2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第9章第5节第2课时直线与椭圆

第2课时　直线与椭圆

考点1　直线与椭圆的位置关系

　研究直线与椭圆位置关系的方法

直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，

①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．

②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．

③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．

　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m＞1　　　　　 B．m＞0

C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5

D　[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，

∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，

只需＋≤1，

即m≥1，

又m≠5，

故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]

2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

　(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

考点2　弦长及中点弦问题

　中点弦问题

　处理中点弦问题常用的求解方法

 　(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)

A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0

C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0

(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．

(1)B　(2)＋＝1　[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由题意得

①－②得＋＝0，

又P(3,1)是AB的中点．

∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

∴kAB＝＝－.

故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，

即3x＋4y－13＝0，故选B.

(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，由 消去x，

得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，

设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意知＝1，

∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.

∴所求椭圆方程为＋＝1.

法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为＋＝1(b>0)．

设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

①－②得

＋＝0，

即·＝－，

又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，

k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.]

　“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆

锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－，

即kAB＝－比较方便快捷，

其中点M的坐标为(x0，y0)．

[教师备选例题]

已知椭圆＋y2＝1.

(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．

[解]　(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：

①－②得＝－＝－，所以－＝，

化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)．

(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，

因此所求直线方程是y－＝－，

化简得2x＋4y－3＝0.

　1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)

A．－  B．－

C．－ D．－

A　[由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0，①

ax＋by＝0，②

由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)，整理得·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，∴＝－，故选A.]

2.已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是________．

　[设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，

代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.

因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，

所以方程有两个不等实根．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，

则x1＋x2＝－，

x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，

因为点A和点B关于直线l对称，

所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为

y－y0＝－(x－x0)．

令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋，

因为k≠0，所以－<xG<0，

即点G横坐标的取值范围为.]

　弦长问题

　求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

＝(k为直线斜率)．

　(2019·武汉模拟)设离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为－1.

(1)求E的方程；

(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．

[解]　(1)Rt△PF1F2内切圆的半径r＝(|PF1|＋|PF2|－|F1F2|)＝a－c，依题意有a－c＝－1.

又＝，则a＝，c＝1，从而b＝1.

故椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，

代入椭圆E的方程，整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

由Δ>0得－<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

|AB|＝|x2－x1|＝.

易知|BC|＝，则由－<m<知|BC|＝，

所以由已知可得|AB|＋|BC|＝，

即＋＝，

整理得41m2＋30m－71＝0，

解得m＝1或m＝－(均满足－<m<)．

所以直线AB的方程为y＝x＋1或y＝x－.

　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

[教师备选例题]

已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

[解]　(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.

当t＝4时，椭圆E的方程为＋＝1，A(－2,0)．

由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0，

解得y＝0或y＝，

所以y1＝.

所以S△AMN＝2×××＝.

(2)由题意知t>3，k>0，A(－，0)，设M(x1，y1)，

将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，

得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.

由x1·(－)＝，

得x1＝，

故|AM|＝|x1＋|＝.

由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|，得＝，

即(k3－2)t＝3k(2k－1)，

当k＝时上式不成立，因此t＝.

t>3等价于＝<0，即<0.

由此得或解得<k<2.

因此k的取值范围是(，2)．

　1.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2 B．

C． D．

C　[设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号)．]

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1，

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|

＝·＝.

同理，|CD|＝＝.

所以|AB|＋|CD|＝＋

＝＝，解得k＝±1，

所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

考点3　直线与圆锥曲线的综合问题

　解决直线与圆锥曲线的综合问题的一般步骤

第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；

第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；

第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；

第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．

　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．

[解]　(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.

又e＝＝，所以a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，

又F1(－，0)，F2(，0)，

所以直线PF1，PF2的方程分别为

lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，

lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.

由题意知＝.

由于点P在椭圆上，

所以＋y＝1.

所以＝.

因为－<m<，－2<x0<2，

可得＝，

所以m＝x0，因此－<m<.

(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，

则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．

联立得

整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.

由题意Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.

又＋y＝1，

所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－.

由(2)知＋＝＋＝，

所以＋＝＝·＝－8，

因此＋为定值，这个定值为－8.

　本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．

[教师备选例题]

设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．

[解]　(1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.

因为椭圆的离心率为，所以＝，

又a2＝b2＋c2，

可解得b＝，c＝1，a＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由(1)可知F(－1,0)，

则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．

联立

消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

又A(－，0)，B(，0)，

所以·＋·

＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋＝8，

解得k＝±.

从而x1＋x2＝－＝－，

x1x2＝＝0.

所以|x1－x2|＝＝＝，

|CD|＝|x1－x2|＝×＝.

而原点O到直线CD的距离d＝＝＝，

所以S△OCD＝|CD|×d＝××＝.

　已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．

[解]　(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2,0)．

设Q(x0，y0)，则由＝，得

代入椭圆方程得b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.

联立

消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)

因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，

故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由根与系数的关系得

因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，

又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)

＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4

＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，

解得k2<4，综上可得<k2<4，

则<k<2或－2<k<－.

则满足条件的斜率k的取值范围为

∪.

课外素养提升⑧　数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用

“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．

活用定义，转化坐标

【例1】　在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

y＝±x　[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×⇒yA＋yB＝p，

由 可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，

所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.]

[评析]　设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|＋|BF|＝4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程．

【素养提升练习】　抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．

　[设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，

又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，

则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，

所以≥，所以的最小值为.]

妙用“点差法”，构造斜率

【例2】　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　)

A.＋＝1　　 B．＋＝1

C.＋＝1 D．＋＝1

D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，

①－②得＋＝0，

所以kAB＝＝－＝.

又kAB＝＝，所以＝.

又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，

所以椭圆E的方程为＋＝1.]

[评析]　该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．

【素养提升练习】　1.抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．

 (－，)　[当k＝0时，显然成立．

当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(－k)2<2，所以－<k<，且k≠0.

综上，k的取值范围为(－，)．]

2．已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

[解]　假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由

两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，

又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2，

故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

由 消去y得2x2－4x＋3＝0，

因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．

巧引参数，整体代入

【例3】　已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．

(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

[解]　(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.

解得x1＝－2，x2＝－，所以M.

(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，

联立方程

化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

则xA＋xM＝，

xM＝－xA－＝2－＝.

同理，可得xN＝.

由(1)知若存在定点，则此点必为P.

证明如下：

因为kMP＝＝＝，

同理可计算得kPN＝.

所以直线MN过x轴上的一定点P.

[评析]　第(2)问先设出AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAM·kAN＝－1，整体代入求出xN.

【素养提升练习】　已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值．

[解]　法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得 消去x得y2－2ty－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.

所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝·＝2t2＋2，

同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.

法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.

由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝1＋.

由抛物线的定义知，

|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.

同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.