高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.1 不等式的基本性质优秀学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.1 不等式的基本性质优秀学案，共14页。




3.1 不等式的基本性质








和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？





1．不等式


(1)不等式的定义


用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．


(2)关于a≥b和a≤b的含义


①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．


②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a

(3)不等式中常用符号语言


2．两个实数的大小比较


(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；


(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；


(3)如果a－b是负数，那么a

3．不等式的基本性质


性质1: 若a>b，则bb⇔b

性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)


性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)


性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)


若a>b，c<0，则ac

性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)


性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)


性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)


提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．


(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．


(2)要注意每条性质是否具有可逆性．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)若ac>bc，则a>b．( )


(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d．( )


(3)若a>b，则eq \f(1,a)

[答案] (1)× (2)× (3)×


2．已知a1，a2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，记M＝a1a2, N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )


A．MN


C．M＝N D．不确定


B [由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－1))>0，故M>N．故选B．]


3．若x＞y，且x＋y＝2，则下列不等式一定成立的是( )


A．x2＜y2 B．eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)


C．x2＞1 D．y2＜1


C [因为x＞y，且x＋y＝2，所以2x＞x＋y＝2，即x＞1，则x2＞1，故选C．]








【例1】 (1)对于实数a，b，c，给出下列命题：


①若a>b，则ac2>bc2；


②若aab>b2；


③若a>b，则a2>b2；


④若aeq \f(b,a)．


其中正确命题的序号是 ．


(2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)，并用不等式的性质说明理由．


(1)②④ [对于①∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；


对于②，aab；ab2，∴②正确；


对于③，若0>a>b，则a2－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；


对于④，∵a－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2．


又∵ab>0，∴eq \f(1,ab)>0，∴a2·eq \f(1,ab)>b2·eq \f(1,ab)，∴eq \f(a,b)>eq \f(b,a)，④正确．


所以正确答案的序号是②④．]


(2)[解] 不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得


ax>－1 (不等式性质3)，


当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R，


当a>0时，不等式两边同时除以a得


x>－eq \f(1,a) (不等式性质4)，


当a<0时，不等式两边同时除以a得


x<－eq \f(1,a) (不等式性质4)．


综上：当a＝0时，不等式的解集为R，当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,a)))．





1．利用不等式判断正误的两种方法


①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．


②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．


2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．





eq \([跟进训练])


1．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )


A．a2＜b2＜c2 B．ab2＜cb2


C．ac＜bc D．ab＜ac


C [∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc，故选C．]


2．若关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，2)，则不等式bx－a>0的解集为 ．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) [因为关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，2)，所以a<0，且x＝2是方程ax＋b＝0的实数根，所以2a＋b＝0，即b＝－2a，由bx－a>0得－2ax－a>0，因为a<0，所以x>－eq \f(1,2)，即不等式bx－a>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))．]





[探究问题]


1．如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a

[提示] 若a>b，则a－b>0，反之也成立；


若a＝b，则a－b＝0，反之也成立；


若a

2．若a>b，则eq \f(a,b)>1吗？反之呢？


[提示] 若a>b，当b<0时，eq \f(a,b)<1，


即a>beq \f(a,b)>1；


若eq \f(a,b)>1，则eq \f(a,b)－1>0，即eq \f(a－b,b)>0，


∴a－b>0，b>0或a－b<0，b<0，


即eq \f(a,b)>1a>b，反之也不成立．


【例2】 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．


[思路点拨] eq \x(作差)―→eq \x(因式分解)eq \(――→,\s\up8(x<1))eq \x(判号)―→eq \x(下结论)


[解] x3－1－(2x2－2x)


＝x3－2x2＋2x－1


＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)


＝x2(x－1)－(x－1)2


＝(x－1)(x2－x＋1)


＝(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋\f(3,4)))，


∵x<1，∴x－1<0，


又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋eq \f(3,4)>0，


∴(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋\f(3,4)))<0，


∴x3－1<2x2－2x．





1．(变条件)本例条件“x<1”变为“x≥1”，比较x3－1与2x2－2x的大小．


[解] x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋\f(3,4)))，


∵x≥1，∴x－1≥0，又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋eq \f(3,4)>0，


∴(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋\f(3,4)))≥0，


∴x3－1≥2x2－2x．


2．(变题)已知：a >0, b >0, 比较eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)与eq \f(1,a＋b)的大小．


[解] (作差法)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))－eq \f(1,a＋b)＝eq \f(ab＋b2＋a2＋ab－ab,aba＋b)＝eq \f(a2＋ab＋b2,aba＋b)，


因为a >0, b >0，所以eq \f(a2＋ab＋b2,aba＋b)>0，


所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1,a＋b)．


(作商法)因为a >0, b >0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)与eq \f(1,a＋b)同为正数，


所以eq \f(\f(1,a)＋\f(1,b),\f(1,a＋b))＝eq \f(a＋b2,ab)，


所以eq \f(a＋b2,ab)－1＝eq \f(a2＋ab＋b2,ab)>0，


即eq \f(a＋b2,ab)>1，


因为eq \f(1,a＋b)>0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1,a＋b)．


(综合法)因为a >0, b >0，所以a＋b>0，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>1，


所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1,a＋b)．





1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法


(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．


(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．


2．作商法比较大小的三个步骤


(1)作商变形；


(2)与1比较大小；


(3)得出结论．


提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．


3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A>B>0⇔A·eq \f(1,B)>1．





eq \([跟进训练])


3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )


A．c≥b>a B．a>c≥b


C．c>b>a D．a>c>b


A [∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b．


又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，


∴b－a＝a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12 (2)＋eq \f(3,4)>0，∴b>a，∴c≥b>a．故选A．]


4．已知a，b∈R，试比较a2－ab与3ab－4b2的大小．


[解] 因为a，b∈R，所以(a2－ab)－(3ab－4b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2，


当a＝2b时，a2－ab＝ 3ab－4b2，


当a≠2b时，a2－ab> 3ab－4b2．





【例3】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac

(2)已知a> b >0, m>0，求证：eq \f(b,a)

[证明] (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc．


∴－ac<－bc，∵f

(2)(作差法)因为a> b >0, m>0，所以b－a<0，a＋m>0，


所以eq \f(b,a)－eq \f(b＋m,a＋m)＝eq \f(ba＋m－ab＋m,aa＋m)＝eq \f(mb－a,aa＋m)<0，


所以eq \f(b,a)

(不等式的性质)因为a> b >0, m>0，


所以am> bm, a＋m>0，ab>0，


所以am＋ab>ab＋bm，即a(b＋m)>b(a＋m)，


所以eq \f(b,a)




1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的注意事项


(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．


(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．


2．作差法也可以应用于证明不等式．


3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b克的a克糖水中放入m克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．





eq \([跟进训练])


5．若bc－ad≥0，bd>0．求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d)．


[证明] ∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，


∴eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，∴eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，∴eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d)．


6．已知a>b>m>0，求证：eq \f(a,b)

[证明] (作差法)因为a>b>m>0，


所以b－a<0，b－m>0，


所以eq \f(a,b)－eq \f(a－m,b－m)＝eq \f(ab－m－ba－m,bb－m)＝eq \f(mb－a,bb－m)<0，


所以eq \f(a,b)

(不等式的性质)因为a>b>m>0，所以am>bm，b－m>0，


所以－bm>－am，


所以ab－bm>ab－am，即b(a－m)>a(b－m)，


所以eq \f(a,b)




【例4】 已知1

[思路点拨] 欲求a－b的范围，应先求－b的范围，再利用不等式的性质求解．


[解] ∵1

∴8<2a＋3b<32．


∵2

又∵1

∴1＋(－8)

即－7

故8<2a＋3b<32，－7

即2a＋3b的取值范围为(8,32)，


a－b的取值范围为(－7,2)．





1．在本例条件下，求 eq \f(a,b) 的取值范围．


[解] ∵2

∴eq \f(1,8)

2．若本例改为：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．


[解] 法一：(双换元)设x＝a＋b，y＝a－b，


则a＝eq \f(x＋y,2)，b＝eq \f(x－y,2)，


∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)y．


又eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)x≤eq \f(5,2)，－eq \f(5,2)≤eq \f(5,2)y≤eq \f(15,2)，


∴－2≤eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)y≤10．


即－2≤3a－2b≤10．


所以3a－2b的范围是[－2,10]．


法二：(待定系数法)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b＝3a－2b，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(5,2)，))


即3a－2b＝eq \f(1,2)(a＋b)＋eq \f(5,2)(a－b)，


因为1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，


所以eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)(a＋b)≤eq \f(5,2)，－eq \f(5,2)≤eq \f(5,2)(a－b)≤eq \f(15,2)，


所以－2≤eq \f(1,2)(a＋b)＋eq \f(5,2)(a－b)≤10，


即3a－2b的范围是[－2,10]．





1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．


2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．





eq \([跟进训练])


7．已知－eq \f(1,2)≤α<β≤eq \f(1,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,3)的取值范围．


[解] ∵－eq \f(1,2)≤α<β≤eq \f(1,2)，


∴－eq \f(1,4)≤eq \f(α,2)

两式相加得－eq \f(1,2)

∵－eq \f(1,6)≤eq \f(α,3)

两式相加得－eq \f(1,3)≤eq \f(α－β,3)

又∵α<β，∴eq \f(α－β,3)<0，∴－eq \f(1,3)≤eq \f(α－β,3)<0．


8．已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的范围．


[解] 令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－c＝x，,4a－c＝y，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)y－x，,c＝\f(1,3)y－4x，))


∴9a－c＝eq \f(8,3)y－eq \f(5,3)x，


∵－4≤x≤－1，∴eq \f(5,3)≤－eq \f(5,3)x≤eq \f(20,3)，①


∵－1≤y≤5，∴－eq \f(8,3)≤eq \f(8,3)y≤eq \f(40,3)，②


①和②相加，得－1≤eq \f(8,3)y－eq \f(5,3)x≤20，


∴－1≤9a－c≤20．








1．作差法比较大小的三个步骤


作差、变形、定号，概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．


2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值范围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．


3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．





1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )


A．若a＞b，c＞b，则a＞c


B．若a＞－b，则c－a＜c＋b


C．若a＞b，c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)


D．若a2＞b2，则－a＜－b


B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．]


2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )


A．a＞b B．a＜b


C．a≥b D．a≤b


C [a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b．]


3．已知角α，β满足－eq \f(π,2)<α－β

(－π，2π) [结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]


4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) ．(在横线上填甲或乙即可)


乙 [由题意得甲购买产品的平均单价为eq \f(3a＋3b,6)＝eq \f(a＋b,2)，


乙购买产品的平均单价为eq \f(20,\f(10,a)＋\f(10,b))＝eq \f(2ab,a＋b)，由条件得a≠b．


∵eq \f(a＋b,2)－eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(a－b2,2a＋b)>0，∴eq \f(a＋b,2)>eq \f(2ab,a＋b)，即乙的购买方式更优惠．]


5．若a>b>0，ceq \f(e,(b－d)2)．


[证明] ∵c－d>0，


又a>b>0，∴a－c>b－d>0，


则(a－c)2>(b－d)2>0，即eq \f(1,a－c2)

又e<0，∴eq \f(e, a－c2)>eq \f(e,(b－d)2)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)


2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)


3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)
通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
利用不等式的性质判断和解不等式
利用不等式的性质比较代数式的大小
证明不等式
不算式性质的应用