数学必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算优质导学案

这是一份数学必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算优质导学案，共10页。







1.向量的数量积的坐标公式


设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，


(1)数量积公式：a·b＝x1x2＋y1y2.


(2)向量垂直公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.


思考1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2，如果对于平面向量a，有a＝xe1＋ye2，则向量a的坐标为______，记作______，


[提示](x，y) a＝(x，y)．


2.三个重要公式


(1)向量的模：a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)⇔|a|＝eq \r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).


(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则


|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(,x1－x22＋y1－y22).


思考2：(1)若点A(－3,0), B(3,0)，则|eq \(AB,\s\up8(→))|＝______.


(2)若点A(－3,3), B(3，－5)，则|eq \(AB,\s\up8(→))|＝______.


[提示](1)6(2)10


(3)向量的夹角公式：


cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).





1.已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )


A．5 B．4


C．－2 D．－1


D [a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]


2.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )


A．eq \r(2) B．2


C．5eq \r(2)D．50


A [∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，


∴|a－b|＝eq \r(－12＋12)＝eq \r(2) .故选A．]


3.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cs 〈a，b〉＝________.


－eq \f(\r(2),10) [∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，


|a|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2) ，|b|＝eq \r(－82＋62)＝10.


∴cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10) .]


4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________.


±4 [|a|＝eq \r(32＋x2)＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]





【例1】(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.


(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．


[思路探究](1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算．


(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算．


(1)12 [∵b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，


∴b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a＝(2,3)，


∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.]


(2)[解] a·b＝1×2＋3×5＝17.


因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，


所以3a－b＝(1,4)，


所以|3a－b|＝eq \r(,12＋42)＝eq \r(,17).


因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，


所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，


所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.





1.数量积坐标运算的技巧


(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：


|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.


(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.


(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解．


2.求向量的模的两种基本策略


(1)字母表示下的运算．


利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．


(2)坐标表示下的运算．


若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，


于是有|a|＝eq \r(,x2＋y2).








1.已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(0,2)，若OC⊥AB于点C，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→)))＝________.


eq \f(8,5) [设点C的坐标为(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得eq \(AB,\s\up8(→))＝(－1,2)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(x－1，y)，


因为OC⊥AB于点C，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up8(→))·\(AB,\s\up8(→))＝0,\(AC,\s\up8(→))∥\(AB,\s\up8(→))))，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＝0,2x＋y－2＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5),y＝\f(2,5)))，


∴eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5)))，eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＝(1,2)，所以eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→)))＝eq \f(8,5).]


2.已知向量a＝(eq \r(,3)，－1)和b＝(1，eq \r(,3))，若a·c＝b·c，试求模为eq \r(,2)的向量c的坐标．


[解] 法一：设c＝(x，y)，


则a·c＝(eq \r(,3)，－1)·(x，y)＝eq \r(,3)x－y，b·c＝(1，eq \r(,3))·(x，y)＝x＋eq \r(,3)y，


由a·c＝b·c及|c|＝eq \r(,2)，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(,3)x－y＝x＋\r(,3)y，,x2＋y2＝2，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(,3)＋1,2)，,y＝\f(\r(,3)－1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(,3)＋1,2)，,y＝－\f(\r(,3)－1,2)，))


所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3)＋1,2)，\f(\r(,3)－1,2)))或c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3)＋1,2)，－\f(\r(,3)－1,2))).


法二：由于a·b＝eq \r(,3)×1＋(－1)×eq \r(,3)＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝eq \r(,2)，即其长度为正方形对角线长度(eq \r(,2)|b|＝2eq \r(,2))的一半，故c＝eq \f(1,2)(a＋b)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3)＋1,2)，\f(\r(,3)－1,2)))或c＝－eq \f(1,2)(a＋b)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3)＋1,2)，－\f(\r(,3)－1,2))).





【例2】(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，若a与b垂直，则实数x的值是( )


A．4 B．－4 C．1 D．－1


(2)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ.


①若θ＝120 °，求λ的值．


②要使θ为锐角，求λ的取值范围．


[思路探究](1)根据向量垂直的坐标关系求解．


(2)①由θ＝120 °求cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，建立方程求λ的值．


②要使θ为锐角，则cs θ>0，且a与b不能共线，建立不等式求λ的取值范围．


(1)D [因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，a与b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1.故选D．]


(2)[解] ①由于a＝(1,3)，b＝(2，λ)，则


a·b＝2＋3λ，当θ＝120 °时，cs 120 °＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，


得eq \f(2＋3λ,\r(10)×\r(4＋λ2))＝－eq \f(1,2)，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0，


解得λ＝eq \f(－12±10\r(3),13)，由于a·b＝2＋3λ<0，所以λ<－eq \f(2,3)，得λ＝eq \f(－12－10\r(3),13).


②由θ为锐角，得cs θ>0，且cs θ≠1，∵a·b＝|a||b|·cs θ＞0，


∴a·b>0，即1×2＋3λ>0，解得λ>－eq \f(2,3).若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6.


但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上所述，λ>－eq \f(2,3)且λ≠6.





利用向量法求夹角的方法技巧


(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．


(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：


(1)若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.


(2)若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．


(3)若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．








3.已知a＝(sin α，cs α)，|b|＝2.


(1)若向量b在a方向上的投影为－1，求a·b及a与b的夹角θ.


(2)若a＋b与b垂直，求|2a－b|.


[解](1)由向量数量积的几何意义知，a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，


∴a·b＝1·(－1)＝－1.


设a与b的夹角θ，θ∈[0，π]，


则cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－1,1·2)＝－eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(2π,3).


(2)若a＋b与b垂直，∴(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，∴a·b＝－4，


∴|2a－b|＝eq \r(,2a－b2)＝eq \r(,4a2－4a·b＋b2)


＝eq \r(,4－4×－4＋22)＝2eq \r(,6).





【例3】 在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动．


(1)求证：eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))为定值；


(2)求eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(EM,\s\up8(→))的最大值．


[思路探究](1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．


(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值．


[解] 法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，


eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(EC,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs ∠ BCE＝|eq \(BC,\s\up8(→))|2＝1(定值)．


(2)如图，作CN⊥EM，垂足为N，则


△EBM∽△CNM，得eq \f(EM,CM)＝eq \f(MB,MN)，


所以EM·MN＝CM·MB＝eq \f(1,4)，


所以eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(EM,\s\up8(→))＝|eq \(EC,\s\up8(→))||eq \(EM,\s\up8(→))|cs ∠ CEN＝|eq \(EM,\s\up8(→))|(|eq \(EC,\s\up8(→))|cs ∠ CEN)＝|eq \(EM,\s\up8(→))||eq \(EN,\s\up8(→))|＝|eq \(EM,\s\up8(→))|(|eq \(EM,\s\up8(→))|＋|eq \(MN,\s\up8(→))|)＝|eq \(EM,\s\up8(→))|2＋|eq \(EM,\s\up8(→))||eq \(MN,\s\up8(→))|＝|eq \(EM,\s\up8(→))|2＋eq \f(1,4)≤ |eq \(AM,\s\up8(→))|2＋eq \f(1,4)＝1＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)，


所以当点E在点A时，eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(EM,\s\up8(→))取得最大值eq \f(3,2).


法二：(坐标法)以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x∈[0,1],


(1)eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝(1－x,1)·(0,1)＝1(定值)．


(2)由上述可知，C(1,1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，


设E(x,0)，x∈[0,1]，


则eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(EM,\s\up8(→))＝(1－x,1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))＝(1－x)2＋eq \f(1,2)，


当x∈[0,1]时，(1－x)2＋eq \f(1,2)单调递减，


当x＝0时，eq \(EC,\s\up8(→))·eq \(EM,\s\up8(→))取得最大值eq \f(3,2).








解决向量数量积的最值的方法技巧


1“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.


2“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.








4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up8(→))·(eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→)))的最小值是( )


A．－2 B．－eq \f(3,2)


C．－eq \f(4,3) D．－1


B [如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq \r(3))，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up8(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \(PB,\s\up8(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up8(→))＝(1－x，－y)，


所以eq \(PA,\s\up8(→))·(eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→)))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－2x，－2y)


＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up8(2)－eq \f(3,2)，


当x＝0，y＝eq \f(\r(3),2)时，eq \(PA,\s\up8(→))·(eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→)))取得最小值为－eq \f(3,2)，选B．]


5．在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且满足eq \f(|\(BM,\s\up8(→))|,|\(BC,\s\up8(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up8(→))|,|\(CD,\s\up8(→))|)，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(AN,\s\up8(→))的取值范围是________．


[1,9] [分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，


则A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，


设M(3，b)，N(x,1)，因为eq \f(|\(BM,\s\up8(→))|,|\(BC,\s\up8(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up8(→))|,|\(CD,\s\up8(→))|)，


所以b＝eq \f(3－x,3)，则eq \(AN,\s\up8(→))＝(x,1)，eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3－x,3)))，


故eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \f(8,3)x＋1(0≤x≤3)，


所以1≤eq \f(8,3)x＋1≤9，所以eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(AN,\s\up8(→))的取值范围是[1,9]．


]





1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤


(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．


(2)求模．利用|a|＝eq \r(x2＋y2) 计算两向量的模．


(3)求夹角余弦值．由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))求夹角余弦值．


(4)求角．由向量夹角的范围及cs θ求θ的值．


2.知识导图








1.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则a·b＝( )


A．1 B．2


C．3 D．4


A [因为a＝(1,2)，b＝(－3,2)，


所以a·b＝1×(－3)＋2×2＝1.]


2.已知a＝(1,2)，b＝(6，－3)，则必有( )


A．a∥b B．b＝3a


C．a⊥b D．b＝－3a


C [由a＝(1,2)，b＝(6，－3)，得1×6＋2×(－3)＝0⇒a⊥b.]


3.已知向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为( )


A．45° B．60°


C．120° D．135°


D [因为向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a·b＝－6，|a|＝2eq \r(2)，|b|＝3，则cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(2),2)，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以a与b的夹角为135°.]


4．(2019·扬州高一检测)已知向量 a＝(1，－1)，向量b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝________.


1 [由向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，


得2a＋b＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.]


学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示．(难点)


2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算．(重点)
1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养．


2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.
利用向量数量积的坐标公式计算
向量数量积的坐标公式与夹角问题
向量数量积的坐标公式的综合问题