2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第一章第一节集合

第一节集__合

1．集合的相关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性❶.

(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)五个特定的集合：

2．集合间的基本关系

3．集合的基本运算

元素互异性，即集合中不可能出现相同的元素．此性质常用于题目中对参数的取舍．

任何集合是其自身的子集．

(1)注意∅，{0}和{∅}的区别：∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确．

(2)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能.

(1)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件．从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.

(2)补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同.

[熟记常用结论]

1．A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；AB，BC⇒AC.

2．含有n个元素的集合A＝{a1，a2，…，an}有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

3．A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．

4．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

5．A∩B＝A∪B⇔A＝B.

6．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.

7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．

8．A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)

(3)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)

(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)

A．3　　 　B．4　　 　　C．5　　 　　D．6

解析：选C　A中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.

2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)

A．－3∈A          B．3∉B 

C．A∩B＝B  D．A∪B＝B

解析：选C　由题意知A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}＝B.

3．设全集U＝{1,2,3,4}，集合S＝{1,3}，T＝{4}，则(∁US)∪T＝(　　)

A．{2,4}   B．{4} 

C．∅  D．{1,3,4}

解析：选A　由补集的定义，得∁US＝{2,4}，从而(∁US)∪T＝{2,4}，故选A.

4．集合{－1,0,1}共有________个子集．

解析：因为集合有3个元素，所以集合共有23＝8个子集．

答案：8

5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.

答案：－

 [题组练透]

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9　　　　　　　　　 B．8

C．5  D．4

解析：选A　法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，

(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)

A.  B.

C．0  D．0或

解析：选D　当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.

3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

解析：选C　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

4．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为(　　)

A．(8，＋∞)  B．[8，＋∞)

C．(16，＋∞)  D．[16，＋∞)

解析：选C　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k>4，所以k>24＝16，故选C.

[名师微点]

与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．

(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

 [典例精析]

(1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)

A．P⊆Q  B．Q⊆P

C．∁RP⊆Q  D．Q⊆∁RP

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

[解析]　(1)因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.

(2)∵B⊆A，

∴①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.

②若B≠∅，则解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．

[答案]　(1)C　(2)(－∞，3]

1．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“BA”，其他条件不变，如何求解？

解：∵BA，

∴①若B＝∅，成立，此时m＜2.

②若B≠∅，则或

解得2≤m≤3.

由①②可得m的取值范围为(－∞，3]．

2．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，如何求解？

解：若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.

[解题技法]

1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键

2．根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．

[过关训练]

1．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)

A．6个  B．5个

C．4个  D．3个

解析：选A　由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－，此时B＝，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．

答案：[－2,2)

[典例精析]

(1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0，2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)

A．{－1,1}  B．{0,1}

C．{－1,0,1}  D．{2,3,4}

(2)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－4,3)  B．[－3,4]

C．(－3,4)  D．(－∞，4]

[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．

(2)集合A＝{x|x＜－3或x>4}，

∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

[答案]　(1)C　(2)B

[解题技法]

1．集合基本运算的方法技巧

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．

(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．

2．集合的交、并、补运算口诀

[过关训练]

1．[口诀第1句]集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝(　　)

A．{(－1，－1)，(1，－1)}  B．{－1}

C．[－1,0]  D．[－，0]

解析：选D　由y＝－x2，x∈R，得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R，得N＝[－，]，所以M∩N＝[－，0]，故选D.

2．[口诀第2句]若集合A＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∪B＝(　　)

A．[0,1)  B．(－1，＋∞)

C．(－1,1)∪[2，＋∞)  D．∅

解析：选C　由题意得B＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜1或x≥2}．

3．[口诀第3句]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)

A．{x|－1＜x＜2}  B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x＜－1}∪{x|x>2}  D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析：选B　∵x2－x－2>0，

∴(x－2)(x＋1)>0，

∴x>2或x＜－1，即A＝{x|x>2或x＜－1}．

则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.

4．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是________．

解析：∵M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N≠∅，∴a>－1.

答案：(－1，＋∞)

[典例精析]

(1)如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为(　　)

A．{x|0＜x＜2}  B．{x|1＜x≤2}

C．{x|0≤x≤1或x≥2}  D．{x|0≤x≤1或x>2}

(2)给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是________．

[解析]　(1)因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A⊗B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}．

(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．

[答案]　(1)D　(2)②

[解题技法]

解决集合新定义问题的2个策略

[过关训练]

1．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)

A．6  B．7

C．8  D．9

解析：选B　由题意知，B＝{0,1,2}，

＝，

则∪B＝，

共有7个元素，故选B.

2．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝(　　)

A．{x|0＜x＜1}  B．{x|0＜x≤1}

C．{x|1≤x＜2}  D．{x|2≤x＜3}

解析：选B　由log2x＜1，得0＜x＜2，

所以P＝{x|0＜x＜2}．

由|x－2|＜1，得1＜x＜3，

所以Q＝{x|1＜x＜3}．

由题意，得P－Q＝{x|0＜x≤1}.

一、题点全面练

1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝(　　)

A．{－2,0,1}　　　　　 B．{1}

C．{0}  D．∅

解析：选A　集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.

2．设集合A＝{x|x2－x－2＜0}，集合B＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝(　　)

A．[－1,1]  B．(－1,1]

C．(－1,2)  D．[1,2)

解析：选B　∵A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤1}，∴A∩B＝{x|－1＜x≤1}．故选B.

3．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则(　　)

A．M＝N  B．M⊆N

C．N⊆M  D．M∩N＝∅

解析：选B　∵集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，∴M⊆N.故选B.

4.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{4}  B．{2,4}

C．{4,5}  D．{1,3,4}

解析：选A　图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A∩(∁UB)＝{4}，故选A.

5．(2018·湖北天门等三地3月联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4，故选B.

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝＋}，则(　　)

A．M⊆N  B．N⊆M

C．M＝N  D．N∈M

解析：选B　∵集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝＋}＝{0}，∴N⊆M.故选B.

2．(2019·皖南八校联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为(　　)

A．1  B．3

C．5  D．7

解析：选B　由得或

即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，

∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.

3．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝(　　)

A．－5  B．5

C．－1  D．1

解析：选A　因为P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y＜－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.

4．已知集合M＝，集合N＝，则(　　)

A．M∩N＝∅  B．M⊆N

C．N⊆M  D．M∪N＝M

解析：选B　由题意可知，M＝＝，N＝，所以M⊆N，故选B.

5．(2018·安庆二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝(　　)

A．－1  B．2

C．－1或2  D．1或－1或2

解析：选C　因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.

①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；

当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．

②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，

此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．

综上，a＝－1或2.故选C.

6．(2018·合肥二模)已知A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B.

C． D．(1，＋∞)

解析：选A　因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.

(二)难点专练——适情自主选

7．已知全集U＝{x∈Z|0＜x＜8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为(　　)

A．M∩(∁UN)  B．∁U(M∩N)

C．∁U(M∪N)  D．(∁UM)∩N

解析：选C　由已知得U＝{1,2,3,4,5,6,7}，N＝{2,6}，M∩(∁UN)＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M∩N＝{2}，∁U(M∩N)＝{1,3,4,5,6,7}，M∪N＝{2,3,5,6}，∁U(M∪N)＝{1,4,7}，(∁UM)∩N＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.

8．(2018·日照联考)已知集合M＝，N＝，则M∩N＝(　　)

A．∅  B．{(4,0)，(3,0)}

C．[－3,3]  D．[－4,4]

解析：选D　由题意可得M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝[－4,4]．故选D.

9．(2019·河南八市质检)在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0,2]  B．[－2，－1)∪(－1,0]

C．[0,1)∪(1,2]  D．[－2,0]

解析：选D　依题意可得x(1－x＋a)>0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.

10．非空数集A满足：(1)0∉A；(2)若∀x∈A，有∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：

①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；

②{x|x2－4x＋1＜0}；

③；

④.

其中“互倒集”的个数是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：选C　对于①，当－2＜a＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x|x2－4x＋1＜0}＝{x|2－＜x＜2＋}，所以＜＜，即2－＜＜2＋，所以②是“互倒集”；对于③，y′＝≥0，故函数y＝是增函数，当x∈时，y∈[－e,0)，当x∈(1，e]时，y∈，所以③不是“互倒集”；对于④，y∈∪＝且∈，所以④是“互倒集”．故选C.

11．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．

(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；

(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．

解：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，

∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．

∵log2x>1，即log2x>log22，

∴x>2，∴B＝{x|x>2}．

∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．

∴∁RB＝{x|x≤2}，

∴(∁RB)∪A＝{x|x≤3}．

(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.

当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；

当C为非空集合时，可得1＜a≤3.

综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．