【期末复习】2020年八年级数学上册 期末复习专题 全等三角形解答题 专练（含答案）
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全等三角形解答题 专练
1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明.
2.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．
3.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
4.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,
CE⊥AE于E.
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
5.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF=2AE；
(2)若CD=1，求AD的长.
6.如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
7.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．
8.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)求证：AB+AD=2AE.
9.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.
10.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
11.如图,△ABC中,∠BAC=900，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE,FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
12.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD．
13.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
14.如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD.
(1)求证：∠B+∠AFD=180°；
(2)如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明.
15.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1.证明：CD=BE，CD⊥BE，理由如下：
因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.
因为，所以△BAE≌△DAC(SAS).所以BE=DC，∠BEA=∠DCA.
如图，设AE与CD相交于点F，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE，
所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD⊥BE.
2.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元
又因为：∠ABE=∠CBE 所以：AE=CE 所以：∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG
所以：∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA 所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：AC=AB 所以：△AEC≌△AGB
所以：EC=BG=DG 所以：BD=2CE
3.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED
∵AB=AC+CD ∴AE=AB
∵AD平分∠CAB ∴∠EAD=∠BAD
∴AE=AB ∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB
∴∠E=∠B 且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD
∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B
即∠C=2∠B
4.解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。
又∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠BAD＝90°-∠EAC=∠ACE。
而AB=AC，于是△ABD全等于△CAE，BD=AE,AD=CE。因此，BD=AE=AD+DE=DE+CE。
（2）DE=BD+CE。
理由：与（1）同理，可得△ABD全等于△CAE，于是BD=AE,CE=AD，DE=AE+AD=BD+CE。
（3）当直线AE与线段BC有交点时，BD=DE+CE；
当直线AE交于线段BC的延长线上时，DE=BD+CE。
5. (1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；
(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=1，在Rt△CDF中，CF==，
∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=，∴AD=AF+DF=1+.
6.（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴CF=DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
7.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．
8. (1)证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴△BCE≌△DCF；
(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
9.证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.
10.答案为：80°，50°；
11.略
12.解：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
在△AOE和△AOF中∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF，
∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠AOC=120°；
（2）∵∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，
在△COF和△COD中，∴△COF≌△COD（ASA）
∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．
13.解：（1）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°．∴∠BAC=30°．
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=0.5∠BAC=15°，∠ECA=0.5∠ACB=45°．
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．
（2）FE=FD．如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中∵∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，∴∠DFC=∠GFC．
在△FDC和△FGC中∵∴△FDC≌△FGC（ASA），∴FD=FG．∴FE=FD．
（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．
又由（1）知∠FAC=0.5∠BAC，∠FCA=0.5∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=0.5（∠BAC+∠ACB）=0.5=60°．
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．
同（2）可得△FDC≌△FHC，∴FD=FH．∴FE=FD．
14.解：(1)在AB上截取AG=AF.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD=∠DAG.
在△AFD和△AGD中，∴△AFD≌△AGD(SAS)，∴∠AFD=∠AGD，FD=GD，
∵FD=BD，∴BD=GD，∴∠DGB=∠B，∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；
(2)AE=AF+FD.过点E作∠DEH=∠DEA，点H在BC上.
∵∠B+2∠DEA=180°，∴∠HEB=∠B.
∵∠B+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，
∴GD∥EH.∴∠GDE=∠DEH=∠DEG.∴GD=GE.
又∵AF=AG，∴AE=AG+GE=AF+FD.
15.证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
