T17．)2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号x
1
2
3
4
5
经济收入y（单位：百万元）
5
9
14
17
20

（Ⅰ）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；
（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．
【解析】（Ⅰ）①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；
②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；
③与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；
（Ⅱ）由表格中的数据可知，，
，，
则＝＝，
所以＝﹣＝1.6，
故经济收入y关于x的线性回归方程为＝3.8x+1.6，
当x＝10时，＝39.6，则2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元．
104.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T20．)为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：
（Ⅰ）试估计该地区居民户月均用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；
（Ⅱ）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档），20%用户在第二档，5%用户在第三档（最高一档）
（ⅰ）试估计第一档与第二档的临界值α，第二档与第三档的临界值β；
（ⅱ）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档0.4元/千瓦时，第二档0.55元/千瓦时，第三档0.8元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值．
设用户的用电量是x千瓦时，电费是f（x），则f（x）＝

【解析】（Ⅰ）估计该地区居民户月均用电量的平均值为：
45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05＝67千瓦时；
（Ⅱ）（ⅰ）因为前三组的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6，第四组的频率为0.025×10＝0.25，
所以α在[70，80），则有0.025×（α﹣70）＝0.75﹣0.6，解得α＝76，
区间[40，80）的频率为0.6+0.25＝0.85，区间[80，90）的频率为0.1，
所以β＝90；
（ⅱ）该地区居民户月均电费的平均值为：
0.4×（45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25）+0.4×76×0.1+0.55×9×0.1+0.4×76×0.05+0.55×14×0.05+0.8×5×0.05＝27.14元．