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    2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第2章第10节函数模型及其应用
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    2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第2章第10节函数模型及其应用

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    第十节 函数模型及其应用

    [最新考纲] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

    1常见的几种函数模型

    (1)一次函数模型:ykxb(k0)

    (2)反比例函数模型:yb(kb为常数且k0)

    (3)二次函数模型:yax2bxc(abc为常数,a0)

    (4)指数函数模型:ya·bxc(abc为常数,b0b1a0)

    (5)对数函数模型:ymlogaxn(mna为常数,a0a1m0)

    (6)幂函数模型:ya·xnb(a0)

    2三种函数模型之间增长速度的比较

    函数

    性质  

    yax(a1)

    ylogax(a1)

    yxn(n0)

    (0,+)

    上的增减性

    单调递增

    单调递增

    单调递增

    增长速度

    越来越快

    越来越慢

    n而异

    图像的变化

    x的增大逐渐表现为与y平行

    x的增大逐渐表现为与x平行

    n值变化而各有不同

    值的比较

    存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax

    3解函数应用问题的步骤(四步八字)

    (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;

    (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

    (3)解模:求解数学模型,得出数学结论;

    (4)还原:将数学问题还原为实际问题.

    形如f(x)x(a0)的函数模型称为对勾函数模型:

    (1)该函数在(,-][,+)内单调递增,在[0)(0]上单调递减

    (2)x0时,x时取最小值2

    x0时,x=-时取最大值2.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)函数y2x与函数yx2的图像有且只有两个公共点.(  )

    (2)幂函数增长比直线增长更快.(  )

    (3)不存在x0,使ax0xlogax0.(  )

    (4)f(x)x2g(x)2xh(x)log2x,当x(4,+)时,恒有h(x)f(x)g(x)(  )

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)

    二、教材改编

    1.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(  )

    (注:结余=收入-支出)

    A.收入最高值与收入最低值的比是31

    B.结余最高的月份是7

    C12月份的收入的变化率与45月份的收入的变化率相同

    D.前6个月的平均收入为40万元

    D [由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是31,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为802060(万元),故B正确;由题图可知,12月份的收入的变化率与45月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(406030305060)45(万元),故D错误.]

    2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:

    x

    0.50

    0.99

    2.01

    3.98

    y

    0.99

    0.01

    0.98

    2.00

    则对xy最适合的拟合函数是(  )

    Ay2x       Byx21

    Cy2x2   Dylog2 x

    D [根据x0.50y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x2.01y0.98,代入计算,可以排除BC;将各数据代入函数ylog2x,可知满足题意,故选D.]

    3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.

    18 [利润L(x)20xC(x)=-(x18)2142,当x18时,L(x)有最大值.]

    4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________

    3 [设隔墙的长度为x(0x6),矩形面积为y,则yx×2x(6x)=-2(x3)218

    x3时,y最大.]

    考点1 用函数图像刻画变化过程

     判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法

    (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图像.

    (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图像的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.

     1.(2019·遵义模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 ma m(0a12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数uf(a)(单位:m2)的图像大致是(  )

    A     B     C    D

    B [AD的长为x m,则CD的长为(16x)m,则矩形ABCD的面积为x(16x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内,所以ax12.0a8时,当且仅当x8时,u64;当8a12时,ua(16a).画出函数图像可得其形状与B选项接近,故选B.]

    2.有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段,则与之对应的容器的形状是(  )

    A   B    C    D

    B [由函数图像可判断出该容器必定有不同规则的形状,且函数图像的变化先慢后快,所以容器下边粗,上边细.再由PQ为线段,知这一段是均匀变化的,所以容器上端必是直的一段,故排除ACD,选B.]

    3.汽车的燃油效率是指汽车每消耗1汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(  )

    A.消耗1汽油,乙车最多可行驶5千米

    B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

    C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10汽油

    D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

    D [根据图像知消耗1汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.]

     准确掌握常见函数模型图像的变化趋势是解决此类问题的关键.

    考点2 应用所给函数模型解决实际问题

     求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点

    (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.

    (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.

    (3)利用该模型求解实际问题.

     小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创

    业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)x2x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)6x38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.

    (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)

    (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

    [] (1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得,当0x8时,

    L(x)5x3=-x24x3

    x8时,L(x)5x335.

    所以L(x)

    (2)0x8时,L(x)=-(x6)29.

    此时,当x6时,

    L(x)取得最大值L(6)9万元,

    x8时,L(x)35352352015,此时,当且仅当x,即x10时,L(x)取得最大值15万元.

    因为915,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.

     解决实际问题时,应注意自变量的取值范围,如本例中x(0,+)

     一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.

    16 [t0时,ya,当t8时,yae8ba

    e8b,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y

    aeb taeb t(e8 b)3e24b,则t24,所以再经过16 min.]

    考点3 构建函数模型解决实际问题

     构建函数模型解决实际问题的步骤

     构造二次函数、分段函数模型

     国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在3030以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.

    (1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数;

    (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

    [] (1)设每团人数为x,由题意得0x75(xN),每张飞机票价格为y元,

    y

    y

    (2)设旅行社获利S元,

    S

    S

    因为S900x15 000在区间(0,30]上为增函数,故当x30时,S取最大值12 000.

    S=-10(x60)221 000x(30,75],所以当x60时,S取得最大值21 000.

    故当x60时,旅行社可获得最大利润.

     解题过程——谨防2种失误

    (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.

    (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,然后比较大小得解.

     构造yx(a0)模型

     某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

    [] 设该养殖场x(xN)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元.

    因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.036(),所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)()

    从而有y(3x23x300)200×1.83x357

    2357417

    当且仅当3x,即x10时,y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

     利用模型f(x)ax求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.

     构建指数函数、对数函数模型

     (1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)(  )

    A1.5%         B1.6%

    C1.7%   D1.8%

    (2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出:过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11.4%提高到15%左右,对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始,以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长,那么2020年的国内生产总值约为(提示:1.06531.208)(  )

    A93.8万亿元   B99.9万亿元

    C97万亿元   D106.39万亿元

    (1)C (2)B [(1)设每年人口平均增长率为x,则(1x)402,两边取以10为底的对数,则40lg(1x)lg 2,所以lg(1x)0.007 5,所以100.007 51x,得1x1.017,所以x1.7%.故选C.

    (2)由题意可知,2020年我国国内年生产总值约为:82.7×(16.5%)399.9(万亿元).故选B.]

     (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.

    (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值问题,必要时可借助导数.

     1.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超

    0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤________次才能达到市场要求.(已知lg 20.301 0lg 30.477 1)

    8 [设至少过滤n次才能达到市场要求,

    2%n0.1%,即n

    所以nlg 1lg 2,所以n7.39,所以n8.]

    2.某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x()只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y()表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)

    (1)求函数yf(x)的解析式;

    (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

    [] (1)x6时,y50x115

    50x1150,解得x2.3

    x为整数,3x6xZ.

    x6时,y[503(x6)]x115=-3x268x115.

    令-3x268x1150,有3x268x1150,结合x为整数得6x20xZ.

    y

    (2)对于y50x115(3x6xZ)

    显然当x6时,ymax185

    对于y=-3x268x115=-32(6x20xZ),当x11时,ymax270.

    270185当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.

     

     

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