2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课时作业含解析北师大版 练习

6讲 正弦定理和余弦定理

课时作业

1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝(　　)

A．2∶3   B．4∶3 

C．3∶1   D．3∶2

答案　C

解析　由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C.

2．(2019·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)

A．2   B． 

C．2   D．2

答案　D

解析　由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.

3．(2019·兰州市实战考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝(　　)

A.   B．－ 

C.   D．－

答案　B

解析　由题意得，b2＝ac＝2a2，所以b＝a，所以cosC＝＝＝－，故选B.

4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于(　　)

A.   B． 

C．1   D．

答案　A

解析　∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsinB＝×3×＝.故选A.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．不确定

答案　C

解析　根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理，得cosC＝＜0，故C是钝角．

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)

A.   B． 

C.   D．

答案　C

解析　因为＝，所以＝，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.

7．(2019·大连双基测试)△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝(　　)

A.   B．± 

C．－   D．

答案　D

解析　由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝，又AB<AC，∴0<C<B＝60°，∴cosC＝＝.故选D.

8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A.   B． 

C.   D．

答案　C

解析　由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴sinC＝cosC.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C.

9．(2019·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝，若a2sinC＝2sinA，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　)

A.   B． 

C.   D．1

答案　A

解析　因为a2sinC＝2sinA，所以a2c＝2a，所以ac＝2，

因为(a＋c)2＝6＋b2，所以a2＋c2＋2ac＝6＋b2，

所以a2＋c2－b2＝6－2ac＝6－4＝2，

从而△ABC的面积为S△ABC＝＝，故选A.

10．(2019·南阳模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝(　　)

A.   B． 

C.   D．

答案　D

解析　因为3sinA＝5sinB，

所以由正弦定理可得：3a＝5b，所以a＝.

又b＋c＝2a，所以c＝2a－b＝，

不妨取b＝3，则a＝5，c＝7，

所以cosC＝＝＝－.

因为C∈(0，π)，所以C＝.

11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝2，则△ABC的面积的最大值是(　　)

A．1   B． 

C．2   D．4

答案　B

解析　∵2bcosB＝acosC＋ccosA，

∴2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∵0<B<π，∴cosB＝，∴B＝.

∵cosB＝＝，b＝2，∴a2＋c2－4＝ac.

∵a2＋c2≥2ac，∴2ac－4≤ac，即ac≤4，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝，故△ABC的面积的最大值为.

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcosA＋acosB)＝c2，b＝3,3cosA＝1，则a＝(　　)

A.   B．3 

C.   D．4

答案　B

解析　由正弦定理可得2(sinBcosA＋sinAcosB)＝csinC，∵2(sinBcosA＋sinAcosB)＝2sin(A＋B)＝2sinC，∴2sinC＝csinC，∵sinC>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.故选B.

13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.

答案　1

解析　由题意知sin＝sinC，

∴sinC＝，又0<C<，∴C＝，从而B＝，

∴b＝c，故＝1.

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.

答案　

解析　由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，

得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.

∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.

∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，

∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.

又0<B<π，∴B＝.

15．(2019·杭州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，则△ABC的面积的最大值为________．

答案　

解析　因为a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，所以根据正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，得cosA＝＝，因为A∈(0，π)，故A＝.因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，所以△ABC的面积的最大值为.

16．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.

答案　　

解析　依题意作出图形，如图所示，

则sin∠DBC＝sin∠ABC.

由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，

则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.

所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC

＝×2×2×＝.

因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－

＝＝，所以CD＝.

由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.

17．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.

(1)求A；

(2)若a＋b＝2c，求sinC.

解　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，

故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cosA＝＝.

因为0°<A<180°，所以A＝60°.

(2)由(1)知B＝120°－C，

由题设及正弦定理，得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，

即＋cosC＋sinC＝2sinC，

可得cos(C＋60°)＝－.

因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，

故sinC＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.

18．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.

(1)求cosB的值；

(2)求sin的值．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，

得bsinC＝csinB.由3csinB＝4asinC，

得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a，所以b＝a.

因为b＋c＝2a，所以c＝a.由余弦定理可得

cosB＝＝＝－.

(2)由(1)可得sinB＝＝，

从而sin2B＝2sinBcosB＝－，

cos2B＝cos2B－sin2B＝－，

故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.

19．(2019·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BC＝BDcosα＋CDsinβ.

(1)求角β的大小；

(2)求四边形ABCD周长的取值范围．

解　(1)∵BC＝BDcosα＋CDsinβ，

∴sin∠BDC＝sinβcosα＋sinαsinβ，

∴sin(α＋β)＝sinβcosα＋sinαsinβ，

∴(sinαcosβ＋sinβcosα)

＝sinβcosα＋sinαsinβ，

∴sinαcosβ＝sinαsinβ，∴tanβ＝，

又β∈(0，π)，∴β＝.

(2)根据题意，得∠BAD＝，由余弦定理，得

BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD

＝4＋1－2×2×1×cos＝7，

又BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosβ

＝(CB＋CD)2－3CB·CD

≥(CB＋CD)2－

＝，

∴CB＋CD≤2，又CB＋CD>，

∴四边形ABCD的周长AB＋BC＋CD＋DA的取值范围为(3＋，3＋2]．

20．(2019·河南联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccosC＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.

(1)求线段AD的长；

(2)求△ADE的面积．

解　(1)因为c＝4，b＝2,2ccosC＝b，

所以cosC＝＝.

由余弦定理得cosC＝＝＝，

所以a＝4，即BC＝4.

在△ACD中，CD＝2，AC＝2，

所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝.

(2)因为AE是∠BAC的平分线，

所以＝＝＝2，

又＝，所以＝2，

所以EC＝BC＝，DE＝2－＝.

又cosC＝，所以sinC＝＝.

所以S△ADE＝DE·AC·sinC＝.