人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像优质学案

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7.3.1 正弦函数的性质与图像








1.正弦函数的性质


(1)函数的周期性


①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．


②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．


(2)正弦函数的性质


2.正弦函数的图像


(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，要想得到y＝sin x(x∈R)的图像，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．


(2)“ 五点法” 作y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，－1))和(2π，0)．


思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？


[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)… ，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋eq \f(π,2) ，(k∈Z)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．





1.函数y＝xsin x是( )


A．奇函数，不是偶函数B．偶函数，不是奇函数


C．奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数


B [f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，∴y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．]


2.下列图像中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )








D [把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]


3.点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－m))在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )


A．0 B．1


C．－1 D．2


C [由题意－m＝sin eq \f(π,2)，∴－m＝1，


∴m＝－1.]





【例1】 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；


(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)．


[解](1)显然x∈R，f(x)＝cs eq \f(1,2)x，


∵f(－x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))＝cs eq \f(1,2)x＝f(x)，


∴f(x)是偶函数．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－sin x>0，,1＋sin x>0，))得－1

解得定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).


∴f(x)的定义域关于原点对称．


又∵ f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，


∴ f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]


＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．


∴f(x)为奇函数．





判断函数奇偶性应把握好两个关键点：


关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；


关键点二：看fx与f－x的关系.


对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.








1.判断函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋2x))＋x2sin x的奇偶性．


[解] 原式＝sin 2x＋x2sin x，


又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)


＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数.


【例2】 比较下列各组数的大小．


(1)sin 194°和cs 160°；


(2)sin eq \f(7,4)和cs eq \f(5,3).


[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．


[解](1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°.


cs 160°＝cs(180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°.


∵0°<14°<70°<90°，


∴sin 14°

从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cs 160°.


(2)∵cs eq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，


又eq \f(π,2)

y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π))上是减函数，


∴sin eq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cs eq \f(5,3)，


即sin eq \f(7,4)>cs eq \f(5,3).





比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.








2.比较大小：


(1)sin 250°与sin 260°；


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).


[解](1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，


因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，


所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＝－sin eq \f(23π,5)＝－sin eq \f(3π,5)


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))＝－sin eq \f(2π,5).


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))＝－sin eq \f(17π,4)＝－sin eq \f(π,4).


因为0＜eq \f(π,4)＜eq \f(2π,5)＜eq \f(π,2)，且函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是增函数，


所以sin eq \f(π,4)＜sin eq \f(2π,5)，－sineq \f(π,4)>－sineq \f(2π,5)，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4))).


【例3】 求下列函数的值域．


(1)y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))；


(2)y＝1－2sin2x＋sin x.


[思路探究](1)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．


(2)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．


[解](1)∵－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，


∴－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤2，


∴1≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋3≤5，


∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的值域为[1,5]．


(2)y＝1－2sin2x＋sin x，


令sin x＝t，则－1≤t≤1，


y＝－2t2＋t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up8(2)＋eq \f(9,8).


由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤eq \f(9,8)，


即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8))).





1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．


2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x就得出－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．








3.设|x|≤eq \f(π,4)，求函数f(x)＝cs2x＋sin x的最小值．


[解] f(x)＝cs2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))eq \s\up8(2)＋eq \f(5,4).


∵|x|≤eq \f(π,4)，


∴－eq \f(\r(2),2)≤sin x≤eq \f(\r(2),2)，


∴当sin x＝－eq \f(\r(2),2)时取最小值为eq \f(1－\r(2),2).


【例4】 用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：


(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．


①y>1；②y<1.


(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；


(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．


[解] 按五个关键点列表：


描点连线得：





(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.


(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1

(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－eq \f(π,2)；y最小值为－1，此时x＝eq \f(π,2).





1.解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取－π，－eq \f(π,2)，0，eq \f(π,2)，π，然后相应求出y值，作出图像．


2.“五点法”作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．


3.仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．








4．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]上的图像．


[解] 取值列表如下：


描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)








1.正弦函数周期性的释疑


由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.


2.正弦函数的奇偶性


(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称．


(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．


3.正弦函数单调性的说明


(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．


(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．


(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．


4．正弦函数最值的释疑


(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.


(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．


(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．


5．“ 五点法” 画正弦函数图像


“ 五点法” 是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．





1.以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )


A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同


B．关于x轴对称


C．介于直线y＝1和y＝－1之间


D．与y轴仅有一个交点


B [观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．]


2.函数y＝－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )





D [可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝eq \f(3π,2)时，y＝－sin eq \f(3π,2)＝1，排除B．]


3.若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．


[－1,0] [因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，


所以－1≤2m＋1≤1，


解得－1≤m≤0.]


4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．


[解] 列表：


描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)


2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像．(难点)
1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．


2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上递增；


在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋eq \f(π,2) ，(k∈Z)时，y最大值＝1；


x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，y最小值＝－1
三角函数奇偶性的判定
正弦函数的单调性及应用
正弦函数的值域与最值问题
正弦函数的图像
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sin x
0
－1
0
1
0
y＝1－2sin x
1
3
1
－1
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0