高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦优秀学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦优秀学案，共10页。

8.2.1 两角和与差的余弦








两角和与差的余弦公式


Cα＋β：cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β.


Cα－β：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β.


思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？


[提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,1)，cs α＝eq \f(x,1)，所以x＝cs α，y＝sin α，即点P坐标为(cs α，sin α).








1.cs 22°cs 38°－sin 22°sin 38°的值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)


A [原式＝cs(22°＋38°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]


2.化简cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β为( )


A．sin(2α＋β)B．cs(2α－β)


C．cs αD．cs β


C [原式＝cs[(α＋β)－β]＝cs α.]


3.cs(－40°)cs(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________.


eq \f(1,2) [cs(－40°)cs(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)


＝cs[(－40°)＋(－20°)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]





【例1】(1)cs 345°的值等于( )


A．eq \f(\r(2)－\r(6),4) B．eq \f(\r(6)－\r(2),4)


C．eq \f(\r(2)＋\r(6),4)D．－eq \f(\r(2)＋\r(6),4)


(2)化简下列各式：


①cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；


②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.


[思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．


(1)C [cs 345°＝cs(360°－15°)


＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°


＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


(2)[解] ①原式＝cs[(θ＋21°)－(θ－24°)]


＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，所以原式＝eq \f(\r(2),2).


②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°


＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°


＝cs(13°－43°)＝cs(－30°)＝eq \f(\r(3),2).





1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．


2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：


(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．


(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．








1.求下列各式的值：


(1)cs eq \f(13π,12)；


(2)sin 460°sin(－160°)＋cs 560°cs(－280°)；


(3)cs(α＋20°)cs(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．


[解](1)cs eq \f(13π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,12)))＝－cs eq \f(π,12)


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,12)－\f(2π,12)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)cs \f(π,6)＋sin \f(π,4)sin \f(π,6)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).


(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cs 200°cs 280°


＝－sin 80°sin 20°－cs 20°cs 80°


＝－(cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°)


＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).


(3)cs(α＋20°)cs(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)


＝cs[(α＋20°)＋(40°－α)]


＝cs 60°＝eq \f(1,2).


【例2】(1)已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则csα－eq \f(π,3)＝________.


(2)α，β为锐角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，cs(2α＋β)＝eq \f(3,5)，求cs α的值．


[思路探究](1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))).


(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cs α.


(1)eq \f(3－4\r(3),10) [因为cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，


所以sin α＝－eq \f(4,5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcs eq \f(π,3)＋sin αsin eq \f(π,3)


＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3－4\r(3),10).]


(2)[解] 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.


又因为cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，所以0<α＋β

所以0<2α＋β<π.


又因为cs(2α＋β)＝eq \f(3,5)，


所以0<2α＋β

所以sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq \f(4,5)，


所以cs α＝cs[(2α＋β)－(α＋β)]


＝cs(2α＋β)·cs(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)


＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).





给值求值的解题步骤：


1找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.


2拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：


α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，


α＝ eq \f(1,2)[α＋β＋α－β]，α＝ eq \f(1,2)[β＋α－β－α]等.


3求解.结合公式Cα±β求解便可.








2.已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cs β的值．


[解] ∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴α＋β∈(0，π)．


又∵cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，


∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，


sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(5\r(3),14).


又∵β＝(α＋β)－α，


∴cs β＝cs[(α＋β)－α]


＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)


＝eq \f(1,2).


【例3】 已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．


[思路探究] 本题可先求出cs(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．


[解] ∵α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，


∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，


∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)


＝eq \f(\r(2),2).


又sin α

∴0<α<β

∴－eq \f(π,2)<α－β<0.


故α－β＝－eq \f(π,4).





1.这类问题的求解，关键环节有两点：


(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．


2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．








3.设α，β是锐角，sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，求证：β＝eq \f(π,3).


[证明] 由0<α

又cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，


故sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)


＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))eq \s\up8(2))＝eq \f(5\r(3),14).


由sin α＝eq \f(4\r(3),7)，可知


cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),7)))eq \s\up8(2))＝eq \f(1,7)，


∴cs β＝cs[(α＋β)－α]


＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(,3),14)×eq \f(4\r(,3),7)＝eq \f(1,2)，


∴β＝eq \f(π,3).


[探究问题]


1.若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cs α的值？


[提示] cs α＝cs[(α＋β)－β]


＝cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β.


2.利用α－(α－β)＝β可得cs β等于什么？


[提示] cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin α·sin(α－β)．


3.若cs α－cs β＝a，sin α－sin β＝b，则cs(α－β)等于什么？


[提示] cs(α－β)＝eq \f(2－a2－b2,2).


【例4】 若0<α

A．eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)


C．eq \f(5\r(3),9) D．－eq \f(\r(6),9)


[思路探究] 利用角的交换求解，α＋eq \f(β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2))).


C [∵0<α

∴eq \f(π,4)<α＋eq \f(π,4)

又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),3)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2\r(2),3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(6),3)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))


＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(5\r(3),9).故选C．]





巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求或证明另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝α－β＋β，β＝ eq \f(α＋β,2)－ eq \f(α－β,2)等；②倍角化为和差角，如2α＝α＋β＋α－β等.








4．设cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cs eq \f(α＋β,2)的值．


[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴α－eq \f(β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，eq \f(α,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \r(1－\f(1,81))＝eq \f(4\r(5),9)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，


∴cs eq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))


＝－eq \f(1,9)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27).





对公式C(α－β)和C(α＋β)的三点说明


(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．


(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq \f(α＋β,2)”相当于公式中的角α，“eq \f(α－β,2)”相当于公式中的角β.


(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：


①公式本身的变用，如cs(α－β)－cs α cs β＝sinα sin β.


②角的变用，也称为角的变换，如cs α＝cs[(α＋β)－β]等.





1.下列式子中，正确的个数为( )


①cs(α－β)＝cs α－cs β；②cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sin α；


③cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β.


A．0个 B．1个


C．2个D．3个


A [由cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β知①③错误，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，故②错误，故选A．]


2.已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，则cs β等于( )


A．eq \f(33,65)B．－eq \f(33,65)


C．eq \f(54,75)D．－eq \f(54,75)


A [因为α，β为锐角，cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，


所以sin α＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，


所以cs β＝cs[(α＋β)－α]


＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝－eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(33,65).故选A．]


3.sin 75°＝________.


eq \f(\r(6)＋\r(2),4) [sin 75°＝cs 15°


＝cs(45°－30°)


＝cs 45°·cs 30°＋sin 45°·sin 30°


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)


＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


4．设α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，求cs β的值．


[解] ∵α，β都是锐角且cs α＝eq \f(\r(5),5)

∴eq \f(π,3)<α

又sin(α＋β)＝eq \f(3,5)>eq \f(1,2)，


∴eq \f(π,2)<α＋β<π，


∴cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \f(4,5)，


sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


∴cs β＝cs[(α＋β)－α]


＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α


＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)


2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)


3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．


2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.
利用两角和与差的余弦公式化简求值
给值(式)求值
已知三角函数值求角
利用角的变换求三角函数值