2020届全国各地高考试题分类汇编02三角函数平面向量.docx

05三角函数和解三角形

1.（2020•北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.

【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，

所以，单位圆的内接正边形的周长为，

单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，

，则.

故选：A.

【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

2.（2020•北京卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．

【答案】（均可）

【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.

【详解】因为，

所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.

【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.

3.（2020•北京卷）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；

选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .

【解析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；

选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.

【详解】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

4.（2020•全国1卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：

所以函数的最小正周期为故选：C

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

5.（2020•全国1卷）已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】用二倍角余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.

【详解】，得，

即，解得或（舍去），

又.故选：A.

【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

6.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（    ）

A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0

【答案】D

【解析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7.（2020•全国2卷）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，，

（2）由余弦定理得：，

即.（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

8.（2020•全国3卷）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.

【详解】在中，，，

根据余弦定理：,,

可得 ，即,由,

故.故选：A.

【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

9.（2020•全国3卷）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ）

A. –2 B. –1 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.

【详解】，，

令，则，整理得，解得，即.故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.

10.（2020•全国3卷）关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

11.（2020•江苏卷）已知 =，则的值是____.

【答案】

【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

【详解】

,故答案为：

【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

12.（2020•江苏卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

【答案】

【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

【详解】

,当时,故答案为：

【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.

13.（2020•江苏卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.

（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.

【详解】（1）由余弦定理得，所以.

由正弦定理得.

（2）由于，，所以.

由于，所以，所以

所以

.

由于，所以.

所以.

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.

14.（2020•新全国1山东）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，即函数的解析式为：

.

而,故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

15.（2020•新全国1山东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】解法一：由可得：，不妨设，

则：，即.

选择条件①的解析：据此可得：，，此时.

选择条件②的解析：据此可得：，

则：，此时：，则：.

选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

解法二：∵,

∴, ，

∴,∴,∴,∴,

若选①，,∵,∴,∴c=1;

若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

16.（2020•天津卷）已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是

A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

【答案】B

【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.故选：B.

【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.

17.（2020•天津卷）在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

，又因为，所以；

（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，

进而，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

17.（2020•浙江卷）.已知，则________；______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得

【详解】，

，故答案为：

【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

18.（2020•浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

【答案】（I）；（II）

【解析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；

（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.

【详解】（I）由结合正弦定理可得：

△ABC为锐角三角形，故.

（II）结合(1)的结论有：

.

由可得：，，

则，.

即的取值范围是.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

10.（2020•上海卷）已知.

（1）若f(x)的周期是4π，求，并求此时的解集；

（2）已知，，，求g(x)的值域.

【答案】（1），;（2）

06平面向量

1.（2020•北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.

【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，，

则点，，，

因此，，.故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

2.（2020•全国1卷）设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【解析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.

【详解】因为为单位向量，所以

所以

解得：,所以,故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

3.（2020•全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

【答案】

【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.

【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.故答案为：．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.（2020•全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】，，，.

，

因此，.故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

5.（2020•江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】

【解析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】∵三点共线，∴可设，∵，

∴，即，

若且，则三点共线，∴，即，

∵，∴，∵,,，∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，∴，解得，∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．

6.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

7.（2020•天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.

【详解】，，，

，解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

8.（2020•浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.

【详解】，，，

.故答案为：.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.