2021版新高考数学一轮教师用书：第4章【经典微课堂】——规范答题系列1 高考中的解三角形问题
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[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．
[典例示范] (本题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ADB①；
(2)若DC＝2，求BC②.
[信息提取] 看到①想到△ADB；想到△ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形．
看到②想到△DBC；想到用余弦定理求BC.
[规范解答] (1)在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，··············································2分
所以sin ∠ADB＝.······························································3分
由题设知，∠ADB＜90°，所以cos ∠ADB＝＝.·········6分
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.··························8分
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC
＝25＋8－2×5×2×
＝25. ················································································11分
所以BC＝5. ·······································································12分
[易错防范]
易错点 | 防范措施 |
想不到先求sin ∠ADB，再计算cos ∠ADB. | 同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1常作为隐含条件，必须熟记于心 |
求不出cos∠BDC. | 互余的两个角α，β满足sin α＝cos β |
[通性通法] 求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用．
[规范特训] (2019·皖南八校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＋2b＝2c cos A.
(1)求角C；
(2)已知△ABC的面积为，b＝4，求边c的长．
[解] (1)∵a＋2b＝2c cos A，
∴由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C cos A，
则sin A＋2sin (A＋C)＝2sin C cos A，化简得sin A＋2sin A cos C＝0.
由0＜A＜π，得sin A＞0，则cos C＝－.
由0＜C＜π，得C＝.
(2)△ABC的面积为ab sin C＝.
又b＝4，sin C＝，∴a＝1.
∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋16－2×1×4×(－)＝21，
∴c＝.
