2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第10章第1节　算法与算法框图

第一节　算法与算法框图

[最新考纲]　1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解算法框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构.3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

(对应学生用书第173页)

1．算法的含义

算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．

2．算法框图

在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．

3．三种基本逻辑结构

(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．

其结构形式为

(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．

其结构形式为

(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．

其基本模式为

4．基本算法语句

任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．

5．赋值语句

(1)一般形式：变量＝表达式．

(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．

6．条件语句

(1)If—Then—Else语句的一般格式为：

(2)If—Then语句的一般格式是：

7．循环语句

1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．

2．循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．

3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)算法的每一步都有确定的意义，且可以无限地运算．  (　　)

(2)一个算法框图一定包含顺序结构，也包含选择结构和循环结构． (　　)

(3)一个循环结构一定包含选择结构．  (　　)

(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．   (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．执行如图所示的算法框图，则输出S的值为(　　)

A．－　　　　B.　　　　C．－　　　　D.

D　[按照算法框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin＝.]

2．根据给出的算法框图，计算f(－1)＋f(2)＝(　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

A　[f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.]

3．如图为计算y＝|x|函数值的算法框图，则此算法框图中的判断框内应填________．

x＜0？　[由y＝|x|＝知，判断框内应填x＜0？.]

4．执行如图所示的算法框图，则输出的结果为________．

4　[进行第一次循环时，S＝＝20，i＝2，S＝20＞1；

进行第二次循环时，S＝＝4，i＝3，S＝4＞1；

进行第三次循环时，S＝，i＝4，S＝＜1，

此时结束循环，输出i＝4.]

(对应学生用书第175页)

⊙考点1　顺序结构和选择结构

　顺序结构和选择结构的运算方法

(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．

(2)选择结构中条件的判断关键是明确选择结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．

(3)对于选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．

　1.(2019·长沙模拟)对于任意点P(a，b)，要求P关于直线y＝x的对称点Q，则算法框图中的①处应填入(　　)

A．b＝a　　　　 B．a＝m

C．m＝b D．b＝m

D　[因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称，所以通过赋值，a赋值到m，b赋值给a，那么m赋值给b，完成a，b的交换，所以①处应该填写b＝m，故选D.]

2．如图所示的算法框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x＝y，则这样的x的值有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个 D．4个

C　[当x≤2时，令y＝x2＝x⇒x(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1；当2<x≤5时，令y＝2x－4＝x⇒x＝4；当x＞5时，令y＝＝x，无解．综上可得，这样的x的值有3个．]

　对于第2题，应分三种情况求解．

⊙考点2　循环结构

　与循环结构有关的问题的常见类型及解题策略

(1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果．

(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．

(3)对于辨析算法框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．

　由算法框图求输出(输入)的结果

(1)(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的算法框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)

A．2－ B．2－

C．2－ D．2－

(2)执行如图所示的算法框图，如果输出的n＝2，那么输入的a的值可以为(　　)

A．4 B．5　　　　

C．6　　　　 D．7

(1)C　(2)D　[(1)ε＝0.01，

x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x＜ε不成立；

s＝1＋，x＝，x＜ε不成立；

s＝1＋＋，x＝，x＜ε不成立；

s＝1＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；

s＝1＋＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；

s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；

s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x＜ε成立，

此时输出s＝2－，故选C.

(2)执行算法框图，输入a，P＝0，Q＝1，n＝0，此时P≤Q成立，P＝1，Q＝3，n＝1，此时P≤Q成立，P＝1＋a，Q＝7，n＝2.因为输出的n的值为2，所以应该退出循环，即P＞Q，所以1＋a＞7，结合选项，可知a的值可以为7，故选D.]

　按照算法框图的运算次序进行，及时检验运行条件是否成立．

　完善算法框图

(1)(2019·全国卷Ⅰ)下图是求的算法框图，图中空白框中应填入(　　)

A．A＝ B．A＝2＋

C．A＝ D．A＝1＋

(2)(2019·武汉模拟)执行如图所示的算法框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的s为17，那么在判断框中可以填入(　　)

A．k＜n？　　B．k＞n?  C．k≥n？　　D．k≤n?

(1)A　(2)B　[(1)对于选项A，第一次循环，A＝，k＝2；第二次循环，A＝，此时k＝3，不满足k≤2，输出A＝的值．故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.

(2)执行算法框图，输入的a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入的a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又n＝2，所以判断框中可以填“k＞n？”，故选B.]

　对于本例(1)可通过验证的方法得到答案．

　辨析算法框图的功能

　如图所示的算法框图，该算法的功能是(　　)

A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值

B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值

C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值

D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]2＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值

C　[初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；当第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C.]

　解答此类题目，一般是运行2次或3次程序，找出规律，然后结合选项，给出答案．

　1.(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的算法框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A>1 000？和n＝n＋1

B．A>1 000？和n＝n＋2

C．A≤1 000？和n＝n＋1

D．A≤1 000？和n＝n＋2

D　[因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由算法框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000？”．故选D.]

2．如果执行如图的算法框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则(　　)

A．A＋B为a1，a2，…，aN的和

B.为a1，a2，…，aN的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数

C　[由于x＝ak，且x＞A时，将x值赋给A，因此A为a1，a2，…，aN中最大的数；由于x＝ak，且x＜B时，将x值赋给B，因此B为a1，a2，…，aN中最小的数，故选C.]