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初中数学第23章 图形的相似23.3 相似三角形4. 相似三角形的应用学案及答案
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这是一份初中数学第23章 图形的相似23.3 相似三角形4. 相似三角形的应用学案及答案，共5页。学案主要包含了学习目标，基础知识演练，思维技能整合，发散创新尝试，回顾体会联想等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
学会把一已知线段几等分，灵活运用相似三角形知识解决几何问题.
【基础知识演练】
1.相似三角形的知识不但在实践中有着广泛的应用，还可用来解决许多有趣的数学问题.如把线段AB五等分（如图）就可以用相似三角形的知识来解决.方法是：（1）过线段AB的一端点A任意画一射线；（2）在AP上依次截取五段相等的线段AAl、 AA2、AA3、AA4、AA5.（3）连结A5B.（4）分别过A4、A3、A3、Al点画BA5的平行线，这些平行线与线段AB交于点 F、E、D、C，这样就把线段AB五等分.请仿照这种方法把线段AB七等分.
2. 如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC．若DE＝2㎝，BC＝3㎝，EC＝㎝，求AC的长．
3. 如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，求CD的长.
4. 如图，在△ABC中，AB＝14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长.
5．如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，若AB=6，求线段BP的长.
【思维技能整合】
6. 如图，设M，N分别是直角梯形ABCD两腰AD，CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）
A．2:1 B．1:2 C．3:2 D．2:3
7. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米
8. 如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A.AE⊥AF B.EF∶AF=∶1 C.AF2=FH·FE D.FB∶FC=HB∶EC
9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，∶＝ ，∶＝ .
10. 在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2 cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个.
【发散创新尝试】
11.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.
【回顾体会联想】
12. 相似三角形在解题中起着举足轻重的作用：如证两角相等、计算角的大小、证线段成比例、求线段长度、等积线段、求函数解析式等，解题时要认真审题，分析、选用适当的方法.你能总结出解决问题的关键吗？
参考答案
1.略 2. 2 3. eq \f(40,9) 4.△ADE的面积为cm2，周长为15 cm. 5．BP=2 6. A
7. B 8. C 9. 3∶5，9∶25，3∶5 10. 2秒或0.8秒，这样的三角形有两个
11. （1）过C作CD⊥OA于A，BE⊥OA于E,则△OCD≌△ABE，四边形CDEB为矩形.
∴OD=AE，CD=BE.
∵OC=AB=4，∠COA=60°.∴CD=，OD=2.
∴CB=DE=3,∴OE=OD+DE=5.
∵BE=CD=,∴B（5，）.
（2）∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形,
∴△OCP是等边三角形.∴OP=OC=4.∴P（4，0）.
即P运动到（4，0）时，△OCP为等腰三角形,
（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°,∴∠OPC+∠DPA=120°.
又∵∠PDA+∠DPA=120°,∴∠OPC=∠PDA.∵∠OCP=∠A=60°,∴△COP∽△PAD.
∴.
∵，AB=4,∴BD=.∴AD=.即 .
∴.
得OP=1或6.
∴P点坐标为（1，0）或（6，0）.
【学习目标】
学会把一已知线段几等分，灵活运用相似三角形知识解决几何问题.
【基础知识演练】
1.相似三角形的知识不但在实践中有着广泛的应用，还可用来解决许多有趣的数学问题.如把线段AB五等分（如图）就可以用相似三角形的知识来解决.方法是：（1）过线段AB的一端点A任意画一射线；（2）在AP上依次截取五段相等的线段AAl、 AA2、AA3、AA4、AA5.（3）连结A5B.（4）分别过A4、A3、A3、Al点画BA5的平行线，这些平行线与线段AB交于点 F、E、D、C，这样就把线段AB五等分.请仿照这种方法把线段AB七等分.
2. 如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC．若DE＝2㎝，BC＝3㎝，EC＝㎝，求AC的长．
3. 如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，求CD的长.
4. 如图，在△ABC中，AB＝14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长.
5．如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，若AB=6，求线段BP的长.
【思维技能整合】
6. 如图，设M，N分别是直角梯形ABCD两腰AD，CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）
A．2:1 B．1:2 C．3:2 D．2:3
7. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米
8. 如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A.AE⊥AF B.EF∶AF=∶1 C.AF2=FH·FE D.FB∶FC=HB∶EC
9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，∶＝ ，∶＝ .
10. 在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2 cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个.
【发散创新尝试】
11.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.
【回顾体会联想】
12. 相似三角形在解题中起着举足轻重的作用：如证两角相等、计算角的大小、证线段成比例、求线段长度、等积线段、求函数解析式等，解题时要认真审题，分析、选用适当的方法.你能总结出解决问题的关键吗？
参考答案
1.略 2. 2 3. eq \f(40,9) 4.△ADE的面积为cm2，周长为15 cm. 5．BP=2 6. A
7. B 8. C 9. 3∶5，9∶25，3∶5 10. 2秒或0.8秒，这样的三角形有两个
11. （1）过C作CD⊥OA于A，BE⊥OA于E,则△OCD≌△ABE，四边形CDEB为矩形.
∴OD=AE，CD=BE.
∵OC=AB=4，∠COA=60°.∴CD=，OD=2.
∴CB=DE=3,∴OE=OD+DE=5.
∵BE=CD=,∴B（5，）.
（2）∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形,
∴△OCP是等边三角形.∴OP=OC=4.∴P（4，0）.
即P运动到（4，0）时，△OCP为等腰三角形,
（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°,∴∠OPC+∠DPA=120°.
又∵∠PDA+∠DPA=120°,∴∠OPC=∠PDA.∵∠OCP=∠A=60°,∴△COP∽△PAD.
∴.
∵，AB=4,∴BD=.∴AD=.即 .
∴.
得OP=1或6.
∴P点坐标为（1，0）或（6，0）.
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