2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例课时作业含解析北师大版 练习

解三角形的应用举例

课时作业　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)

A．10 km   B．10 km

C．10 km   D．10 km

答案　D

解析　如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10(km)．

2．如图，设A，B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，选定一点C，测出A，C两点的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)

A．50 m   B．50 m

C．25 m   D． m

答案　A

解析　由正弦定理得

AB＝＝＝50(m)．

3．(2019·临沂质检)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)

A. m   B． m

C. m   D． m

答案　A

解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，

∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，又AB＝200 m，∴AC＝ m.

在△ACD中，由正弦定理，得＝，即DC＝＝(m)．

4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A．a km   B．a km

C.a km   D．2a km

答案　B

解析　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故AB＝a km.

5．(2019·马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为(　　)

A. 海里/小时   B．34 海里/小时

C. 海里/小时   D．34 海里/小时

答案　C

解析　如图所示，在△PMN中，PM＝68海里，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°，由正弦定理可得＝，所以MN＝34海里，所以该船的航行速度为海里/小时．

6．(2019·云南红河州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　)

A．5米   B．15米

C．5米   D．15米

答案　D

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.

由正弦定理得＝，所以BC＝15(米)．

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(米)．故选D.

7．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为(　　)

A.百米   B．2百米

C．3百米   D．2百米

答案　C

解析　根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，则有＝，变形可得BC＝＝＝，

在△ABC中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3，即A，B两点的距离为3百米．故选C.

8.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

A．8 km/h   B．6 km/h

C．2 km/h   D．10 km/h

答案　B

解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得

2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6(km/h)．

9．某人在C点测得塔底O在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　)

A．15米   B．5米 

C．10米   D．12米

答案　C

解析　如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.

在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h.

在△OCD中，∠OCD＝120°，

CD＝10，OD2＝ OC2＋ CD2－2OC·CD·cos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．故选C.

10.(2019·衡水模拟)某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8 km，则此人到达A城还需要(　　)

A．40 min   B．42 min 

C．48 min   D．60 min

答案　C

解析　由题意可知，CD＝40×＝10(km)．

cos∠BDC＝＝－，

∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝，

∴sin∠ADB＝＝，

∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴＝，

∴AD＝32(km)，∴所需时间t＝＝0.8(h)，

∴此人还需要0.8 h即48 min才能到达A城．

11．如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.

答案　100

解析　设坡底需加长x m，由正弦定理得

＝，解得x＝100(m)．

12．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos37°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)

答案　60

解析　根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，

由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)．

13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m.

答案　150

解析　在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100 m.

在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，

由正弦定理得，＝，因此AM＝100 m.

在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，

由＝sin60°得MN＝100×＝150(m)，故填150.

14．(2019·四川宜宾第三次诊断)海上一艘轮船以60 n mile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20 min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝________ n mile.

答案　10

解析　在△ABC中，由题意可得∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×＝20(n mile)，

∴由正弦定理得＝，

∴BC＝＝＝20(n mile)，

在△ABD中，∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，由正弦定理得＝，

解得BD＝＝＝10(n mile)，

∴在△BCD中，由余弦定理得CD2＝(10)2＋(20)2－2×10×20×cos45°，

解得CD＝10(n mile)，

即C，D之间的距离为10 n mile.

15．(2019·山西晋城监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．

(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；

(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2(结果精确到1)．

(参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)

解　(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，

∴CD⊥AB.

又α＝45°，∴CD＝AC＝4.

(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，

∴由＝得

AD＝＝＝≈5.

在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα≈52＋42－2×5×4×cos53°≈17.

16．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

解　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

则AC＝14x n mile，BC＝10x n mile，∠ABC＝120°.

根据余弦定理得

(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，

解得x＝2.故AC＝28 n mile，BC＝20 n mile.

根据正弦定理，得＝，

解得sinα＝＝.

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.

17．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，则甲船应沿什么方向行驶才能最快追上乙船？追上时甲船行驶了多少海里？

解　如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙船到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，

B＝120°，由正弦定理知

＝，

∴＝，

∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，

∴BC＝AB＝a海里，

∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°

＝a2＋a2－2a2·＝3a2，

∴AC＝a海里，∴甲船沿北偏东30°方向行驶才能最快追上乙船，追上时甲船行驶了a海里．

18．(2019·江西南昌模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)

(1)求A，C两地的距离；

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.

解　(1)设BC＝x米，由条件可知AC＝x＋×340＝x＋40(米)，

在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，

即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×，解得x＝380，

所以AC＝380＋40＝420(米)，

故A，C两地的距离为420米．

(2)在△ACH中，AC＝420米，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，

由正弦定理，可得＝，

即＝，

所以HC＝＝140(米)，故这种仪器的垂直弹射高度为140米．