2020届高考数学二轮教师用书：第一章第1节　集合

第1节　集合

1．集合的基本概念

(1)集合元素的性质：　确定性　、　无序性　、　互异性　.

(2)元素与集合的关系

①属于，记为　∈　；②不属于，记为　∉　.

(3)常见数集的记法

(4)集合的表示方法：①　列举法　；②　描述法　；③　图示法　.

2．集合间的基本关系

3.集合的基本运算

1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)∅＝{0}．(　　)

(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　)

(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　)

(4)N⊆N*⊆Z.(　　)

(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

[小题查验]

1．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　 )

A．{a}⊆A　　　　　　　　 B．a⊆A

C．{a}∈A  D．a∉A

解析：D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉A.]

2．(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)

A．{－1,0,1}  B．{0,1}

C．{－1,1}  D．{0,1,2}

解析：A　[本题考查了集合交集的求法，是基础题．由题意得，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．故选A.]

3．(2019·唐山市模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，则(∁UA)∪B＝(　　 )

A．{3,4,5}  B．{2,3,5}

C．{5}  D．{3}

解析：B　[因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以∁UA＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,3,5}．]

4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是　________　.

解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案：(－∞，1]

5．(教材改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________________________________________________________________________.

答案：{2,4}

考点一　集合的基本概念(自主练透)

[题组集训]

1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　 )

A．9　　　　　　　　　 B．8

C．5  D．4

解析：A　[∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，

当x＝－1时，y＝－1,0,1；

当x＝0时，y＝－1,0,1；

当x＝1时，y＝－1,0,1；

所以共有9个，选A.]

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　 )

A.  B.

C．0  D．0或

解析：D　[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，

所以a的取值为0或.]

3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为　________　.

解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去．

当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，

此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．

所以m＝－.

答案：－

4．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n) 2019＝　________　.

解析：由M＝N知或

∴或∴(m－n)2019＝－1或0.

答案：－1或0

1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．

考点二　集合间的基本关系(师生共研)

[典例]　(1)已知集合A＝{x|ax＝1}, B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是(　　)

A．{－1}　　　　　　　　 B．{1}

C．{－1,1}  D．{－1,0,1}

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________________________________________________________________________．

[解析]　(1)由题意，得B＝{－1,1}，

因为A⊆B，所以当A＝∅时，a＝0；

当A＝{－1}时，a＝－1；当A＝{1}时，a＝1.

又A中至多有一个元素，

所以a的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D.

(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则，解得2<m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.

[答案]　(1)D　(2){m| m≤4}

[互动探究]

本例(1)中若A＝{x|ax>1(a≠0)}，B＝{x|x2－1>0}，其它条件不变，则a的取值范围是　________　.

解析：由题意，得B＝{x|x>1，或x<－1}，

对于集合A，①当a>0时，A＝.

因为A⊆B，所以≥1.又a>0，所以0<a≤1.

②当a<0时，A＝.

因为A⊆B，所以≤－1，又a<0，所以－1≤a<0，综上所述，0<a≤1，或－1≤a<0.

答案：[－1,0)∪(0,1]

由集合的关系求参数的关键点

由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．

提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．

[跟踪训练]

(1) 若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}的子集只有两个，则实数a＝　________　.

解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素，即方程ax2＋ax＋1＝0只有一个根．

当a＝0时方程无解．

当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4.

故a＝4.

答案：4

(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝　________　.

解析：由log2x≤2，得0<x≤4，

即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)．

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

答案：4

考点三　集合的基本运算(多维探究)

[命题角度1]　求交集、并集　

1．(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　 )

A．{0,2}　　　　　　　 B．{1,2}

C．{0}  D．{－2，－1,0,1,2}

解析：A　[根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.]

2．(2019·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)

A．(－1，＋∞)  B．(－∞，2)

C．(－1,2)  D．∅

解析：C　[A∩B＝{x|x＞－1}∩{x|x＜2}＝{x|－1＜x＜2}．]

[命题角度2]　集合的交、并、补的综合运算　

3．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(　　)

A．{1,6}  B．{1,7}

C．{6,7}  D．{1,6,7}

解析：C　[∵∁UA＝{1,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．]

[命题角度3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)　

4．(2017·全国Ⅱ卷)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　 )

A．{1，－3}  B．{1,0}

C．{1,3}  D．{1,5}

解析：C　[由题意知x＝1是方程x2－4x＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，从而B＝{1,3}．]

5．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是　________　.

解析：∁RB＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁RB)＝R，则a≥2.

答案：[2，＋∞)

解集合运算问题应注意以下三点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．

(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．

　提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．