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沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试单元测试综合训练题
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这是一份沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试单元测试综合训练题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( )
A. 26
B. 2626
C. 2613
D. 1313
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C、D均在格点上，下列结论正确的是( )
A. ∠CDB=60∘
B. △ABC≌△CBD
C. AC=CD
D. ∠ABC=∠CBD
如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα>csα，则点M所在的线段可以是( )
A. AB和CD
B. AB和EF
C. CD和GH
D. EF和GH
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，作等腰三角形ABD，使AB=AD，∠BAD=∠BAC，且点C不在射线AD上.过点D作DE⊥AB，垂足为E.则sin∠BDE的值为．( )
A. 35B. 45C. 55D. 255
如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm，且tan∠EFC=34，那么矩形ABCD的周长为 ( )
A. 18
B. 25
C. 32
D. 36
已知csA=34，则下列结论正确的是．( )
A. 0°<∠A<30°B. 30°<∠A<45°
C. 45°<∠A<60°D. 60°<∠A<90°
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则∠BAD的正弦值为( )
A. 35
B. 1225
C. 2425
D. 65
小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角∠CAD=30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角∠DBF=60°，则山高CD为米．( )
A. 600−2505B. 6003−250C. 350+3503D. 5003
如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60∘方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15∘方向上，码头A到小岛C的距离AC为(3+1)海里.观测站B到AC的距离BP是( )
A. 3B. 1C. 2D. 3+12
如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若AB=EB=13，ED=3，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是( )
A. 菱形ABCD的面积是156
B. 若Q是BC的中点，则PQ=213
C. sin∠EBC=513
D. 若PQ⊥BE，则PQ=785
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则csA=( )
A. 5−14
B. 5+14
C. 5−12
D. 3−52
如图，线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直，∠CAB=α，若A、D、B在同一条直线上，则拉线BC的长度为( )
A. hsinαB. hcsαC. htanαD. h⋅csα
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB=30°，则tan∠DEC的值为______．
如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF，那么∠EDF的正切值是______．
如图，已知平行四边形ABCD,AB=7,BC=210，tan∠C=3，M为AD上一点，将△ABM沿BM折叠，得到△A′BM，且A′B⊥CD交CD于点P，A′M交CD于点Q，则图中阴影部分(四边形BMQP)的面和为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=2sin45°+tan60°．
先化简，再求值：3xx2−4x+4÷(1+2x−2)，其中x=tan60°+2．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为(m,3)，点B与点A关于y=x成轴对称，tan∠AOC=13．
(1)求k的值；
(2)直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
(3)P是y轴上一点，且S△PBC=2S△AOB，求点P的坐标．
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，
(1)求CD的长；
(2)若∠ABC的平分线交CD于点E，连接AE，求∠AEB的正切值．
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，csB=45，求BF和AD的长．
某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，3≈1.732)
安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC=2米，∠MBC=34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC=45°，从点E处看点B，仰角∠AEB=56°，且DE=4.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67)
如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
(1)索道车从A处运行到B处的距离约为______米；
(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．(结果取整数)
(参考数据．sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73)
如图，小李同学想测自己居住楼AB的高度，他起先站在C点从D处张望向自己家的阳台G时，测得仰角恰为30°，接着他向楼的方向前进了3m，从E处仰望楼顶B时，测得仰角恰为45°，已知小李同学身高(CD)为1.6m，GB=3m，设AB⊥DF.(参考数据：3≈1.7)
(1)求他起先站立位置C与楼的距离(结果保留根号)；
(2)求楼高AB(结果保留一位小数)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12×32⋅BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：由图可得，
∵BC=42+22=25，CD=22+12=5，BD=32+42=5，
∴BC2+CD2=(25)2+(5)2=25=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠CDB=255=2≠3，
∴∠CDB≠60°，故A错误；
由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；
∵AC=2，CD=5，
∴AC≠CD，故选项C错误；
∵tan∠ABC=ACAB=12，tan∠CBD=CDBC=525=12，
∴∠ABC=∠CBD，故选项D正确；
故选：D．
根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用特殊角的三角函数值可判定∠CDB的度数；根据图形，很容易判断△ABC与△CBD不全等和AC=CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．
本题考查锐角三角函数，勾股定理与勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】D
【解析】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．
∵sinα=PMOM，csα=OPOM，OP>PM，
∴sinα同法可证，点M在CD上时，sinα如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．
∵sinα=MJOM，csα=OJOM，OJ∴sinα>csα，
同法可证，点M在GH上时，sinα>csα，
故选：D．
本题考查正方形的性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
当点M在线段AB上时，连接OM.根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，csα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J，判断sinα，csα的大小即可解决问题．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据勾股定理求出AB=10，再证明△EAD≌△CAB，得出AE=AC=6，DE=BC=8，从而根据勾股定理求出BD=DE2+BE2=82+42=45，根据锐角三角函数的定义即可得到答案．
【解答】
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠BED=∠DEA=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠C，
∵AB=AD，∠BAD=∠BAC，
∴△EAD≌△CAB，
∴AE=AC=6，DE=BC=8，
∴BE=AB−AE=10−6=4，
∴BD=DE2+BE2=82+42=45，
∴sin∠BDE=BEBD=445=55．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，
∴tan∠EFC=CECF=34，
设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得DE=EF=(3k)2+(4k)2=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=BFAB=tan∠EFC=34，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE=AF2+EF2=(10k)2+(5k)2=55k=55，
解得：k=1，
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(8k+10k)=36(cm)，
故选：D．
根据tan∠EFC=34，设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，由∠BAF=∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了锐角的余弦，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【解答】
解：∵cs30°=32≈0.866，cs45°=22≈0.707，csA=34=0.75，
又∵0.866>0.75>0.707，
∴30°故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6，
∴AB=AD，OA=12AC=4，OB=12BD=3，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴AB=AD=OA2+OB2=42+32=5，
∵BE⊥AD，
∴S菱形ABCD=AD⋅BE=12AC⋅BD=12×8×6=24，
∴BE=245，
在Rt△ABE中，sin∠BAD=BEAB=2455=2425，
故选：C．
过B作BE⊥AD于E，由菱形的性质得AB=AD，OA=12AC=4，OB=12BD=3，AC⊥BD，再由勾股定理得AB=AD=5，然后由菱形面积求出BE的长，即可解决问题．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵BE：AE=5：12，
52+122=13，
∴BE：AE：AB=5：12：13，
∵AB=1300米，
∴AE=1200米，
BE=500米，
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，
∴DF=3x米．
又∵∠DAC=30°，
∴AC=3CD．
即：1200+x=3(500+3x)，
解得x=600−2503，
∴DF=3x=(6003−750)米，
∴CD=DF+CF=(6003−250)米．
故选：B．
构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
分别计算∠BAC、∠ABC、∠C的度数，证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP=PC，求出PA=3BP，由题意得出BP+3BP=3+1，据此求BP即可．
【解答】
解：由题意得：∠BAC=90°−60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°；
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=3BP，
∵PA+PC=AC=3+1，
∴3BP+BP=3+1，
∴BP=1．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵AB=EB，
∴EF=12AE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD//BC，AB=AD=13，
∵ED=3，
∴AE=10，
∴EF=5，
根据勾股定理得，BF=12，
∴菱形ABCD的面积是AD⋅BF=13×12=156，故选项A正确；
在Rt△BFE中，BF=12，BE=13，
∴sin∠AEB=BFBE=1213，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∴sin∠EBC=1213，故选项C错误；
在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF=125，
∴tan∠EBC=125，
∵PQ⊥BE，
∵点P是BE的中点，
∴BP=12BE=132，
在Rt△BPC中，tan∠EBC=PQBP=125，
∴PQ=125BP=125×132=785，故选项D正确；
如图，过点P作PH⊥BC于H，
在Rt△PHB中，sin∠EBC=PHBP=1213，
∴PH=1213BP=1213×132=6，
根据勾股定理得，BH=52，
∵点Q为BC的中点，
∴BQ=12BC=132，
∴QH=BQ−BH=4，
在Rt△PHQ中，根据勾股定理得，PQ=PH2+QH2=62+42=213，故选项B正确，
即错误的是选项C，
故选：C．
过点B作BF⊥AD于F，进而求出EF=5，根据勾股定理得，BF=12，即可判断出选项A正确；
先求出sin∠AEB=BFBE=1213，进而得出sin∠EBC=1213，即可判断出选项C错误；
先求出tan∠EBC=125，进而求出BP=12BE=132，最后用三角函数即可求出PQ，判断出选项D正确；
过点P作PH⊥BC于H，求出PH=6，进而求出BH=52，进而求出QH，最后用勾股定理求出PQ，即可判断出选项B正确．
此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，菱形的面积，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，过B作BE⊥AC于E，
设CD=2a，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=12(180°−36°)=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°，
∵∠C=∠C，∠CDB=∠ABC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
即BC2=CD⋅AC，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴CB=BD=AD，
∴AD2=CD⋅AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点，
∴CDAD=5−12，
∴AD=2CD5−1=2×2a5−1=(5+1)a，
∴AB=AC=AD+CD=(3+5)a，
∵BE⊥AC，BD=CD，
∴DE=CE=12CD=a，
∴AE=AD+DE=(2+5)a，
∴csA=AEAB=(2+5)a(3+5)a=5+14，
故选：B．
过B作BE⊥AC于E，设CD=2a，证△BDC∽△ABC，得BC：AC=CD：BC，再证CB=BD=AD，然后证点D是线段AC的黄金分割点，求出AD=(5+1)a，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点D为线段AC的黄金分割点是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cs∠BCD=CDBC，
∴BC=CDcs∠BCD=hcsα，
故选：B．
根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cs∠BCD=CDBC，即可求出BC的长度．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
13.【答案】32
【解析】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2，
在△ABE与△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB=∠BAE=30°，
∴AE=CF=3，BE=FD=1，
∵∠BAE=∠ADB=30°，
∴BD=2AB=4，
∴EF=4−2×1=2，
∴tan∠DEC=CFEF=32，
故答案为：32．
过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2，易证△ABE≌△CDF(AAS)，从而可求出AE=CF=3，BE=FD=1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA=∠GCB=45°，
∴∠ECG=90°，
设AC=2，BC=1，
∴CE=22，CG=2，
∴tan∠GEC=CGEC=12，
故答案为：12．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】32
【解析】解：如图，过点E作EG⊥DF，垂足为G，
∵E是AD的中点，AD=4，
∴AE=DE=2，
由翻折的性质可知，AB=FB=3，AE=DF=2，∠AEB=∠FEB，
∴EF=DE=2，
∵EG⊥DF，
∴∠FEG=∠DEG，
∵∠AEB+∠DEG=12×180°=90°，∠DEG+∠EDF=90°，
∴∠EDF=∠AEB，
在Rt△ABE中，
tan∠AEB=ABAE=32=tan∠EDF，
即∠EDF的正切值是32，
故答案为：32．
根据翻折的性质及中点的定义可知AB=FB=3，AE=DF=2，∠AEB=∠FEB，进而得到∠EDF=∠AEB，在Rt△ABE中求出tan∠AEB的值即可．
本题考查翻折的性质，矩形以及解直角三角形，掌握翻折的性质，矩形以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】1358
【解析】解：过M作MH⊥A′B于H，如图：
∵A′B⊥CD，
∴∠BPC=90°=∠A′PQ，
∵tan∠C=3，
∴PBPC=3，
设PC=x，则PB=3x，
∵PB2+PC2=BC2，
∴(3x)2+x2=(210)2，
解得x=2(负值已舍去)，
∴PB=3x=6，
∵将△ABM沿BM折叠，得到△A′BM，
∴A′B=AB=7，∠ABM=∠A′BM，∠A=∠A′，
∴A′P=A′B−PB=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，CD//AB，
∴∠A′=∠C，∠ABP=∠BPC=90°，
∴∠A′BM=∠ABM=12∠ABP=45°，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∵tanA′=tanC=3，
∴PQA′P=3=MHA′H，
∴PQ=3A′P=3，MH=3A′H，
设A′H=y，则MH=BH=3y，
∵A′B=AB=7，
∴BH+A′H=7，即3y+y=7，
∴y=74，
∴MH=3y=214，
∴S四边形BMQP
=S△A′MB−S△A′PQ
=12A′B⋅MH−12A′P⋅PQ
=12×7×214−12×1×3
=1358，
故答案为：1358．
过M作MH⊥A′B于H，由A′B⊥CD，tan∠C=3，设PC=x，则PB=3x，得(3x)2+x2=(210)2，解得PB=3x=6，根据将△ABM沿BM折叠，得到△A′BM，可得A′P=A′B−PB=1，又四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，CD//AB，从而可得△BHM是等腰直角三角形，PQA′P=3=MHA′H，设A′H=y，则MH=BH=3y，可得3y+y=7，即得MH=3y=214，故S四边形BMQP=S△A′MB−S△A′PQ=1358．
本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线构造直角三角形．
17.【答案】解：xx2−1÷(1−1x+1)
=x(x+1)(x−1)⋅x+1x+1−1
=xx(x−1)
=1x−1，
当x=2sin45°+tan60°=2×22+3=1+3时，原式=11+3−1=33．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：3xx2−4x+4÷(1+2x−2)
=3x(x−2)2÷xx−2
=3x(x−2)2⋅x−2x
=3x−2，
当x=tan60°+2=3+2时，原式=33+2−2=33=3．
【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和特殊交点三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：(1)作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为(m,3)，
∴OD=3，
∵tan∠AOC=13．
∴ADOD=13，即AD3=13，
∴AD=1，
∴A(−1,3)，
∵在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，
∴k=−1×3=−3；
(2)∵点B与点A关于y=x成轴对称，
∴B(3,−1)，
∵A、B在一次函数y=ax+b的图象上，
∴−a+b=33a+b=−1，解得a=−1b=2，
∴直线AB的解析式为y=−x+2；
(3)连接OB，
由直线AB为y=−x+2可知，C(0,2)，
∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×2×3=4，
∵P是y轴上一点，
∴设P(0,t)，
∴S△PBC=12|t−2|×3=32|t−2|，
∵S△PBC=2S△AOB，
∴32|t−2|=2×4，
∴t=223或t=−103，
∴P点的坐标为(0,223)或(0,−103).
【解析】(1)作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
(2)根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(3)先根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P(0,t)，得出S△PBC=12|t−2|×3=32|t−2|，由S△PBC=2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，利用待定系数法是解题关键．
20.【答案】(1)过点A作AF⊥BC垂足为F，
由题意得FC=AD=2，AF=CD，(1分)
∵BC=5，∴BF=3，(1分)
在Rt△AFB中解得AF=4，∴CD=4.(1分)
(2)设EC=x，由AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
得△ABE≌△CBE，
AE=EC=x，∠AEB=∠CEB.(2分)
DE=4−x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2x2=(4−x)2+22，得x=52.(1分)
tan∠AEB=tan∠CEB=BCCE=552=2.(2分)
【解析】(1)过点A作AF⊥BC垂足为F，求得BF的长后在Rt△AFB中解得AF的长后即可得到答案；
(2)证得△ABE≌△CBE后，在Rt△ADE中利用勾股定理求得DE的长后利用锐角三角函数的定义可以求∠ABE的正切值．
本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的知识，解题的关键是利用梯形的性质得到进一步解题的条件．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵csB=45=BFBE，BE=5，
∴BF=45BE=45×5=4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90°，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
(1)证AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可．
22.【答案】解：设PC=x米．
在直角△APC中，∠A=45°，
则AC=PC=x米；
∵∠PBC=60°
∴∠BPC=30°
在直角△BPC中，BC=33PC=33x米，
∵AB=AC−BC=60米，
则x−33x=60，
解得：x=90+303，
则BC=(303+30)米．
在Rt△BCQ中，QC=33BC=33(303+30)=(30+103)米．
∴PQ=PC−QC=90+303−(30+103)=60+203≈94.6(米)．
答：电线杆PQ的高度约是94.6米．
【解析】设PC=x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB=AC−BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得PC的长度是关键．
23.【答案】解：过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足为N、F，如图所示：
在Rt△BCN中，
CN=BC⋅sin∠MBC=2×0.56=1.12(米)，
BN=BC×cs34°=2×0.83=1.66(米)，
在Rt△ABE中，
AE=AB⋅tan∠EBA=AB×tan34°=0.67AB，
∵∠ADC=45°，
∴CF=DF，
∴BN+AB=AD−AF=AD−CN，
即：1.66+AB=0.67AB+4.4−1.12，
解得，AB=4.9(米)
答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△BCN中，求出CN、BN，在Rt△ABE中用AB的代数式表示AE，再根据∠ADC=45°得出CF=DF，列方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.【答案】300
【解析】解：(1)由题意得：
5分钟=300秒，
∴1×300=300(米)，
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
(2)在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴BD=12AB=150(米)，
AD=3BD=1503(米)，
在Rt△ACD中，∠CAD=37°，
∴CD=AD⋅tan37°≈1503×0.75≈194.6(米)，
∴BC=CD−BD=194.6−150≈45(米)，
∴白塔BC的高度约为45米．
(1)根据路程=速度×时间，进行计算即可解答；
(2)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设FG=x m，
∵BG=3m，
∴BF=FG+BG=(3+x)m，
∵AB⊥DF，
∴∠BFD=90°，
在Rt△BFE中，∠BEF=45°，
∴EF=BFtan45∘=(3+x)m，
∵DE=3m，
∴DF=DE+EF=(6+x)m，
在Rt△GFD中，∠GDF=30°，
∴tan30°=GFDF=xx+6=33，
∴x=3+33，
经检验：x=3+33是原方程的根，
∴DF=x+6=(9+33)m，
∴他起先站立位置C与楼的距离为(9+33)m；
(2)由题意得：
AF=CD=1.6m，
由(1)得：BF=3+x=(6+33)m，
∴AB=AF+BF=1.6+6+33=7.6+33≈12.7(m)，
∴楼高AB约为12.7m．
【解析】(1)设FG=x m，则BF=(3+x)m，然后在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在Rt△GFD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)根据题意得：AF=CD=1.6m，再利用(1)的结论可得BF=(6+33)m，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( )
A. 26
B. 2626
C. 2613
D. 1313
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C、D均在格点上，下列结论正确的是( )
A. ∠CDB=60∘
B. △ABC≌△CBD
C. AC=CD
D. ∠ABC=∠CBD
如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα>csα，则点M所在的线段可以是( )
A. AB和CD
B. AB和EF
C. CD和GH
D. EF和GH
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，作等腰三角形ABD，使AB=AD，∠BAD=∠BAC，且点C不在射线AD上.过点D作DE⊥AB，垂足为E.则sin∠BDE的值为．( )
A. 35B. 45C. 55D. 255
如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm，且tan∠EFC=34，那么矩形ABCD的周长为 ( )
A. 18
B. 25
C. 32
D. 36
已知csA=34，则下列结论正确的是．( )
A. 0°<∠A<30°B. 30°<∠A<45°
C. 45°<∠A<60°D. 60°<∠A<90°
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则∠BAD的正弦值为( )
A. 35
B. 1225
C. 2425
D. 65
小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角∠CAD=30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角∠DBF=60°，则山高CD为米．( )
A. 600−2505B. 6003−250C. 350+3503D. 5003
如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60∘方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15∘方向上，码头A到小岛C的距离AC为(3+1)海里.观测站B到AC的距离BP是( )
A. 3B. 1C. 2D. 3+12
如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若AB=EB=13，ED=3，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是( )
A. 菱形ABCD的面积是156
B. 若Q是BC的中点，则PQ=213
C. sin∠EBC=513
D. 若PQ⊥BE，则PQ=785
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则csA=( )
A. 5−14
B. 5+14
C. 5−12
D. 3−52
如图，线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直，∠CAB=α，若A、D、B在同一条直线上，则拉线BC的长度为( )
A. hsinαB. hcsαC. htanαD. h⋅csα
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB=30°，则tan∠DEC的值为______．
如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF，那么∠EDF的正切值是______．
如图，已知平行四边形ABCD,AB=7,BC=210，tan∠C=3，M为AD上一点，将△ABM沿BM折叠，得到△A′BM，且A′B⊥CD交CD于点P，A′M交CD于点Q，则图中阴影部分(四边形BMQP)的面和为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=2sin45°+tan60°．
先化简，再求值：3xx2−4x+4÷(1+2x−2)，其中x=tan60°+2．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为(m,3)，点B与点A关于y=x成轴对称，tan∠AOC=13．
(1)求k的值；
(2)直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
(3)P是y轴上一点，且S△PBC=2S△AOB，求点P的坐标．
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，
(1)求CD的长；
(2)若∠ABC的平分线交CD于点E，连接AE，求∠AEB的正切值．
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，csB=45，求BF和AD的长．
某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，3≈1.732)
安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC=2米，∠MBC=34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC=45°，从点E处看点B，仰角∠AEB=56°，且DE=4.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67)
如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
(1)索道车从A处运行到B处的距离约为______米；
(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．(结果取整数)
(参考数据．sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73)
如图，小李同学想测自己居住楼AB的高度，他起先站在C点从D处张望向自己家的阳台G时，测得仰角恰为30°，接着他向楼的方向前进了3m，从E处仰望楼顶B时，测得仰角恰为45°，已知小李同学身高(CD)为1.6m，GB=3m，设AB⊥DF.(参考数据：3≈1.7)
(1)求他起先站立位置C与楼的距离(结果保留根号)；
(2)求楼高AB(结果保留一位小数)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12×32⋅BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：由图可得，
∵BC=42+22=25，CD=22+12=5，BD=32+42=5，
∴BC2+CD2=(25)2+(5)2=25=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠CDB=255=2≠3，
∴∠CDB≠60°，故A错误；
由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；
∵AC=2，CD=5，
∴AC≠CD，故选项C错误；
∵tan∠ABC=ACAB=12，tan∠CBD=CDBC=525=12，
∴∠ABC=∠CBD，故选项D正确；
故选：D．
根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用特殊角的三角函数值可判定∠CDB的度数；根据图形，很容易判断△ABC与△CBD不全等和AC=CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．
本题考查锐角三角函数，勾股定理与勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】D
【解析】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．
∵sinα=PMOM，csα=OPOM，OP>PM，
∴sinα
∵sinα=MJOM，csα=OJOM，OJ
同法可证，点M在GH上时，sinα>csα，
故选：D．
本题考查正方形的性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
当点M在线段AB上时，连接OM.根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，csα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J，判断sinα，csα的大小即可解决问题．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据勾股定理求出AB=10，再证明△EAD≌△CAB，得出AE=AC=6，DE=BC=8，从而根据勾股定理求出BD=DE2+BE2=82+42=45，根据锐角三角函数的定义即可得到答案．
【解答】
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠BED=∠DEA=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠C，
∵AB=AD，∠BAD=∠BAC，
∴△EAD≌△CAB，
∴AE=AC=6，DE=BC=8，
∴BE=AB−AE=10−6=4，
∴BD=DE2+BE2=82+42=45，
∴sin∠BDE=BEBD=445=55．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，
∴tan∠EFC=CECF=34，
设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得DE=EF=(3k)2+(4k)2=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=BFAB=tan∠EFC=34，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE=AF2+EF2=(10k)2+(5k)2=55k=55，
解得：k=1，
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(8k+10k)=36(cm)，
故选：D．
根据tan∠EFC=34，设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，由∠BAF=∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了锐角的余弦，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【解答】
解：∵cs30°=32≈0.866，cs45°=22≈0.707，csA=34=0.75，
又∵0.866>0.75>0.707，
∴30°
7.【答案】C
【解析】解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6，
∴AB=AD，OA=12AC=4，OB=12BD=3，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴AB=AD=OA2+OB2=42+32=5，
∵BE⊥AD，
∴S菱形ABCD=AD⋅BE=12AC⋅BD=12×8×6=24，
∴BE=245，
在Rt△ABE中，sin∠BAD=BEAB=2455=2425，
故选：C．
过B作BE⊥AD于E，由菱形的性质得AB=AD，OA=12AC=4，OB=12BD=3，AC⊥BD，再由勾股定理得AB=AD=5，然后由菱形面积求出BE的长，即可解决问题．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵BE：AE=5：12，
52+122=13，
∴BE：AE：AB=5：12：13，
∵AB=1300米，
∴AE=1200米，
BE=500米，
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，
∴DF=3x米．
又∵∠DAC=30°，
∴AC=3CD．
即：1200+x=3(500+3x)，
解得x=600−2503，
∴DF=3x=(6003−750)米，
∴CD=DF+CF=(6003−250)米．
故选：B．
构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
分别计算∠BAC、∠ABC、∠C的度数，证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP=PC，求出PA=3BP，由题意得出BP+3BP=3+1，据此求BP即可．
【解答】
解：由题意得：∠BAC=90°−60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°；
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=3BP，
∵PA+PC=AC=3+1，
∴3BP+BP=3+1，
∴BP=1．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵AB=EB，
∴EF=12AE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD//BC，AB=AD=13，
∵ED=3，
∴AE=10，
∴EF=5，
根据勾股定理得，BF=12，
∴菱形ABCD的面积是AD⋅BF=13×12=156，故选项A正确；
在Rt△BFE中，BF=12，BE=13，
∴sin∠AEB=BFBE=1213，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∴sin∠EBC=1213，故选项C错误；
在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF=125，
∴tan∠EBC=125，
∵PQ⊥BE，
∵点P是BE的中点，
∴BP=12BE=132，
在Rt△BPC中，tan∠EBC=PQBP=125，
∴PQ=125BP=125×132=785，故选项D正确；
如图，过点P作PH⊥BC于H，
在Rt△PHB中，sin∠EBC=PHBP=1213，
∴PH=1213BP=1213×132=6，
根据勾股定理得，BH=52，
∵点Q为BC的中点，
∴BQ=12BC=132，
∴QH=BQ−BH=4，
在Rt△PHQ中，根据勾股定理得，PQ=PH2+QH2=62+42=213，故选项B正确，
即错误的是选项C，
故选：C．
过点B作BF⊥AD于F，进而求出EF=5，根据勾股定理得，BF=12，即可判断出选项A正确；
先求出sin∠AEB=BFBE=1213，进而得出sin∠EBC=1213，即可判断出选项C错误；
先求出tan∠EBC=125，进而求出BP=12BE=132，最后用三角函数即可求出PQ，判断出选项D正确；
过点P作PH⊥BC于H，求出PH=6，进而求出BH=52，进而求出QH，最后用勾股定理求出PQ，即可判断出选项B正确．
此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，菱形的面积，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，过B作BE⊥AC于E，
设CD=2a，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=12(180°−36°)=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°，
∵∠C=∠C，∠CDB=∠ABC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
即BC2=CD⋅AC，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴CB=BD=AD，
∴AD2=CD⋅AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点，
∴CDAD=5−12，
∴AD=2CD5−1=2×2a5−1=(5+1)a，
∴AB=AC=AD+CD=(3+5)a，
∵BE⊥AC，BD=CD，
∴DE=CE=12CD=a，
∴AE=AD+DE=(2+5)a，
∴csA=AEAB=(2+5)a(3+5)a=5+14，
故选：B．
过B作BE⊥AC于E，设CD=2a，证△BDC∽△ABC，得BC：AC=CD：BC，再证CB=BD=AD，然后证点D是线段AC的黄金分割点，求出AD=(5+1)a，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点D为线段AC的黄金分割点是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cs∠BCD=CDBC，
∴BC=CDcs∠BCD=hcsα，
故选：B．
根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cs∠BCD=CDBC，即可求出BC的长度．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
13.【答案】32
【解析】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2，
在△ABE与△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB=∠BAE=30°，
∴AE=CF=3，BE=FD=1，
∵∠BAE=∠ADB=30°，
∴BD=2AB=4，
∴EF=4−2×1=2，
∴tan∠DEC=CFEF=32，
故答案为：32．
过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2，易证△ABE≌△CDF(AAS)，从而可求出AE=CF=3，BE=FD=1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA=∠GCB=45°，
∴∠ECG=90°，
设AC=2，BC=1，
∴CE=22，CG=2，
∴tan∠GEC=CGEC=12，
故答案为：12．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】32
【解析】解：如图，过点E作EG⊥DF，垂足为G，
∵E是AD的中点，AD=4，
∴AE=DE=2，
由翻折的性质可知，AB=FB=3，AE=DF=2，∠AEB=∠FEB，
∴EF=DE=2，
∵EG⊥DF，
∴∠FEG=∠DEG，
∵∠AEB+∠DEG=12×180°=90°，∠DEG+∠EDF=90°，
∴∠EDF=∠AEB，
在Rt△ABE中，
tan∠AEB=ABAE=32=tan∠EDF，
即∠EDF的正切值是32，
故答案为：32．
根据翻折的性质及中点的定义可知AB=FB=3，AE=DF=2，∠AEB=∠FEB，进而得到∠EDF=∠AEB，在Rt△ABE中求出tan∠AEB的值即可．
本题考查翻折的性质，矩形以及解直角三角形，掌握翻折的性质，矩形以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】1358
【解析】解：过M作MH⊥A′B于H，如图：
∵A′B⊥CD，
∴∠BPC=90°=∠A′PQ，
∵tan∠C=3，
∴PBPC=3，
设PC=x，则PB=3x，
∵PB2+PC2=BC2，
∴(3x)2+x2=(210)2，
解得x=2(负值已舍去)，
∴PB=3x=6，
∵将△ABM沿BM折叠，得到△A′BM，
∴A′B=AB=7，∠ABM=∠A′BM，∠A=∠A′，
∴A′P=A′B−PB=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，CD//AB，
∴∠A′=∠C，∠ABP=∠BPC=90°，
∴∠A′BM=∠ABM=12∠ABP=45°，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∵tanA′=tanC=3，
∴PQA′P=3=MHA′H，
∴PQ=3A′P=3，MH=3A′H，
设A′H=y，则MH=BH=3y，
∵A′B=AB=7，
∴BH+A′H=7，即3y+y=7，
∴y=74，
∴MH=3y=214，
∴S四边形BMQP
=S△A′MB−S△A′PQ
=12A′B⋅MH−12A′P⋅PQ
=12×7×214−12×1×3
=1358，
故答案为：1358．
过M作MH⊥A′B于H，由A′B⊥CD，tan∠C=3，设PC=x，则PB=3x，得(3x)2+x2=(210)2，解得PB=3x=6，根据将△ABM沿BM折叠，得到△A′BM，可得A′P=A′B−PB=1，又四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，CD//AB，从而可得△BHM是等腰直角三角形，PQA′P=3=MHA′H，设A′H=y，则MH=BH=3y，可得3y+y=7，即得MH=3y=214，故S四边形BMQP=S△A′MB−S△A′PQ=1358．
本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线构造直角三角形．
17.【答案】解：xx2−1÷(1−1x+1)
=x(x+1)(x−1)⋅x+1x+1−1
=xx(x−1)
=1x−1，
当x=2sin45°+tan60°=2×22+3=1+3时，原式=11+3−1=33．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：3xx2−4x+4÷(1+2x−2)
=3x(x−2)2÷xx−2
=3x(x−2)2⋅x−2x
=3x−2，
当x=tan60°+2=3+2时，原式=33+2−2=33=3．
【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和特殊交点三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：(1)作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为(m,3)，
∴OD=3，
∵tan∠AOC=13．
∴ADOD=13，即AD3=13，
∴AD=1，
∴A(−1,3)，
∵在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，
∴k=−1×3=−3；
(2)∵点B与点A关于y=x成轴对称，
∴B(3,−1)，
∵A、B在一次函数y=ax+b的图象上，
∴−a+b=33a+b=−1，解得a=−1b=2，
∴直线AB的解析式为y=−x+2；
(3)连接OB，
由直线AB为y=−x+2可知，C(0,2)，
∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×2×3=4，
∵P是y轴上一点，
∴设P(0,t)，
∴S△PBC=12|t−2|×3=32|t−2|，
∵S△PBC=2S△AOB，
∴32|t−2|=2×4，
∴t=223或t=−103，
∴P点的坐标为(0,223)或(0,−103).
【解析】(1)作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
(2)根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(3)先根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P(0,t)，得出S△PBC=12|t−2|×3=32|t−2|，由S△PBC=2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，利用待定系数法是解题关键．
20.【答案】(1)过点A作AF⊥BC垂足为F，
由题意得FC=AD=2，AF=CD，(1分)
∵BC=5，∴BF=3，(1分)
在Rt△AFB中解得AF=4，∴CD=4.(1分)
(2)设EC=x，由AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
得△ABE≌△CBE，
AE=EC=x，∠AEB=∠CEB.(2分)
DE=4−x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2x2=(4−x)2+22，得x=52.(1分)
tan∠AEB=tan∠CEB=BCCE=552=2.(2分)
【解析】(1)过点A作AF⊥BC垂足为F，求得BF的长后在Rt△AFB中解得AF的长后即可得到答案；
(2)证得△ABE≌△CBE后，在Rt△ADE中利用勾股定理求得DE的长后利用锐角三角函数的定义可以求∠ABE的正切值．
本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的知识，解题的关键是利用梯形的性质得到进一步解题的条件．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵csB=45=BFBE，BE=5，
∴BF=45BE=45×5=4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90°，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
(1)证AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可．
22.【答案】解：设PC=x米．
在直角△APC中，∠A=45°，
则AC=PC=x米；
∵∠PBC=60°
∴∠BPC=30°
在直角△BPC中，BC=33PC=33x米，
∵AB=AC−BC=60米，
则x−33x=60，
解得：x=90+303，
则BC=(303+30)米．
在Rt△BCQ中，QC=33BC=33(303+30)=(30+103)米．
∴PQ=PC−QC=90+303−(30+103)=60+203≈94.6(米)．
答：电线杆PQ的高度约是94.6米．
【解析】设PC=x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB=AC−BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得PC的长度是关键．
23.【答案】解：过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足为N、F，如图所示：
在Rt△BCN中，
CN=BC⋅sin∠MBC=2×0.56=1.12(米)，
BN=BC×cs34°=2×0.83=1.66(米)，
在Rt△ABE中，
AE=AB⋅tan∠EBA=AB×tan34°=0.67AB，
∵∠ADC=45°，
∴CF=DF，
∴BN+AB=AD−AF=AD−CN，
即：1.66+AB=0.67AB+4.4−1.12，
解得，AB=4.9(米)
答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△BCN中，求出CN、BN，在Rt△ABE中用AB的代数式表示AE，再根据∠ADC=45°得出CF=DF，列方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.【答案】300
【解析】解：(1)由题意得：
5分钟=300秒，
∴1×300=300(米)，
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
(2)在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴BD=12AB=150(米)，
AD=3BD=1503(米)，
在Rt△ACD中，∠CAD=37°，
∴CD=AD⋅tan37°≈1503×0.75≈194.6(米)，
∴BC=CD−BD=194.6−150≈45(米)，
∴白塔BC的高度约为45米．
(1)根据路程=速度×时间，进行计算即可解答；
(2)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设FG=x m，
∵BG=3m，
∴BF=FG+BG=(3+x)m，
∵AB⊥DF，
∴∠BFD=90°，
在Rt△BFE中，∠BEF=45°，
∴EF=BFtan45∘=(3+x)m，
∵DE=3m，
∴DF=DE+EF=(6+x)m，
在Rt△GFD中，∠GDF=30°，
∴tan30°=GFDF=xx+6=33，
∴x=3+33，
经检验：x=3+33是原方程的根，
∴DF=x+6=(9+33)m，
∴他起先站立位置C与楼的距离为(9+33)m；
(2)由题意得：
AF=CD=1.6m，
由(1)得：BF=3+x=(6+33)m，
∴AB=AF+BF=1.6+6+33=7.6+33≈12.7(m)，
∴楼高AB约为12.7m．
【解析】(1)设FG=x m，则BF=(3+x)m，然后在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，再在Rt△GFD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)根据题意得：AF=CD=1.6m，再利用(1)的结论可得BF=(6+33)m，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
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