2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.4.3 第1课时　余弦定理

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

知识点一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝

思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二　余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
知识点三　解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　×　)
2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.(　√　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　√　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　×　)

一、已知两边及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.
反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ .
答案　2　
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
二、已知三边解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0° ∴最大角A为120°.

反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求最小角.
解　易知a 根据余弦定理，得cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，
∴A＝.
三、利用余弦定理判断三角形的形状
例3　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
反思感悟　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2 ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
跟踪训练3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案　直角
解析　由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.

1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三条边长为(　　)
A.52 B.2 C.16 D.4
答案　B
解析　设第三条边长为x，
则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，
∴x＝2.
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cos C＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　)
A. B. C.或 D.或
答案　A
解析　∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B为△ABC的内角，∴B＝.
4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.90° B.120° C.135° D.150°
答案　B
解析　设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，
则由余弦定理得
cos B＝＝＝，B为△ABC的内角，
∴∠B＝60°，
∵BC>AC>AB，∴A>B>C，
∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝ .
答案　
解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，
所以c＝－.
由余弦定理，得cos A＝＝，
又A为△ABC的内角，所以A＝.

1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.


1.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　)
A. B. C. D.5
答案　A
解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以c＝.
2.(2019·安徽合肥八中质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为(　　)
A.150° B.120° C.92° D.135°
答案　B
解析　设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，
由余弦定理，得cos C＝＝＝－.
因为C为△ABC的内角，
所以此三角形中的最大角C＝120°.
3.(2019·四川绵阳中学月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，c＝2，cos A＝，则b等于(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　D
解析　∵a＝，c＝2，cos A＝，
∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，
∴b＝3或b＝－(舍去).
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
答案　A
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于(　　)
A.4 B. C.3 D.
答案　D
解析　由三角形内角和定理，可知
cos C＝－cos(A＋B)＝－，
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以c＝.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，则角A的大小为 .
答案　60°
解析　∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
∵0° ∴A＝60°.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2 答案　
解析　因为a2＋b2 所以△ABC是钝角三角形，且C>.
又因为sin C＝，所以C＝.
8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
答案　
解析　由题意得a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝.
9.在△ABC中，a∶b∶c＝2∶4∶5，判断三角形的形状.
解　因为a∶b∶c＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
c最大，cos C＝<0，
所以C为钝角，
从而△ABC为钝角三角形.
10.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解　(1)∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).

11.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cos B＝＝＝.
12.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
由余弦定理，得cos C＝＝＝.
13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,7) B.(1,5) C.(，5) D.(，5)
答案　C
解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，
∴cos A＝>0，
且cos C＝>0，∴7 ∴ 14.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 .

答案　
解析　∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，
有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.

15.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长.
解　方法一　由条件知
cos A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，知
x2＝2＋AB2－2××ABcos A
＝42＋92－2×4×9×＝49，
所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
方法二　设AC中点为M，连接BM(图略).
则＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)
＝(92＋72＋2||||cos∠ABC).
由余弦定理，得2||||cos∠ABC＝||2＋||2－||2＝92＋72－82，
∴||2＝(92＋72＋92＋72－82)＝49.
∴BM＝7，即AC边上的中线长为7.

16.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2 min，从点D沿DC走到点C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，求该扇形的半径.

解　依题意得OD＝100 m，

CD＝150 m，连接OC，易知
∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，
因此由余弦定理，得
OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，
解得OC＝50(m).