2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

[最新考纲]　1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.

2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条

件．其他情况依次类推．

3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔AB；p是q的必要不充分条件⇔AB；p是q的充要条件⇔A＝B.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．下列命题是真命题的是(　　)

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题

A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]

2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)

A．“若x＜y，则x2＜y2”　 B．“若x＞y，则x2＞y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”

C　[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞

y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.]

3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]

4．命题“若α＝，则sin α＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)

假　假　[若α＝，则sin α＝的逆命题为“若sin α＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sin α≠”是假命题．]

考点1　命题及其关系

　判断命题真假的2种方法

(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

　1.下列命题是真命题的是(　　)

A．若＝，则x＝y　　　 B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2

[答案]　A

2．下列命题中的真命题是(　　)

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x＝3，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④ B．①③④

C．②③④ D．①④

B　[①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x＝3，则x是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.]

3．已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的有________．(填序号)

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

①③　[本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．]

4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．

若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0　[m∈R是大前提，故该命题的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0.”]

　四种命题的3个处理技巧

(1)要分清原命题的条件与结论．当原命题有大前提时，它的其他三种命题要保持大前提不变，只需改变小前提和结论．如T4.

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

(3)判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例．

考点2　充分、必要条件的判定

　充分条件和必要条件的3种判断方法

(1)定义法：可按照以下三个步骤进行

①确定条件p是什么，结论q是什么；

②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；

③确定条件p和结论q的关系．

(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条

件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．

(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．

　(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的

(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A　(2)B　(3)C　[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.

(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0＜x＜2}，显然BA，

∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.

(3)|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔2＋2＋2·＞2＋2－2·⇔·＞0，由点A，B，C不共线，得〈，〉∈，故·＞0⇔，的夹角为锐角．故选C.]

[逆向问题]　(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m＞ B．0＜m＜1

C．m＞0 D．m＞1

C　[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]

　判断充要条件需注意3点

(1)要分清条件与结论分别是什么．

(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．

(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．

　1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的(　　)

A．充分必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B　[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，

∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，

∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]

2．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈

q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A　[因为綈p是q的必要不充分条件，所以q⇒綈p，但綈p q，其等价于p⇒綈q，但綈qp，故选A.]

3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)

A．充要条件

B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件

D．必要不充分条件

D　[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]

考点3　充分条件、必要条件的应用

　根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0,3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

又S为非空集合，

则

∴0≤m≤3.

即所求m的取值范围是[0,3]．]

[母题探究]　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．

[解]　由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则

解得m≥9，

即所求m的取值范围是[9，＋∞)．

　利用充要条件求参数的2个关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．

　设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

3或4　[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.

综上可知，n＝3或4.]