2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第12章第1节　坐标系

第一节　坐标系

[最新考纲]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

(对应学生用书第204页)

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；从极点O引一条射线Ox，叫做极轴；选定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

4．常见曲线的极坐标方程

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．                            (　　)

(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.  

  (　　)

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的． (　　)

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． (　　)

[答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．若点P的直角坐标为(－3，)，则点P的极坐标为(　　)

A.　　　　　 B.

C. D.

C　[因为点P(－3，)在第二象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.]

2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，

∴ρ＝.]

3．在极坐标系中，A，B两点间的距离为________．

6　[法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.

法二：∵A，B的直角坐标系为A(1，－)，

B(－2,2)，

∴|AB|＝＝6.]

4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为______．

x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，

即x2＋y2＝2y.]

(对应学生用书第205页)

⊙考点1　平面直角坐标系下图形的伸缩变换

　伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．

　1.求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．

[解]　由伸缩变换得到

代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1.

即曲线C′的方程为－＝1，则曲线C′是双曲线，其焦点坐标为(－5,0)和(5,0)．

2．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．

[解]　由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得3y＝3sin，

整理得y＝sin，

故f(x)＝sin.

所以函数f(x)的最小正周期为π.

3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值．

[解]　将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，

把伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)代入上式得：

＋＝1，即x2＋y2＝1，与x2＋y2＝1

比较系数得所以

　应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x′，y′)．

⊙考点2　极坐标与直角坐标的互化

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

2．极角的确定

由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．

(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．

(2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：

当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.

　[一题多解](2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.

(1)求A，B两点间的距离；

(2)求点B到直线l的距离．

[解](1)法一：(使用余弦定理)设极点为O，在△AOB中，A，B，

由余弦定理得|AB|＝＝.

法二：(化为直角坐标)点A的直角坐标为，点B的直角坐标为(0，)，则

|AB|＝＝.

(2)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，

又点B的直角坐标为(0，)，则点B到直线l的距离d＝＝2.

　把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的知识解决问题，这是常用的方法．

　1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

[解](1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

(2)将两直角坐标方程联立得

解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为即为所求．

2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.

(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

[解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρcos＝2，

所以ρ2－2ρ＝2，

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρsin＝.

⊙考点3　求曲线的极坐标方程

　求简单曲线的极坐标方程的方法

(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．

(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．

　(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.

(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．

[解](1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.

(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知

若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.

综上，P的极坐标为或或或.

　本题易错点有二：一是第(1)问没有对圆的极坐标方程进行范围限制；二是写点P的极坐标时，当≤θ≤时，只得到θ＝一个结果．

　在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．

[解](1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.

(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos得ρ＝2，所以圆C被直线l所截得的弦长为2.

⊙考点4　曲线极坐标方程的应用

　利用极坐标系解决问题的技巧

(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．

(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．

　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

[解](1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．

　在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

[解](1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.