必修第一册4.4 对数函数课时训练

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这是一份必修第一册4.4 对数函数课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十) 对数函数及其性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )

A．(－∞，7] B．(2,7]

C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)

B [由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，

即2

2．函数f(x)＝|lgeq \f(1,2)x|的单调递增区间是( )

A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]

C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)

D [f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．

]

3．已知lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)>0，则下列关系正确的是( )

A．0

C．1

A [由lgaeq \f(1,3)>0，lgbeq \f(1,3)>0，可知a，b∈(0,1)，

又lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)，作出图象如图所示，

结合图象易知a>b，∴0

]

4．若a＝20.2，b＝lg4(3.2)，c＝lg2(0.5)，则( )

A．a＞b＞c B．b＞a＞c

C．c＞a＞b D．b＞c＞a

A [∵a＝20.2＞1＞b＝lg4(3.2)＞0＞c＝lg2(0.5)，∴a＞b＞c.故选A.]

5．若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )

A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)

C．2 D．4

B [当a>1时，a＋lga2＋1＝a，lga2＝－1，a＝eq \f(1,2)(舍去)．

当0

二、填空题

6．函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．

[－2，＋∞) [－x2＋3x＋4＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4)，

∴有0<－x2＋3x＋4≤eq \f(25,4)，

∴根据对数函数y＝lg0.4x的图象(图略)即可得到：

lg0.4(－x2＋3x＋4)≥lg0.4eq \f(25,4)＝－2，

∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]

7．若lgaeq \f(2,3)<1，则a的取值范围是________．

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞) [原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0a))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,\f(2,3)

解得01，

故a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．]

8．若y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

(1,3] [因为y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋3≥0，,a>1，,a>0且a≠1，))

解得1

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．

(1)求函数y＝f(x)的定义域；

(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．

[解] (1)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋x>0，,3－x>0，))解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．

(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．

对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．

∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，

∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．

10．已知函数y＝(lg2x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.

(1)令t＝lg2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；

(2)求该函数的值域．

[解] (1)y＝eq \f(1,2)(t－2)(t－1)＝eq \f(1,2)t2－eq \f(3,2)t＋1，

又2≤x≤8，∴1＝lg22≤lg2x≤lg28＝3，即1≤t≤3.

(2)由(1)得y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,8)，1≤t≤3，

当t＝eq \f(3,2)时，ymin＝－eq \f(1,8)；

当t＝3时，ymax＝1，∴－eq \f(1,8)≤y≤1，

即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，1)).

11．(多选题)函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )

A．奇函数 B．偶函数

C．增函数 D．减函数

AD [f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)－x)))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))＝lgeq \f(1,x2＋1－x2)＝lg 1＝0，

∴f(x)为奇函数，

令h(x)＝eq \r(x2＋1)＋x，易知h(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)在(0，＋∞)上为减函数

∴f(x)＝lg eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)在(0，＋∞)上为减函数．

又f(x)为奇函数，故f(x)在R上为减函数．]

12．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )

A．(eq \r(2)，2) B．(1，eq \r(2))

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))

C [当0＜x≤eq \f(1,2)时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜lgax恒成立，则y＝lgax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝lgax的图象与y＝4x的图象交于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))点时，a＝eq \f(\r(2),2)，故虚线所示的y＝lgax的图象对应的底数a应满足eq \f(\r(2),2)＜a＜1，故选C.

]

13．(一题两空)函数y＝lgeq \f(1,2)(1－x2)的单调增区间为________，最小值为________．

[0,1) 0 [要使y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (1－x2)有意义，则1－x2>0，

所以x2<1，则－1

令t＝1－x2，x∈(－1,1)．

当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2))t减小，

所以当x∈(－1,0]时，y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (1－x2)是减函数；

同理当x∈[0,1)时，y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (1－x2)是增函数．

故函数y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2)) (1－02)＝0.]

14．设常数a＞1，实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，若y的最大值为eq \r(2)，则x的值为________．

eq \f(1,8) [实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，

化为lgax＋eq \f(2,lgax)＋eq \f(lgay,lgax)＝－3.

令lgax＝t，则原式化为lgay＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4).

∵a＞1，∴当t＝－eq \f(3,2)时，y取得最大值eq \r(2)，

∴lgaeq \r(2)＝eq \f(1,4)，解得a＝4，∴lg4x＝－eq \f(3,2)，

∴x＝4eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝eq \f(1,8).]

15．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，其中0

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．

[解] (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,x＋3>0，))

解得－3

(2)函数可化为f(x)＝lga(1－x)(x＋3)＝lga(－x2－2x＋3)＝lga[－(x＋1)2＋4]，因为－3

因为0

即f(x)min＝lga4，由lga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4eq \s\up12(－eq \f(1,4))＝eq \f(\r(2),2).

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