2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第一层级边缘送分专题常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合

边缘送分专题

[特别说明]　之所以称其为“边缘”，是指临界于高考考查的边缘地带．高考不考正常，因为近几年这些考点不在热门考点之列；高考一旦考查也正常，因为这些考点在考纲的规定范围．为既节省有限的二轮备考时间，又防止一旦考查考生会“眼生手冷”而遗憾失分，所以将这些考点单独集结成一个专题，供考生利用课余时间适当关注．


常用逻辑用语

[题组练透]
1．(2018·成都检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　在锐角△ABC中，根据正弦定理＝，知sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，而正切函数y＝tan x在上单调递增，所以A＞B⇔tan A＞tan B．故选C.
2．(2018·太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a＜b，则＞，则下列为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：选B　对于命题p，当x0＝0时，1≥0成立，所以命题p为真命题，命题綈p为假命题；对于命题q，当a＝－1，b＝1时，＜，所以命题q为假命题，命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，故选B.
3．(2019届高三·辽宁五校联考)已知命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
解析：选D　因为命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D.
4．(2019届高三·湖北八校联考)下列说法正确的个数是(　　)
①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
③“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x＞0”；
④“a＋1＞b”是“a＞b”的一个必要不充分条件．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　对于①，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故①不正确；对于②，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故②正确；对于③，“∃x0∈R，x－x0＜0”的否定是“∀x∈R，x2－x≥0”，故③不正确；对于④，由a＞b可推出a＋1＞b，但由a＋1＞b不能推出a＞b，故④正确．故选C.

[题后悟通]
快审题
1.看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，且“结论⇒条件”为假，则为充分不必要条件).
2.看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性；看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义．
3.看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要改变的两个地方．
准　解　题
1.充分条件与必要条件的三种判定方法
定义法
正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)
集合法
利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件
等价法
将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题
2.全称命题与特称命题真假的判定方法
(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可．
(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
避　误　区
1.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
2.命题的否定只需否定结论，而其否命题既要否定条件又要否定结论.


定积分

[题组练透]
1．(2018·大同月考)|1－x|dx＝________.
解析：|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋
＝－0＋－＝1.
答案：1
2．(2018·潍坊月考)dx＝________.
解析：根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图所示的阴影部分)．故dx＝.
答案：

3．(2019届高三·福州四校联考)已知曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线为l，则由C，l以及直线x＝1围成的区域的面积等于________．
解析：因为y′＝2x＋2，所以曲线C：y＝x2＋2x在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2，所以切线方程为y＝2x，所以由C，l以及直线x＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝(x2＋2x－2x)dx＝x2dx＝＝.
答案：
4.在平面直角坐标系内任取一个点P(x，y)满足则点P落在曲线y＝与直线x＝2，y＝2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________．
解析：由解得
所以阴影部分的面积为 dx
＝(2x－ln x)＝(2×2－ln 2)－＝3－2ln 2，
因此所求概率为＝.
答案：
[题后悟通]
快审题
1.看到求定积分，想到求解原函数、牛顿—莱布尼兹公式；看到求无理式的定积分，想到转化为求曲边梯形的面积．
2.看到求曲线围成图形面积，想到确定积分上、下限．
准　解　题
1.计算定积分的常用结论
设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得下列两个结论：
(1)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx；
(2)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.
2.利用定积分求平面图形面积的步骤
(1)根据题意画出图形；
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；
(4)计算定积分得出答案.


推理与证明
[题组练透]
1．(2018·沈阳质检)甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
解析：选C　甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，所以丙一定是记者，丙的年龄又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生，故选C.
2．在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.
解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下：
设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，
所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，
所以内切球的半径R＝.
答案：
3．(2018·广州测试)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第3行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0到1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为Sn，如S1＝1，S2＝2，S3＝2，S4＝4，…，则S32＝________.

解析：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依次类推，第n次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n－1个1，故n＝6时，第26－1＝25＝32行有32个1，即S32＝32.
答案：32
[题后悟通]
快审题
看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理.
准　解　题
1.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2.破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.


函数的实际应用

[题组练透]
1．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)
A．4 B．5.5
C．8.5 D．10
解析：选C　由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值．
2．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　　)
A．ln 2 B．ln 3
C. D.
解析：选C　由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝.
3.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45.
答案：45
4．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.61
7.00
8.87
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝logx＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________．

解析：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax＋b，由已知得解得所以f(x)＝x＋，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为①.
答案：①
[题后悟通]
快审题
看到实际应用问题，想到构建函数模型．
看到指、对型函数式，想到运算的技巧．
准　解　题
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：
⇨⇨⇨
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
避　误　区
有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点
(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．
(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．
(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值.


排列与组合

[题组练透]
1．(2018·南宁联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)
A．72 B．70
C．66 D．64
解析：选D　从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．
2．(2018·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)
A．24 B．18
C．16 D．10
解析：选D　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.
3．(2018·郑州第二次质量预测)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有(　　)
A．240种 B．188种
C．156种 D．120种
解析：选D　因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．
当A在第一位时，有AA＝48种；
当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有CAA＝36种；
当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有AA种，②E，F在A之后，此时应有AAA种，故A在第三位时有AA＋AAA＝36种．
综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．
4．(2018·甘肃兰州一中期末)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有(　　)
A．96种 B．100种
C．124种 D．150种
解析：选D　因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分．当按照1,1,3来分时，不同的分法共有N1＝A＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的分法共有N2＝A＝90(种)．根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝150(种)．
[题后悟通]
快审题
1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则．
2.看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法．
3.看到分组分配问题，想到先分类，再在各类中先分组后分配.
妙　解　法
求解有限制条件排列问题的主要方法
(1)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数．
②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．
(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．
(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列．
(5)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法．
避误区
排列、组合问题的易错点
(1)分类标准不明确，有重复或遗漏．
(2)混淆排列问题与组合问题．
(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列.


一、选择题
1．(2018·南宁联考)命题“∃x0∈R，x0＋cos x0－ex0>1”的否定是(　　)
A．∃x0∈R，x0＋cos x0－ex0<1
B．∃x0∈R，x0＋cos x0－ex0≥1
C．∀x∈R，x＋cos x－ex≥1
D．∀x∈R，x＋cos x－ex≤1
解析：选D　因为所给命题是一个特称命题，所以其否定是一个全称命题，即“∀x∈R，x＋cos x－ex≤1”．
2．已知函数f(x)＝则f(x)dx的值为(　　)
A.　　　　　　　　 　B．4
C．6 D.
解析：选D　f(x)dx＝x2dx＋(x＋1)dx＝x3＋＝＋＝.
3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D　当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.
4．(2018·安徽八校联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：
①若去A镇，也必须去B镇；
②D，E两镇至少去一镇；
③B，C两镇只去一镇；
④C，D两镇都去或者都不去；
⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．
则该参观团至多去了(　　)
A．B，D两镇 B．A，B两镇
C．C，D两镇 D．A，C两镇
解析：选C　若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.
5．从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中，要求第一个箱子放入1个小球，第二个箱子放入2个小球，第三个箱子放入1个小球，则不同的放法共有(　　)
A．120种 B．96种
C．60种 D．48种
解析：选C　第一步，从5个不同的小球中选4个，共有C＝5种不同的方法；第二步，从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子，共有C＝4种不同的方法；第三步，从剩余的3个小球中选出2个放入第二个箱子，共有C＝3种不同的方法；第四步，将最后1个小球放入第三个箱子，共有C＝1种不同的方法．故不同的放法共有5×4×3×1＝60种．
6．(2018·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有(　　)
A．10种 B．40种
C．70种 D．80种
解析：选B　若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B.
7．给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z＋z＝0，则z1＝z2＝0.
④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3


解析：选C　对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则z＋z＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.
8．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：
x(月份)
1
2
3
4
5
Q(x)(台)
6
9
10
8
6
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是(　　)
A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)
B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)
C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)
D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)
解析：选C　观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.
9．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)
A．16 B.
C．2 D.
解析：选B　围成的图形如图中阴影部分所示，
联立解得
∴M(4,2)．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积S＝ [－(x－2)]dx＝＝.


10．在下列结论中，正确的个数是(　　)
①命题p：“∃x0∈R，x－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则O是△ABC的垂心；
③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．
∵·＝·，
∴·(－)＝0，即·＝0，
∴⊥.
同理可知⊥，⊥，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
∵y＝x是减函数，
∴当M >N时，MN时，M ∴“M>N”是“M>N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
11．(2018·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
解析：选B　根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1个，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是(　　)


解析：选C　向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑料桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继续注水，水面高度再升高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.
13．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为(　　)
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
14．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如＝＋.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的，不够，若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得＋.形如(n＝5,7,9，11，…)的分数的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此规律，＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选A　根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即＝＋＝＋.
15．一个人骑车以6 m/s的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，那么此人(　　)
A．可在7秒内追上汽车
B．不能追上汽车，但其间最近距离为16 m
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14 m
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m
解析：选D　因为汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，所以加速度a＝＝1，所以汽车是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S1＝－25＋6t，汽车在时间t内的位移为S2＝，故设相对位移为y m，则y＝－25＋6t－＝－(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7 m，故选D.
16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的(　　)
A．己亥年 B．戊戌年
C．辛丑年 D．庚子年
解析：选D　由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.
二、填空题
17. dx＝________.
解析：dx＝＝＋1－＝.
答案：
18．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：______________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点
19．若n的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为________．
解析：因为n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，
所以C＝C，所以n＝4，
由直线y＝4x与曲线y＝x2，可得交点坐标为(0,0)，(4,16)，作出直线y＝4x与y＝x2围成的封闭图形如图中阴影部分所示，所以直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭区域面积为 (4x－x2)dx＝＝.
答案：
20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
解析：设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．
答案：3 300
21．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．
法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．
答案：16
22．使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第 2 019位之前(不含第2 019位)，共有______个“○”．
解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 018<45×46＝2 070，所以在这2 018个图形中有45个“□”，1 973个“○”．
答案：1 973
23．(2018·东北三校联考)甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；
②在哈尔滨工作的教师不教C学科；
③在长春工作的教师教A学科；
④乙不教B学科．
可以判断乙教师所在的城市和所教的学科分别是________________．
解析：由于乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科．综上可知，乙教师所在的城市为沈阳，所教的学科为C.
答案：沈阳、C
24．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用12项能力特征加以描述．每名学生的第i(i＝1,2，…，12)项能力特征用xi表示，xi＝若学生A，B的12项能力特征分别记为A＝(a1，a2，…，a12)，B＝(b1，b2，…，b12)，则A，B两名学生的不同能力特征项数为________(用ai，bi表示)．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为________．
解析：若第i(i＝1,2，…，12)项能力特值相同，则差为0，特征不同，差的绝对值为1，则用ai，bi表示A，B两名同学的不同能力特征项数为：|a1－b1|＋|a2－b2|＋|a3－b3|＋…＋|a11－b11|＋|a12－b12|＝ai－bi|.设第三个学生为C＝(c1，c2，…，c12)，则di＝|ai－bi|＋|bi－ci|＋|ci－ai|,1≤i≤12，因为di的奇偶性与ai－bi＋bi－ci＋ci－ai＝0一样，所以di是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S＝d1＋d2＋…＋d12为偶数，又S≥3×7＝21，则S≥22，取A＝(0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1)，B＝(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1)，C＝(1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1)，则不同能力特征项数总和正好为22.
答案：ai－bi|　22