2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第6章【经典微课堂】——规范答题系列2　高考中的数列问题

[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，数列解答题常以an，Sn的关系为切入点，以等差(等比)数列基础知识为依托，重点考查等差(等比)数列的判定与证明，考查数列的通项及前n项和的求法(以分组求和、裂项求和为主)，考查函数与方程的思想及逻辑推理、数学运算的核心素养，且难度有所提升．

[典例示范]　(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28①.记bn＝[lg an]②，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1 000项和③.

[信息提取]　看到①想到等差数列的求和公式；

看到②想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；

看到③想到数列的常见求和方法．

[规范解答]　(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，

所以a4＝4，····································································· 2分

所以d＝＝1，··························································· 4分

所以an＝a1＋(n－1)d＝n. ····················································· 5分

所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2. ······················································································              6分

(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，

当0≤lg an＜1时，n＝1，2，…，9；····································· 7分

当1≤lg an＜2时，n＝10，11，…，99；································ 9分

当2≤lg an＜3时n＝100，101，…，999；······························ 11分

当lg an＝3时，n＝1 000，

所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893. ····················· 12分

[易错防范]

[通性通法]　(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程(组)的方法达到解题的目的．

(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等．

[规范特训]　(2019·天津二模)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.

(1)证明数列{bn}是等差数列；

(2)设＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N*)．

[解]　(1)因为a1＝2，所以b1＝＝1.

将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：

＝－2，∴－＝2，即bn＋1－bn＝2.

∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.

∵＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.

设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，

2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，

两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.

化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.

设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2，

∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2.