2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第九章　第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程

一、知识梳理

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．

(2)倾斜角的范围为[0，π)．

2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.

3．直线方程的五种形式

常用结论

1．直线的倾斜角和斜率的关系

(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．

(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．

2．识记几种特殊位置的直线方程

(1)x轴：y＝0.

(2)y轴：x＝0.

(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．

(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．

(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.

二、教材衍化  

1．经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为        ．

答案：x－y－5＝0

2．经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为        ．

答案：2x＋3y＋2＝0

3．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为        ．

答案：12x－y－18＝0

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)

(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)

(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、易错纠偏

(1)对倾斜角的取值范围不清楚；

(2)忽略截距为0的情况．

1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)

A.   B. 

C.  D．

解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.

2．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为        ．

解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.

答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0

　　　　　　直线的倾斜角与斜率(典例迁移)

(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.   B.∪

C.  D．∪

(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为        ．

【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.

(2)如图，因为kAP＝＝1，

kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.

【答案】　(1)B

(2)∪

【迁移探究1】　(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围为        ．

解析：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.

答案：

【迁移探究2】　(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.

由图可知，直线l斜率的取值范围为.

(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率k＝tan α的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

(2)斜率的求法

①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；

②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．

1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为        ．　

解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.

由于A，B，C三点共线，

所以a－3＝1，即a＝4.

答案：4

2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是        ．

解析：当α∈时，k＝tan α∈；

当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．

综上得k∈[－，0)∪.

答案：[－，0)∪

　　　　　　直线的方程(师生共研)

(1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为        ．

(2)若直线经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为        ．

【解析】　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.

(2)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

②当横截距、纵截距都不为零时，

设所求直线方程为＋＝1，

将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.

综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.

【答案】　(1)4x＋3y－13＝0

(2)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0

巧设直线方程的方法

(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；

(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；

(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；

(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．

[注意]　(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；

(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；

(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.

1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)

A．2x＋y－12＝0  B．2x－y－12＝0

C．2x＋y－8＝0  D．2x－y＋8＝0

解析：选C.由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.

2．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为        ．

解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

答案：x－y＋1＝0或x＋y－7＝0

　　　　　　直线方程的综合应用(典例迁移)

(一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

【解】　法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

法二：设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＋＝1，即x＋2y－4＝0.

【迁移探究】　(变问法)在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解：由本例法二知，＋＝1，a>0，b>0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·

＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.

直线方程综合问题的两大类型及其解法

(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

1．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2，2]　　　　　　  B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2，0)∪(0，2]  D．(－∞，＋∞)

解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，

所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．

2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为        ．

解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.

答案：

[基础题组练]

1．若直线过点(1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角的大小为(　　)

A．30°  B．45° 

C．60°  D．90°

解析：选C.设此直线的倾斜角为α，则k＝tan α＝＝.又a∈[0，π)，所以α＝60°.故选C.

2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x＋2  B．y＝x－2

C．y＝x＋  D．y＝－x＋2

解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.

3．(2020·黑龙江鹤岗一中期中)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1  B．－1 

C．2或1  D．－2或1

解析：选D.当a＝0时，直线方程为y＝2，显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得＝2＋a，解得a＝－2或a＝1，故选D.

4．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B.令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不经过第二象限．选B.

5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A．3x－y－6＝0  B．3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0  D．3x＋y－6＝0

解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.

6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为        ．

解析：BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.

答案：x＋13y＋5＝0

7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为        ．

解析：直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.

答案：y＝x

8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是        ．

解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．

答案：[－2，2]

9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边的垂直平分线DE的方程．

解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，

所以BC的方程为＝，

即x＋2y－4＝0.

(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，

所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，

即2x－y＋2＝0.

10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3，4)；

(2)斜率为.

解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|＝6，

所以b＝±1.

所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

[综合题组练]

1．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜  B．k＞1或k＜

C．k＞或k＜1  D．k＞或k＜－1

解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.

2．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为        ．　

解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.

答案：x－2y＋2＝0或x＝2

3．已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等．

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．

解：(1)①截距为0时，k＝＝，

所以l：y＝x，即x－2y＝0；

②截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将(2，1)代入，计算得t＝3，则直线方程为x＋y－3＝0.

综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.

(2)由题意得l的方程为x＋y－3＝0，

因为点P(a，b)在直线l上，所以a＋b＝3，

所以3a＋3b≥2＝2＝6，

当且仅当a＝b＝时等号成立，

所以3a＋3b的最小值是6.

4．(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，

所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．

易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，

在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，

则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．

又＋＝1(0≤m≤30)，

所以n＝20－m.

所以S＝(100－m)

＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．

所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.

所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．