数学人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案及答案

5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)

必备知识基础练

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝2sin　 B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin   D．f(x)＝2sin

2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D.

3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是(　　)

A．A＝3，T＝2π

B．B＝－1，ω＝2

C．T＝4π，φ＝－

D．A＝3，φ＝

4.若将函数y＝2sin  2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)

A．x＝－(k∈Z)   B．x＝＋(k∈Z)

C．x＝－(k∈Z)  D．x＝＋(k∈Z)

5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)

A.　　　B.      C.　　　  D.

6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.　　　B.     C．0　　　D．－

7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，B，C为图象上相邻的最高点和最低点，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象．

(1)求f(x)的最小正周期及解析式；

(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值．

关键能力综合练

一、选择题

1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)

A．y＝sin 

B．y＝sin

C．y＝cos 

D．y＝cos

2．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos  ωx的图象(　　)

A．向右平移个单位长度　　B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度     D．向左平移个单位长度

3．已知ω>0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为，则ω有(　　)

A．最小值2  B．最大值2

C．最小值1  D．最大值1

4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值等于(　　)

A.     B．2＋2

C.＋2  D.－2

5．已知点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则(　　)

A．f(x)的最小正周期是π

B．f(x)的值域为[0,4]

C．f(x)的初相φ＝

D．f(x)在区间上单调递增

6．(易错题)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)

二、填空题

7．在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是________．

8．已知函数f(x)＝3sin，则f(x)图象的一条对称轴方程是____________；当x∈时，f(x)的值域为__________．

9．(探究题)关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；

②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；

③y＝f(x)的图象关于对称；

④y＝f(x)的图象关于x＝－对称．

其中正确命题的序号为________．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．

学科素养升级练

1．(多选题)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有(　　)

A．函数f(x)的最小正周期是π；

B．函数f(x)在区间上是减函数；

C. 函数f(x)的图象关于点对称；

D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到．

2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.

3．(学科素养—逻辑推理)设m为实常数，已知方程sin＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.

(1)求m的取值范围；

(2)求α＋β的值．

答案

必备知识基础练

1．解析：由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.

答案：B

2．解析：将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，即y＝sin＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos 2x.

答案：B

3．解析：y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos.故选B.

答案：B

4．解析：y＝3sin，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y＝3sin，故选B.

答案：B

5．解析：将y＝sin  x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．

答案：C

6．解析：将函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin 2x＋1的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1的图象．故选B.

答案：B

8．解析：先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得函数y＝5sin－3的图象．

关键能力综合练

1．解析：由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝.

答案：B

2．解析：先将y＝2sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图象．

答案：C

3．解析：y＝sin的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数．

答案：D

4．解析：y＝cos＝sin

＝sin＝sin.

由题意知，要得到y＝sin的图象，

只需将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度．

答案：A

5．解析：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即得y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象．

答案：A

6．解析：由题意，得g(x)＝sin＝sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，

∴g(x)为偶函数，∴2φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝；当k＝1时，φ＝，故选D.

答案：D

7．解析：将函数y＝sin  4x的图象向左平移个单位长度，

得y＝sin＝sin，

所以φ的值为.

答案：

8．解析：平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，

∴2×－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

∴φ＝－－(k∈Z)，又∵φ>0，

∴当k＝－1时，φ的最小值为.

答案：

9．解析：y＝sin xy＝siny＝sin或y＝sin xy＝siny＝sin＝sin.

答案：④②或②⑥

10．解析：(1)ω＝＝＝2.

(2)由(1)可知f(x)＝sin.列表：

作图(如图所示)．

(3)把函数y＝sin x的图象上的所有点向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象．

学科素养升级练

1．解析：A正确；B错，y＝sin x的图象向右平移2个单位，得y＝sin(x－2)的图象；C正确；D错，应向左平移个单位．

答案：AC

2．解析：cos＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，k∈Z，

∴φ＝4kπ－，k∈Z.

∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．

答案：

3．解析：(1)因为ω>0，根据题意有

解得0<ω≤.

所以ω的取值范围是.

(2)由f(x)＝2sin  2x可得，

g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，

g(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，

即g(x)的零点相邻间隔依次为和，

故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，

则b－a的最小值为14×＋15×＝.