2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第2讲　第1课时　函数的单调性与最值

第2讲　函数的基本性质

第1课时　函数的单调性与最值

一、知识梳理

1．函数的单调性

(1)增、减函数

(2)单调区间和函数的单调性

①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．

(3)单调函数

如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．

2．函数的最值

常用结论

1．函数单调性的两个等价结论

设对任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，则

(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上是增加的．

(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上是减少的．

2．函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

二、教材衍化

1．函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是(　　)

A．减函数　　　　　　　　 B．增函数

C．先减少再增加的函数   D．先增加再减少的函数

解析：选C.作出函数y＝x2－5x－6的图像(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，在[2，4]上先减少后增加．故选C.

2．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)

A．2   B.

C.  D．－

解析：选B.因为y＝在[2，3]上是减少的，所以ymin＝＝.故选B.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的递增区间是[1，＋∞)．(　　)

(3)函数y＝的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

(4)所有的单调函数都有最值．(　　)

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√

二、易错纠偏

(1)求单调区间忘记定义域导致出错；

(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错；

(3)自变量的系数影响函数的单调性．

1．已知函数f(x)＝，则该函数的递增区间为(　　)

A．(－∞，1]   B．[3，＋∞)

C．(－∞，－1]   D．[1，＋∞)

解析：选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图像的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上递减，在[3，＋∞)上递增．所以函数f(x)的递增区间为[3，＋∞)．

2．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．

解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.

答案：(－∞，2]

3．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围为________．

解析：要使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.

答案：

确定函数的单调性(区间)(多维探究)

角度一　判断或证明函数的单调性

(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．

【解】　法一：设－1<x1<x2<1，

f(x)＝a＝a，

f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1<x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上是减少的；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上是增加的．

法二：f′(x)＝

＝＝－.

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上是减少的；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上是增加的．

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

[注意]　判断函数的单调性还有图像法、导数法、性质法等．

角度二　求函数的单调区间

求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

【解】　f(x)＝

＝

画出函数图像如图所示，可知递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．

【迁移探究】　(变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？

解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的递增区间为(1－，1]和(1＋，＋∞)；递减区间为(－∞，1－ ]和(1，1＋ ]．

确定函数的单调区间的方法

[注意]　(1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．

(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.

1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　)

A．(－∞，0)　　　　　　　 B.

C．[0，＋∞)   D.

解析：选B.y＝|x|(1－x)＝

＝

＝

画出函数的草图，如图．

由图易知原函数在上是增加的．

2．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)

A．f(x)＝2x   B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝－x   D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选C.由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上是减少的，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

3．判断函数y＝的单调性．

解：因为f(x)＝＝2x－，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－在区间(－∞，0)上为增函数．

同理，可得f(x)＝2x－在区间(0，＋∞)上也是增函数．

故函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．

函数的最值(值域)(师生共研)

(1)(一题多解)函数y＝x＋的最小值为________．

(2)(2020·江西南昌质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________．

【解析】　(1)法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，

所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.

配方得y＝＋，

又因为t≥0，所以y≥＋＝1，

故函数y＝x＋的最小值为1.

法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.

(2)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.

【答案】　(1)1　(2)[4，＋∞)

求函数最值的五种常用方法

1．函数f(x)＝的最大值为________．

解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

答案：2

2．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．

解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，

所以即所以

所以a＋b＝6.

答案：6

函数单调性的应用(多维探究)

角度一　比较两个函数值

已知函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b   B．c>b>a

C．a>c>b   D．b>a>c

【解析】　因为f(x)的图像关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，

[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，

知f(x)在(1，＋∞)上是减少的．

因为1<2<<e，

所以f(2)>f>f(e)，

所以b>a>c.

【答案】　D

比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．　

角度二　解函数不等式

已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________．

【解析】　由已知得f(x)＝则f(x)在(－1，1)上是减少的，所以解得0<m<1，

所以所求解集为(0，1)．

【答案】　(0，1)

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．　

角度三　求参数的值或取值范围

已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为________．

【解析】　由题意知，函数f(x)是R上的减函数，于是有解得a≤，即实数a的取值范围是.

【答案】　

利用单调性求参数的策略

(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．　

1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上是增加的，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f.所以0≤2x－1<，解得≤x<.故选D.

2．函数y＝f(x)在[0，2]上是增加的，且函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则下列结论成立的是(　　)

A．f(1)<f<f   B．f<f(1)<f

C．f<f<f(1)   D．f<f<f(1)

解析：选B.因为f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，所以f＝f，f＝f.又0<<1<<2，

f(x)在[0，2]上是增加的，所以f<f(1)<f，即f<f(1)<f.

3．若函数f(x)＝|2x＋a|的增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．

解析：由图像(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的增区间是，令－＝3，得a＝－6.

答案：－6

核心素养系列3　逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养

以函数的单调性为出发点，以增函数、减函数的定义为依据，通过数学运算、比较、分类讨论、综合分析，提高逻辑推理的能力，迅速解题．

已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1.

(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；

(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.

【解】　(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.令f(x)在R上任取x1＞x2，

则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.

又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，

所以，函数f(x)在R上是增函数．

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.

由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，

又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，

解得x＜－2或x＞1，

故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．

抽象函数问题中需注意以下三点：

(1)注意函数的定义域，树立定义域优先的观念．

(2)注意函数性质的综合应用，如函数的奇偶性、周期性等．

(3)利用“抽象函数具体化”，列举出符合条件的具体函数或画出其图像来分析求解．　

　若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，则x的取值范围是(　　)

A．(8，＋∞)　　　　　　　 B．(8，9]

C．[8，9]   D．(0，8)

解析：选B.2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，

由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，

因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

所以有解得8＜x≤9.

[基础题组练]

1．(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上递增的是(　　)

A．y＝x　　　　　　　　 B. y＝2－x

C．y＝logx   D．y＝

解析：选A.对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增加的，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减少的，所以选项A正确；选项D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上是减少的，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当0<a<1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是减少的，当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是增加的，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上是减少的，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减少的，当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增加的，因此选项C中的函数y＝logx在(0，＋∞)上是减少的，故选项C不符合题意，故选A.

2．(2020·陕西汉中模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A.   B．－

C．－2   D．2

解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上是减少的，即f(－2)为最大值，且为2－＝.

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1，1)   B．(0，1)

C．(－1，0)∪(0，1)   D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.

4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B．[－6，－4]

C．[－3，－2]   D．[－4，－3]

解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．

5．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)

A．－1   B．1

C．6   D．12

解析：选C.由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；

当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.

因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，

所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

6．函数f(x)＝|x－2|x的减区间是________．

解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图像可知函数的减区间是[1，2]．

答案：[1，2]

7．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________．

解析：由f(x)＝的图像知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a]⊆(0，＋∞)，

所以f(x)＝在[2，a]上也是减函数，

所以f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，

所以＋＝，所以a＝4.

答案：4

8．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图像上的两点，那么不等式－3<f(x＋1)<1的解集为________．

解析：由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图像上的两点，知不等式－3<f(x＋1)<1，即为f(0)<f(x＋1)<f(3)，所以0<x＋1<3，所以－1<x<2.

答案：(－1，2)

9．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．

(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；

(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求当函数f(x)取得最值时x的值．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，

任取0<x2<x1≤1，

则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－

＝(x1－x2).

因为0<x2<x1≤1，所以x1－x2>0，x1x2>0.

所以f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(0，1]上是增加的，当x＝1时取得最大值1.

所以f(x)的值域为(－∞，1]．

(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上是增加的，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；

当a<0时，f(x)＝2x＋，

当 ≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上是减少的，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；

当 <1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上是减少的，在上是增加的，无最大值，当x＝时取得最小值2.

10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．

解：(1)证明：任取x1>x2>0，

则f(x1)－f(x2)＝－－＋

＝，因为x1>x2>0，

所以x1－x2>0，x1x2>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，

所以f＝－2＝，

f(2)＝－＝2，

解得a＝.

[综合题组练]

1．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]   B．(－∞，3)

C．(3，＋∞)   D．[1，3)

解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上是减少的，所以

解得1≤a＜3.故选D.

2．(创新型)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

解析：依题意，h(x)＝

当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，

当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，

所以h(x)在x＝2时，取得最大值，h(2)＝1.

答案：1

3．已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上是增加的；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上是减少的，求a的取值范围．

解：(1)证明：设x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)上是增加的．

(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－

＝.

因为a>0，x2－x1>0，

所以要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，

所以a≤1.

综上所述，a的取值范围为(0，1]．

4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．

解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间上是减函数．

(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)，由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.所以f(x)在[2，9]上的最小值为－2.