2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第8章第2节　空间图形的基本关系与公理

第二节　空间图形的基本关系与公理

[最新考纲]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

(对应学生用书第125页)

1．空间图形的公理

(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．

②范围：.

(3)定理(等角定理)

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

(2)空间中两个平面的位置关系

1．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

2．等角定理的引申

(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．

(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．

3．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．               (　　)

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　)

(4)没有公共点的两条直线是异面直线． (　　)

[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．下列命题正确的是(　　)

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D　[根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]

2．若直线a不平行于平面α，且aα，则下列结论成立的是(　　)

A．平面α内的所有直线与a异面

B．平面α内不存在与a平行的直线

C．平面α内存在唯一的直线与a平行

D．平面α内的直线与a都相交

B　[由题意知直线a与平面α相交，则平面α内不存在与a平行的直线，故选B.]

3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)

A．30°　　 B．45°

C．60° D．90°

C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，

∴∠D1B1C＝60°.]

4．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 　[(1)若四边形EFGH为菱形，

则EF＝EH，∵EFAC，EHBD，

∴AC＝BD.

(2)若四边形EFGH为正方形，

则EF＝EH且EF⊥EH，

∵EFAC，EHBD，

∴AC＝BD且AC⊥BD.]

(对应学生用书第126页)

⊙考点1　平面基本性质的应用

　共点、共线、共面问题的证明方法

(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．

(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

(1)以下命题中，正确命题的个数是(　　)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1　　　　

C．2　　　　 D．3

(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

①E，C，D1，F四点共面；

②CE，D1F，DA三线共点．

(1)B　[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]

(2)[证明]　①如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

②∵EF∥CD1，EF<CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE平面ABCD，

得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

　证明两条直线平行比证明两条直线相交容易，因此证明四点共面问题时，一般是证明四点所在的两条直线平行．

　1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是   (　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

D　[根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D.]

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．

[证明]　如图，连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

因为BB1DD1，

所以四边形BB1D1D为平行四边形，

又H∈B1D，

B1D平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，

所以H∈OD1.

即D1，H，O三点共线．

⊙考点2　空间两条直线的位置关系

(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，给出下列命题：

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c.

其中真命题有________．(填序号)

(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

①　　　　　②　　　　③　　　　　④

(1)①③　(2)②④　[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．

对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．

对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]

　一些否定性命题不易判断，可从其反面入手．反面成立，则此命题是假命题．如本例T(1)，T(2)．

　1.下列结论中正确的是  (　　)

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.

A．①②③　　　 B．②④

C．③④ D．②③

B　[①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.]

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确结论的序号为________．

③④　[直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．]

⊙考点3　两条异面直线所成的角

　平移法求异面直线所成角的步骤

(1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.　　　　B.  C.　　　　D.

(2)(2019·成都模拟)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)

A． B．－

C． D．－

(1)C　(2)A　[(1)如图，连接BE，

因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.故选C.

(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．易知FO∥AB，因为AB⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.]

　平移法作异面直线所成的角时，利用平行四边形或三角形的中位线是常用的方法．

　1.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

C　[取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，

∵P是AB的中点，

∴BQ∥PD，

∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角．

在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝，∴∠C1BQ＝60°，

即异面直线BC1与PD所成的角等于60°，故选C.]

2．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

C　[将直三棱柱ABC­A1B1C1补形为直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.

由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.

在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.

又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

所以cos θ＝＝＝.

故选C.]