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初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试当堂达标检测题
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这是一份初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
章末复习
一、选择题
1.如图 ,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan ∠BAC=25,则此斜坡的水平距离AC为 ( )
A.75 mB.50 m
C.30 mD.12 m
2.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于( )
A.asin x+bsin xB.acs x+bcs x
C.asin x+bcs xD.acs x+bsin x
3.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin ∠BAC的值为( )
A. 43B.34C.35D.45
4.如图,在正六边形ABCDEF中,AC=23,则它的边长是( )
A.1B.2C.3D.2
5.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cs 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cs 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)( )
A.3.2米B.3.9米
C.4.7米D.5.4米
6.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对“超然楼”的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60°.若学生的身高忽略不计,则该楼的高度CD为(结果精确到1 m,3≈1.7)( )
A.47 mB.51 mC.53 mD.54 m
7.如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
①分别以点C和点D为圆心,大于12CD的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的是( )
A.∠ABC=60°
B.S△ABE=2 S△ADE
C.若AB=4,则BE=47
D.sin ∠CBE=2114
二、填空题
8.在△ABC中,若sinA-12+cs B-122=0,则∠C的度数是 .
9.如图,一艘轮船自西向东航行,航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上,继续向东航行10海里到达点B处,测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上,此时轮船与小岛C的距离为 海里.(结果保留根号)
10.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在格点上,则cs A= ,sin C= .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,则tan ∠BPC= .
三、解答题
12.如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE= DF,连接EF.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G=12 ,求AO的长.
13.为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一条水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,
FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)
14.某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
问题提出:
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计:
如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.
数据收集:
通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至日这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至日这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°).窗户的高度AB=2 m.
问题解决:
根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.56°≈0.51,cs 30.56°≈0.86,tan 30.56°≈0.59,sin 77.44°≈0.98,cs 77.44°≈0.22,tan 77.44°≈4.49)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,AC=AE=3,BC=4,过点A作AB的垂线交射线EC于点D,延长BC交AD于点F.求∠D的正切值.
16.计算:tan 60°-12+|1-cs 60°|-2tan 45°·sin 60°.
17.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=3.
(1)求sin ∠ADB的值;
(2)若DC=3,求BC的长.
18.大钟楼是合肥市老城区的标志性建筑,为测量其高度,一人先在附近一楼房的底端A点处观测大钟楼顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测大钟楼底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是15 m,根据以上观测数据求合肥大钟楼的高.
19.图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成,每相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图2.在图2中,每个菱形的边长为10 cm,锐角为60°.
(1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;
(2)求A,B两点之间的距离.(结果取整数,可以使用计算器,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
参考答案
一、选择题
二、填空题
8. 90°
9. 52
10. 255 1010
11. 43
三、解答题
12.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC平分∠BAD.
∵BE=DF,即AE=AF.∴AC⊥EF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,CG∥AB,BO=12BD=2.
又∵BD∥EF,∴四边形EBDG是平行四边形.
∴∠ABD =∠G,∴tan ∠ABD=tan G=12,
∴AO2=12,解得AO=1.
13.解:由题意,可得∠FED=45°.
在Rt△DEF中,∵∠FDE=90°,∠FED=45°,
∴DE=DF=1.8,EF=2DE=925.
∵∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=180°-∠AEB-∠FED=90°.
在Rt△AEF中,∵∠AEF=90°,∠AFE=39.3°+45°=84.3°,
∴AE=EF·tan ∠AFE≈925×10.02≈182.
在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,∠AEB=45°,
∴AB=AE·sin ∠AEB≈182×22=18.
答:旗杆AB的高度约为18米.
14.解:设CD=x m,在Rt△ACD中,tan ∠ADC=ACCD=tan 77.44°≈4.49.
∴AC=4.49x.
在Rt△BCD中,tan ∠BDC=BCCD=tan 30.56°≈0.59,∴BC=0.59x,
∴AB=AC-BC=4.49x-0.59x=2,解得x≈0.5.
答:遮阳篷CD的长约为0.5 m.
15.解:过点C作CH⊥AB于点H.
∵AC=3,BC=4,∴AB=5,∴CH=AC·BCAB=125,
∴AH=AC2-CH2=95,EH=AE-AH=65,
∴tan D=tan ∠ECH=EHCH=12.
16.解:原式=|3-1|+|1-12|-2×1×32 =3-1+1-12-3=-12.
17.解:(1)过点B作BE⊥AD于点E.
在Rt△ABE中,∵∠A=45°,AB=2,
∴AE=BE=1.
在Rt△BDE中,sin ∠ADB=BEBD=13.
(2)过点B作BF⊥DC于点F,∴∠BFD=∠BED=∠ADC=90°,∴四边形BEDF是矩形,
∴DF=BE=1,BF=DE=BD2-BE2=32-12=22,
∴FC=DC-DF=2,
∴BC=BF2+FC2=(22)2+22=23 .
18.解:由题意,得∠ADB=30°,∠CAD=60°.
在Rt△ABD中,AD=ABtan30°=1533=153.
在Rt△ACD中,CD=AD·tan 60°=153×3=45.
∴合肥大钟楼的高为45米.
19.解:(1)猜想:CD∥EB.
证明:连接DE.∵中国结挂件是四个相同的菱形,每相邻两个菱形均成30°的夹角,菱形的锐角为60°,
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°,∠BED=60°÷2×2+30°=90°,
∴∠CDE=∠BED,∴CD∥EB.
(2)连接AD,BD.由(1)知,∠BED=90°,
∵BE=DE,∴∠EDB=∠EBD=45°,
同理,∠ADC=45°,
又由(1)知,∠CDE=90°,∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°,∴A,D,B三点共线.
由菱形的边长为10 cm,锐角为60°,
可求得对角线BE=DE=103 cm,
∴BD=106 cm,
同理可得AD=106 cm,AB=BD+AD=206≈49 (cm).
答:A,B两点之间的距离大约为49 cm.
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
A
D
D
D
C
B
C
章末复习
一、选择题
1.如图 ,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan ∠BAC=25,则此斜坡的水平距离AC为 ( )
A.75 mB.50 m
C.30 mD.12 m
2.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于( )
A.asin x+bsin xB.acs x+bcs x
C.asin x+bcs xD.acs x+bsin x
3.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin ∠BAC的值为( )
A. 43B.34C.35D.45
4.如图,在正六边形ABCDEF中,AC=23,则它的边长是( )
A.1B.2C.3D.2
5.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cs 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cs 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)( )
A.3.2米B.3.9米
C.4.7米D.5.4米
6.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对“超然楼”的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60°.若学生的身高忽略不计,则该楼的高度CD为(结果精确到1 m,3≈1.7)( )
A.47 mB.51 mC.53 mD.54 m
7.如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
①分别以点C和点D为圆心,大于12CD的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的是( )
A.∠ABC=60°
B.S△ABE=2 S△ADE
C.若AB=4,则BE=47
D.sin ∠CBE=2114
二、填空题
8.在△ABC中,若sinA-12+cs B-122=0,则∠C的度数是 .
9.如图,一艘轮船自西向东航行,航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上,继续向东航行10海里到达点B处,测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上,此时轮船与小岛C的距离为 海里.(结果保留根号)
10.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在格点上,则cs A= ,sin C= .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,则tan ∠BPC= .
三、解答题
12.如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE= DF,连接EF.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G=12 ,求AO的长.
13.为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一条水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,
FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)
14.某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
问题提出:
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计:
如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.
数据收集:
通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至日这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至日这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°).窗户的高度AB=2 m.
问题解决:
根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.56°≈0.51,cs 30.56°≈0.86,tan 30.56°≈0.59,sin 77.44°≈0.98,cs 77.44°≈0.22,tan 77.44°≈4.49)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AB上一点,AC=AE=3,BC=4,过点A作AB的垂线交射线EC于点D,延长BC交AD于点F.求∠D的正切值.
16.计算:tan 60°-12+|1-cs 60°|-2tan 45°·sin 60°.
17.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=3.
(1)求sin ∠ADB的值;
(2)若DC=3,求BC的长.
18.大钟楼是合肥市老城区的标志性建筑,为测量其高度,一人先在附近一楼房的底端A点处观测大钟楼顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测大钟楼底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是15 m,根据以上观测数据求合肥大钟楼的高.
19.图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成,每相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图2.在图2中,每个菱形的边长为10 cm,锐角为60°.
(1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;
(2)求A,B两点之间的距离.(结果取整数,可以使用计算器,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
参考答案
一、选择题
二、填空题
8. 90°
9. 52
10. 255 1010
11. 43
三、解答题
12.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC平分∠BAD.
∵BE=DF,即AE=AF.∴AC⊥EF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,CG∥AB,BO=12BD=2.
又∵BD∥EF,∴四边形EBDG是平行四边形.
∴∠ABD =∠G,∴tan ∠ABD=tan G=12,
∴AO2=12,解得AO=1.
13.解:由题意,可得∠FED=45°.
在Rt△DEF中,∵∠FDE=90°,∠FED=45°,
∴DE=DF=1.8,EF=2DE=925.
∵∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=180°-∠AEB-∠FED=90°.
在Rt△AEF中,∵∠AEF=90°,∠AFE=39.3°+45°=84.3°,
∴AE=EF·tan ∠AFE≈925×10.02≈182.
在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,∠AEB=45°,
∴AB=AE·sin ∠AEB≈182×22=18.
答:旗杆AB的高度约为18米.
14.解:设CD=x m,在Rt△ACD中,tan ∠ADC=ACCD=tan 77.44°≈4.49.
∴AC=4.49x.
在Rt△BCD中,tan ∠BDC=BCCD=tan 30.56°≈0.59,∴BC=0.59x,
∴AB=AC-BC=4.49x-0.59x=2,解得x≈0.5.
答:遮阳篷CD的长约为0.5 m.
15.解:过点C作CH⊥AB于点H.
∵AC=3,BC=4,∴AB=5,∴CH=AC·BCAB=125,
∴AH=AC2-CH2=95,EH=AE-AH=65,
∴tan D=tan ∠ECH=EHCH=12.
16.解:原式=|3-1|+|1-12|-2×1×32 =3-1+1-12-3=-12.
17.解:(1)过点B作BE⊥AD于点E.
在Rt△ABE中,∵∠A=45°,AB=2,
∴AE=BE=1.
在Rt△BDE中,sin ∠ADB=BEBD=13.
(2)过点B作BF⊥DC于点F,∴∠BFD=∠BED=∠ADC=90°,∴四边形BEDF是矩形,
∴DF=BE=1,BF=DE=BD2-BE2=32-12=22,
∴FC=DC-DF=2,
∴BC=BF2+FC2=(22)2+22=23 .
18.解:由题意,得∠ADB=30°,∠CAD=60°.
在Rt△ABD中,AD=ABtan30°=1533=153.
在Rt△ACD中,CD=AD·tan 60°=153×3=45.
∴合肥大钟楼的高为45米.
19.解:(1)猜想:CD∥EB.
证明:连接DE.∵中国结挂件是四个相同的菱形,每相邻两个菱形均成30°的夹角,菱形的锐角为60°,
∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°,∠BED=60°÷2×2+30°=90°,
∴∠CDE=∠BED,∴CD∥EB.
(2)连接AD,BD.由(1)知,∠BED=90°,
∵BE=DE,∴∠EDB=∠EBD=45°,
同理,∠ADC=45°,
又由(1)知,∠CDE=90°,∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°,∴A,D,B三点共线.
由菱形的边长为10 cm,锐角为60°,
可求得对角线BE=DE=103 cm,
∴BD=106 cm,
同理可得AD=106 cm,AB=BD+AD=206≈49 (cm).
答:A,B两点之间的距离大约为49 cm.
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
A
D
D
D
C
B
C
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