搜索
    上传资料 赚现金
    2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
    立即下载
    加入资料篮
    2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程01
    2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程02
    2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程03
    还剩15页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

    展开
    
    第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


      

    一、知识梳理
    1.直线的倾斜角
    (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
    (2)倾斜角的范围为[0,π).
    2.直线的斜率
    (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
    (2)过两点的直线的斜率公式
    经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k==.
    3.直线方程的五种形式

    名称
    已知条件
    方程
    适用范围
    点斜式
    斜率k与点(x1,y1)
    y-y1=k(x-x1)
    不含直线x=x1
    斜截式
    斜率k与直线在y轴上的截距b
    y=kx+b
    不含垂直于x轴的直线
    两点式
    两点(x1,y1),(x2,y2)

    (x1≠x2,y1≠y2)
    不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
    截距式
    直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b
    +=1
    (a≠0,b≠0)
    不含垂直于坐标轴和过原点的直线
    一般式

    Ax+By+C=0
    (A2+B2≠0)
    平面直角坐标系内的直线都适用
    常用结论
    1.直线倾斜角和斜率的关系
    不是倾斜角越大,斜率k就越大,因为k=tan α,当α∈时,α越大,斜率k就越大,同样α∈时也是如此,但当α∈[0,π)且α≠时就不是了.
    2.五种特殊位置的直线方程
    (1)x轴:y=0.
    (2)y轴:x=0.
    (3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0).
    (4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0).
    (5)过原点且斜率存在的直线:y=kx.
    二、教材衍化
    1.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
    解析:由题意得=1,解得m=1.
    答案:1
    2.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=________.
    解析:令x=0,得y=; 令y=0,得x=-,则有-=2,所以k=-24.
    答案:-24

    一、思考辨析
    判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(  )
    (2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(  )
    (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(  )
    (4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(  )
    (5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )
    答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
    二、易错纠偏
    (1)由直线方程求斜率的思路不清;
    (2)忽视斜率和截距对直线位置的影响;
    (3)忽视直线斜率不存在的情况;
    (4)忽视截距为0的情况.
    1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+a=0的斜率为________.
    解析:设直线l的斜率为k,则k=-=.
    答案:
    2.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.
    解析:由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
    答案:三
    3.过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为________.
    解析:①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,得x=2-,依题意有××2=2,即=1,解得k=,所以直线m的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.
    答案:x-2y+2=0或x=2
    4.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.
    解析:当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;
    当截距不为0时,设直线方程为+=1,
    则+=1,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.
    答案:3x-2y=0或x+y-5=0
    [学生用书P150]

          直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
    (1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是(  )
    A.        B.∪
    C. D.∪
    (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
    【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α.因为sin α∈[-1,1],所以-1≤tan θ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤或≤θ<π,故选B.


    (2)如图,因为kAP==1,
    kBP==-,所以直线l的斜率k∈∪.
    【答案】 (1)B (2)∪
    【迁移探究1】 (变条件)若将本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.

    解:因为P(-1,0),A(2,1),B(0,),所以kAP==,kBP==.
    如图可知,直线l斜率的取值范围为.
    【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的范围.
    解:如图,直线PA的倾斜角为45°,直线PB的倾斜角为135°,由图象知l的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).


    (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
    ①求出斜率k=tan α的取值范围;
    ②利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
    (2)斜率的求法
    ①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率;
    ②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
    [提醒] 直线倾斜角的范围是,而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分,与三种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当倾斜角α∈时,斜率k∈;当α=时,斜率不存在;当α∈时,斜率k∈.

    1.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
    解析:因为kAC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
    答案:4
    2.已知点(-1,2)和在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l倾斜角的取值范围是________.
    解析:点(-1,2)和在直线l:ax-y+1=0同侧的充要条件是(-a-2+1)>0,解得- 答案:

          求直线的方程(师生共研)
    根据所给条件求直线的方程:
    (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
    (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
    (3)直线过点(5,10),且与原点的距离为5.
    【解】 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
    设倾斜角为α,则sin α=(0≤α<π),
    从而cos α=±,则k=tan α=±.
    故所求直线方程为y=±(x+4),
    即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
    (2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为+=1,
    又直线过点(-3,4),
    从而+=1,解得a=-4或a=9.
    故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
    (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0满足题意;
    当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.
    由点线距离公式,得=5,解得k=.
    故所求直线方程为3x-4y+25=0.
    综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.

    求直线方程的注意事项
    (1)在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式.
    (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).
    (3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性. 
     求满足下列条件的直线方程:
    (1)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;
    (2)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
    解:(1)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,
    所以直线方程为x+2y+1=0;
    当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
    则-5k=2,解得k=-,
    所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
    故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
    (2)由题意可知,所求直线的斜率为±1.
    又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).
    所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.

          直线方程的综合问题(典例迁移)
    (一题多解)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

    【解】 法一:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得+=1≥2,得ab≥24,从而S△AOB=ab≥12,当且仅当=时等号成立,这时k=-=-,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.
    所以△ABO的面积的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.
    法二:依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,
    可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
    则A,B(0,2-3k),
    S△ABO=(2-3k)


    =×(12+12)=12,
    当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
    所以△ABO的面积的最小值为12,所求直线l的方程为2x+3y-12=0.
    【迁移探究1】 (变问法)若本例条件不变,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.
    解:法一:由原例题法一知+=1.
    因为|OA|+|OB|=a+b,
    所以(a+b)=5++≥5+2.
    当且仅当a=b,且+=1,
    即a=3+,b=2+时,
    |OA|+|OB|的最小值为5+2.
    此时,直线l的方程为+=1,
    即x+3y-6-3=0.
    法二:由原例题解法二知
    |OA|+|OB|=3-+2-3k(k<0)
    =5++(-3k)
    ≥5+2=5+2.
    当且仅当-=-3k,即k=-时,
    |OA|+|OB|取最小值5+2.
    此时直线l的方程为y-2=-(x-3),
    即x+3y-6-3=0.
    【迁移探究2】 (变问法)若本例条件不变.求·的最大值及此时直线l的方程.
    解:由原例题法二知A(3-,0),B(0,2-3k),·=(-,-2)·(-3,-3k)=+6k=-[(-)+(-6k)]≤-2 =-12,
    当且仅当-=-6k时,即k=-1时等号成立,此时直线l的方程为x+y-5=0.所以·的最大值为-12,所求直线l的方程为x+y-5=0.

    (1)给定条件求直线方程的思路
    ①考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况;
    ②在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程;
    ③重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.
    (2)与直线有关的最值问题的解题思路
    ①借助直线方程,用y表示x(或用x表示y);
    ②将问题转化成关于x(或y)的函数;
    ③利用函数的单调性或基本不等式求最值. 

    1.已知直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,实数a的值是(  )
    A.1 B.
    C.2 D.3
    解析:选D.当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+=5+(a-1)+.因为a>1,所以a-1>0.所以t≥5+2=9.
    当且仅当a-1=,即a=3时,等号成立.
    2.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________.
    解析:由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=+,当a=时,面积最小.
    答案:
    [学生用书P152]
     巧构造,妙用斜率求解问题
    一、比较大小
    已知函数f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,则,,的大小关系为________.
    【解析】 作出函数f(x)=log2(x+1)的大致图象,如图所示,可知当x>0时,曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,
    因为a>b>c>0,
    所以<<.

    【答案】 <<

    对于函数f(x)图象上的两点(a,f(a)),(b,f(b)),比较与的大小时,可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小. 
    二、求最值
    已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求的最大值和最小值.
    【解】 

    如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象(曲线段AB),则表示定点P(-2,-3)和曲线段AB上任一点(x,y)的连线的斜率k,连接PA,PB,则kPA≤k≤kPB.
    易得A(1,1),B(-1,5),
    所以kPA==,
    kPB==8,
    所以≤k≤8,故的最大值是8,最小值是.

    对于求形如k=,y=的最值问题,可利用定点与动点的相对位置,转化为求直线斜率的范围,借助数形结合进行求解. 
    三、证明不等式
    已知a,b,m∈(0,+∞),且a.
    【证明】 

    如图,设点P,M的坐标分别为(b,a),(-m,-m).
    因为0 又m>0,所以点M在第三象限,且在直线y=x上.
    连接OP,PM,则kOP=,kMP=.
    因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角,且两条直线的倾斜角都是锐角,
    所以kMP>kOP,即>.

    根据所证不等式的特点,寻找与斜率公式有关的信息,从而转变思维角度,构造直线斜率解题,这也是解题中思维迁移的一大技巧,可取得意想不到的效果. 
    [学生用书P370(单独成册)]
    [基础题组练]
    1.倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是(  )
    A.x-y+1=0     B.x-y-=0
    C.x+y-=0 D.x+y+=0
    解析:选D.由于倾斜角为120°,故斜率k=-.又直线过点(-1,0),所以方程为y=-(x+1),即x+y+=0.
    2.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足(  )
    A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0
    C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0
    解析:选A.由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-x-.易知-<0且->0,故ab>0,bc<0.
    3.两直线-=a与-=a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(  )

    解析:选B.直线方程-=a可化为y=x-na,直线-=a可化为y=x-ma,由此可知两条直线的斜率同号.
    4.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是(  )
    A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
    C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)
    解析:选C.令x=0,得y=,
    令y=0,得x=-b,
    所以所求三角形的面积为|-b|=b2,且b≠0,b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].
    5.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为(  )
    A.1 B.2
    C.4 D.8
    解析:选C.因为直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),
    所以a+b=ab,即+=1,
    所以a+b=(a+b)
    =2++≥2+2=4,
    当且仅当a=b=2时上式等号成立.
    所以直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
    6.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是________.
    解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),直线在x轴上的截距为1-.
    令-3<1-<3,解不等式得k<-1或k>.
    答案:k<-1或k>
    7.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是________.
    解析:由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2.
    当y=0时,x=.
    所以=a+2,
    解得a=-2或a=1.
    答案:-2或1
    8.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.
    解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,

    当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.
    所以b的取值范围是[-2,2].
    答案:[-2,2]
    9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:
    (1)过定点A(-3,4);
    (2)斜率为.
    解:(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是--3,3k+4,由已知,得(3k+4)×=±6,解得k1=-或k2=-.
    故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
    (2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,
    由已知,得|-6b·b|=6,
    所以b=±1.
    所以直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
    10.已知射线l1:y=4x(x≥0)和点P(6,4),试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值,并写出此时直线l的方程.
    解:设点Q坐标为(a,4a),PQ与x轴正半轴相交于M点.
    由题意可得a>1,否则不能围成一个三角形.
    PQ所在的直线方程为:y-4=(x-6),
    令y=0,x=,
    因为a>1,所以S△OQM=×4a×,
    则S△OQM==10=
    10≥40,
    当且仅当(a-1)2=1时取等号.
    所以a=2时,Q点坐标为(2,8),
    所以此时直线l的方程为:x+y-10=0.
    [综合题组练]
    1.若直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R)交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(  )
    A.x-2y+4=0 B.x-2y+8=0
    C.2x-y+4=0 D.2x-y+8=0
    解析:选B.由l的方程,得A,B(0,2+4k).
    依题意得解得k>0.因为S=|OA|·|OB|=·|2+4k|=·=≥(2×8+16)=16,当且仅当16k=,即k=时等号成立.此时l的方程为x-2y+8=0.
    2.在等腰三角形MON中,MO=MN,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为(  )
    A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0
    C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
    解析:选C.因为MO=MN,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0,选C.
    3.已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m)且点Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为(  )
    A. B.
    C.1 D.9
    解析:选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,又点Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,所以=3,解得m=0,所以a+c=2,则+=(a+c)·=≥=,当且仅当c=2a=时取等号,故选B.
    4.已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,则实数m的取值范围是____________.
    解析:设M(x,y),由kMA·kMB=3,得·=3,即y2=3x2-3.
    联立得x2+x+6=0.
    要使直线l:x-my+m=0上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,则Δ=-24≥0,即m2≥.
    所以实数m的取值范围是∪.
    答案:∪
    5.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.

    解:由题意可得kOA=tan 45°=1,
    kOB=tan(180°-30°)=-,
    所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.
    设A(m,m),B(-n,n),
    所以AB的中点C,
    由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得

    解得m=,所以A(,).
    又P(1,0),所以kAB=kAP==,
    所以lAB:y=(x-1),
    即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
    6.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
    (1)证明:直线l过定点;
    (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
    (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.
    解:(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,

    解得
    所以无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).
    (2)直线方程可化为y=kx+1+2k,当k≠0时,要使直线不经过第四象限,
    则有
    解得k≥0;
    当k=0时,直线为y=1,符合题意.
    综上,k的取值范围是k≥0.
    (3)依题意得A,B(0,1+2k),

    解得k>0.
    所以S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|
    =·=≥×(2×2+4)=4,
    “=”成立的条件是4k=,此时k=,
    所以Smin=4,
    此时直线l的方程为x-2y+4=0.


    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:0份资料
    • 充值学贝下载 90%的用户选择 本单免费
    • 扫码直接下载
    选择教习网的 4 个理由
    • 更专业

      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿

    • 更丰富

      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;500万+优选资源 ⽇更新5000+

    • 更便捷

      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤

    • 真低价

      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣

    开票申请 联系客服
    本次下载需要:0学贝 0学贝 账户剩余:0学贝
    本次下载需要:0学贝 原价:0学贝 账户剩余:0学贝
    了解VIP特权
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送

        扫码支付后直接下载

        0元

        扫码支付后直接下载

        使用学贝下载资料比扫码直接下载优惠50%
        充值学贝下载,本次下载免费
        了解VIP特权
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付(支持花呗)

        到账0学贝
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付 (支持花呗)

          下载成功

          Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

          若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

          本资源来自成套资源

          更多精品资料

          正在打包资料,请稍候…

          预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

          服务器繁忙,打包失败

          请联系右侧的在线客服解决

          单次下载文件已超2GB,请分批下载

          请单份下载或分批下载

          支付后60天内可免费重复下载

          我知道了
          正在提交订单

          欢迎来到教习网

          • 900万优选资源,让备课更轻松
          • 600万优选试题,支持自由组卷
          • 高质量可编辑,日均更新2000+
          • 百万教师选择,专业更值得信赖
          微信扫码注册
          qrcode
          二维码已过期
          刷新

          微信扫码,快速注册

          还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

          手机号注册
          手机号码

          手机号格式错误

          手机验证码 获取验证码

          手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

          设置密码

          6-20个字符,数字、字母或符号

          注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
          QQ注册
          手机号注册
          微信注册

          注册成功

          下载确认

          下载需要:0 张下载券

          账户可用:0 张下载券

          立即下载

          如何免费获得下载券?

          加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

          即将下载

          2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

          该资料来自成套资源,打包下载更省心

          [共10份]
          浏览全套
            立即下载(共1份)
            返回
            顶部