2020届高考数学二轮教师用书：第三章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　.

(2)商数关系：　＝tan α　.

2．三角函数的诱导公式

　对于±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　 )

(2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．(　　 )

(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　 )

(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　 )

(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

[小题查验]

1．sin 2025°的值为(　　 )

A．－　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：A　[sin 2025°＝sin(5×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°

＝－]．

2．(2019·呼和浩特市模拟)若sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　 )

A.  B．－

C.  D．－

解析：D　[因为sin α＝，且α为第二象限角，得cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－.故选D.]

3．(2019·洛阳市模拟)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则cos α＝(　　 )

A.  B．－

C．－  D.

解析：B　[∵sin(π－α)＝sin α＝，且≤α≤π，

则cos α＝－＝－，故选B.]

4．(教材改编)已知sin α＝－，则tan α＝　________　.

答案：或－

5.＝　________　.

解析：原式＝

＝＝－1.

答案：－1

考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式)

[母题]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.

(1)求tan α的值；

(2)把用tan α表示出来，并求其值．

[破题关键点]　(1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．法二： 利用已知条件及平方关系先求出sin α－cos α的值，再求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值．

[解析]　(1)法一：联立方程

由①得 cos α＝－sin α，将其代入②，整理得

25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，

∴∴tan α＝－.

法二：∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin  αcos α＝，

∴2sin αcos α＝－，

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.

∵sin αcos α＝－＜0，且0＜α＜π，

∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0.

∴sin α－cos α＝.

由得

∴tan α＝－.

(2)＝

＝＝.

∵tan α＝－，

∴＝＝＝－.

[子题1]　将母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 求 sin α＋cos α的值．

解：法一：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，

将其代入 sin2α＋cos2α＝1，

得cos2α＝1，∴cos2  α＝，易知cos α＜0，

∴cos α＝－， sin α＝，

故 sin α＋cos α＝－.

法二：∵α是三角形的内角且tan α＝－，

∴α为第二象限角，

∴sin α＝， cos α＝－，

∴sin α＋cos α＝－.

[子题2]　保持母题条件不变，

求：(1)；

(2)sin2α＋2sin αcos α的值．

解：由例题可知：tan α＝－.

(1)＝

＝＝.

(2)sin2α＋2sin αcos α＝

＝＝＝－.

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

考点二　三角函数的诱导公式(自主练透)

[题组集训]

1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋

cos (－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝　______　.

解析：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°

＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°

＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝×＋×＋1＝2.

答案：2

2．已知cos＝，

则sin＝　________　.

解析：∵＋＝－，

所以sin＝sin＝

－sin＝－cos＝－.

答案：－

3．设f(α)＝

(1＋2sin α≠0)，则f＝　________　.

解析：∵f(α)＝

＝＝

＝(1＋2sin α≠0)，∴f＝

＝＝＝.

答案：

4．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则

·tan2(π－α)＝　________　.

解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，

又α是第三象限角，∴sin α＝－，

∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝

＝，

∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.

答案：－

(1)诱导公式应用的原则和步骤

①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．

②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：

(2)巧用相关角的关系会简化解题过程．①常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．②常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题．

考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的活用(师生共研)

数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养

三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算．

[典例]　(1)已知tan＝，则tan＝　________　.

(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ＝，则tan ＝　________　.

[解析]　(1)∵＋＝π，

∴tan＝tan

＝－tan＝－.

(2)因为θ是第四象限角，且sin ＝，

所以θ＋是第一象限角，所以cos ＝，

所以sin ＝sin

＝－sin ＝－cos ＝－，

cos ＝cos

＝cos ＝sin ＝

所以tan ＝＝－.

[答案]　(1)－　(2)－

(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．

[跟踪训练]

(1)已知sin＝，则cos＝　________　.

(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　 )

A.　　　　　　　　 B.

C．0  D．－

解析：(1)∵＋＝，

∴cos＝cos＝sin

＝.

(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，

得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，

所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.

因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0＋＝.

答案：(1)　(2)A

1．(2020·赤峰市一模)已知sin ＝，α∈(0，π)，则 sin (π＋2α)等 于(　　 )

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：D　[由sin ＝，可得cos α＝，

∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝，

∴sin (π＋2α)＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－×2×＝－.故选D.]

2．(2020·沈阳市一模)已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：C　[∵tan θ＝2，则＋sin2θ＝1＋＋

＝1＋＋＝＋＝.故选C.]

3．(2020·郑州市模拟)等于(　　)

A．sin 2－cos 2  B．sin 2＋cos 2

C．±(sin 2－cos 2)  D．cos 2－sin 2

解析：A　[

＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.]

4．若＝3，则cos α－2sin α＝(　　 )

A．－1  B．1

C．－  D．－1或－

解析：C　[若＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin2α＋cos 2α＝1，

∴sin α＝，∴cos α＝3sin α－1＝，∴cos α－2sin α＝－，故选C.]

5．已知sin ＋3cos (π－θ)＝sin (－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ＝(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：D　[∵sin ＋3cos (π－θ)＝cos θ－3cos θ＝－2cos θ＝sin (－θ)＝－sin θ，∴tan θ＝2，则sin θcos θ＋cos 2θ＝＝＝，故选D.]

6．(2020·张掖市模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则tan θ＝　________　.

解析：∵已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，

∴1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－，

∴sin θ＝，cos θ＝－，

则tan θ＝＝－

答案：－

7．已知sin x＝，cos x＝，且x∈，则tan x＝　________　.

解析：由sin2x＋cos2x＝1，即2＋2＝1，得m＝0或m＝8.又x∈，∴sin x<0，cos x>0，∴当m＝0时，sin x＝－，cos x＝，此时tan x＝－；当m＝8时，sin x＝，cos x＝－(舍去)，综上知：tan x＝－.

答案：－

8．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin 的值是　________　.

解析：cos ＝cos

＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

∴cos＋sin＝0.

答案：0

9．求值：cos 375°＋sin 375°

解：原式＝sin(45°＋375°)

＝sin 420°＝sin (360°＋60°)

＝sin 60°＝.

10．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．

解析：∵sin α＝>0，∴α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋＝tan α＋

＝＋＝.

(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝.

(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.