2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第十章第一节　排列与组合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列

第一节　排列与组合

突破点一　两个计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．两个计数原理的比较

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

二、填空题

1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．

答案：6

2．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为________．

答案：32

3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．

答案：120

考法一　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

[例1]　(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为(　　)

A．6　　　　　　　　　 　B．12

C．24   D．36

(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．

[解析]　(1)确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；

第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法．

由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.

(2)十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．

[答案]　(1)A　(2)8

(1)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．

(2)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．　　　　

考法二　两个计数原理的综合应用　

在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

[例2]　如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A．48          B．18

C．24          D．36

[解析]　分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．

[答案]　D

[方法技巧]

使用两个计数原理进行计数的基本思想

对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．　　

1.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)

A．10种   B．25种

C．52种   D．24种

解析：选D　每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法．

2.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．

解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；

第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；

第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法．

由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．

答案：5

3.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________．

解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．

答案：72种

突破点二　排列、组合

1．排列与排列数

2.组合与组合数

3．排列数、组合数的公式及性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)

(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)

(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)

(5)A＝nA.(　　)

(6)kC＝nC.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√

二、填空题

1．某考生填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有________种．

答案：60

2．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________．

答案：288

3．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有________种．

答案：14

考法一　排列问题　

[例1]　3名女生和5名男生排成一排．

(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？

(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？

(3)如果女生不站两端，有多少种排法？

[解]　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．

(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

法二：(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

 [方法技巧]　求解排列应用题的6种主要方法

考法二　组合问题　

[例2]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

[解]　(1)从余下的34种商品中，

选取2种有C＝561种取法，

∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．

(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种取法．

∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．

(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．

∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．

组合问题的2种题型及解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：

“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：

解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．　　　　

1.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种　　　　　　　　 　B．216种

C．240种   D．288种

解析：选B　第一类：甲在左端，有A＝120种排法；

第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96种排法；

所以共有120＋96＝216种排法．

2.在某校2018年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为(　　)

A．30   B．36

C．60   D．72

解析：选A　因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有CC种．其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有CC－C＝30(种)．故选A.