北师大（2019）版数学必修第一册高考模拟测试卷 （含答案）

新21版练数学1配北师版
高考模拟测试卷
第Ⅰ部分 选择题(共60分)
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.☉%￥#7￥534￥%☉(2020·宁夏大武口区高一检测)已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=yy=12x,x>1,则A∩B=(　　)。
A.y0 C.y12 答案：A　
解析：由题意,根据对数函数的性质,可得集合A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},根据指数函数的性质,可得集合B=y|y=12x,x>1=y|0 2.☉%*009#1@@%☉(2020·山东青岛检测)设a>0且a≠1,则“b>a”是“logab>1”的(　　)。
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
答案：D　
解析：因为logab>1=logaa,所以当a>1时,b>a;当0a”是“logab>1”的既不充分也不必要条件,故选D。
3.☉%65￥3*￥6￥%☉(2020·阳江模块检测)下列命题中,真命题是(　　)。
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是ab=-1
D.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1
答案：D　
解析：根据指数函数的性质可知ex>0恒成立,所以A错误。当x=-1时,2-1=12<(-1)2=1,所以B错误。若a=b=0时,ab无意义,即必要性不成立,所以C错误。假设x,y都小于1,则x<1,y<1,所以x+y<2与x+y>2矛盾,所以假设不成立,所以D正确。
4.☉%4￥5@0￥#2%☉(2020·宿州高一检测)已知a=30.4,b=log312,c=130.2,则(　　)。
A.a>b>c　　B.c>a>b
C.c>b>a　　D.a>c>b
答案：D　
解析：由题得a=30.4>30=1,b=log312c>b。故选D。
5.☉%065##@#5%☉(2020·北京房山区高一检测)如图2给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图(连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点所得),其中组距为10且本次考试中最低分为50分,最高分为100分。根据图中所提供的信息,下列结论中正确的是(　　)。

图2
A.成绩是75分的人数有20人
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在70~90分的人数有35人
D.成绩落在75~85分的人数有35人
答案：C　
解析：对于选项A,成绩落在70~80分的人数为10×255×55=20,不能说成绩是75分的人数有20人,所以该选项是错误的;对于选项B,频率分布折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多,只能看出成绩落在50~60分的人数和成绩落在90~100分的人数相等,所以该选项是错误的;对于选项C,成绩落在70~90分的人数有10×255+10×3110×55=35(人),所以该选项是正确的;对于选项D,由C得成绩落在70~90分的人数有35人,所以成绩落在75~85分的人数有35人是错误的,所以该选项是错误的。故选C。
6.☉%1￥#6￥7@4%☉(2020·清远高中检测)某围棋俱乐部有队员5人,其中女队员2人,现随机选派2人参加围棋比赛,则选出的2人中有女队员的概率为(　　)。
A.310　　B.35　　C.45　　D.710
答案：D　
解析：由题意可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有10种,而选出的2人中没有女队员的方法有3种,结合古典概型计算公式可得:选出的2人中有女队员的概率为P=10-310=710。故选D。
7.☉%92*93@**%☉(2020·兰州一中检测)已知a,b,c∈R。函数f(x)=ax2+bx+c,若f(x)=f(2-x),则下列不等关系不可能成立的是(　　)。
A.f(1) C.f(1-a) 答案：C　
解析：由f(x)=f(2-x)可知f(x)对称轴为x=1。当a>0时,f(1)为f(x)最小值,1-2a<1-a<1⇒f(1-2a)>f(1-a),
1+2a>1>1-a且|1+2a-1|>|1-a-1|⇒f(1+2a)>f(1-a),
此时A和B成立。当a<0时,f(1)为f(x)最大值,1+2a<1<1-a且|1+2a-1|>|1-a-1|⇒f(1+2a)1-a>1⇒f(1-2a) 8.☉%5*9￥#34￥%☉(2020·南岗区校级期末)如果函数f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“可拆分函数”,若f(x)=lga2x+1为“可拆分函数”,则a的取值范围是(　　)。
A.12,32　　B.32,3
C.32,3　　D.3,+∞
答案：B　
解析：因为函数f(x)=lga2x+1为“可拆分函数”,所以存在实数x0,使得lga2x0+1+1=lga2x0+1+lga3,即a2x0+1+1=a2x0+1×a3,且a>0,所以a=3(2x0+1)2×2x0+1,令t=2x0,则t>0,所以a=3(t+1)2t+1=32+32(2t+1),由t>0得32 二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分)
9.☉%7@7￥*0#2%☉(2019·山西太原五中高一周测)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a的取值可以是(　　)。
A.92　　B.98　　C.0　　D.1
答案：BC　
解析：当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=98。故选BC。
10.☉%7*2*￥5*9%☉(2020·山东潍坊一中高一月考)对任意实数a,b,c,下列命题是真命题的有(　　)。
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充要条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
答案：CD　
解析：对于A,因为“a=b”时,ac=bc成立;ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A错。对于B,a=-1,b=-2,a>b时,a2b2时,ab”是“a2>b2”的既不充分与不必要条件,故B错。对于C,因为“a<3”时一定有“a<5”成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,C正确。对于D,,“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,D正确。故选CD。
11.☉%*@9786@@%☉(2020·山东潍坊一中高一月考)下列关于函数f(x)=x2-x4|x-1|-1的性质描述,正确的是(　　)。
A.f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]
B.f(x)的值域为(-1,1)
C.f(x)在定义域上是增函数
D.f(x)的图像关于y轴对称
答案：AB　
解析：由题设有|x-1|-1≠0,x2-x4≥0,故-1≤x<0或0 12.☉%￥7￥22*3@%☉(2020·北京人大附中检测)下列命题中正确的是(　　)。
A.偶函数的图像一定与y轴相交
B.任取x>0,均有12x>13x
C.在同一平面直角坐标系中,y=log2x与y=log12x的图像关于x轴对称
D.y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
答案：BC
解析：

第Ⅱ部分 非选择题(共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上)
13.☉%*7##2@31%☉(2020·镇江一中月考)为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人。若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为　　　　。 
答案：1 200　
解析：由题意知高三年级抽取了100-24-26=50(人)。所以该校学生总人数为600÷50100=1 200(人)。故答案为1 200。
14.☉%89*￥#1￥0%☉(2020·扬州中学月考)设命题p:1 答案：[2,+∞)　
解析：当a=1时,(x-a)(x-1)≤0的解为x=1,与已知不相符;当a>1时,(x-a)(x-1)≤0的解为1≤x≤a,因为p是q的充分不必要条件,所以a≥2;当a<1时,(x-a)(x-1)≤0的解为a≤x≤1,与已知不相符。故答案为[2,+∞)。
15.☉%￥1@3*65￥%☉(2020·培城区校级模拟)已知定义在R上的函数f(x)=a-22-x与函数g(x)=2x-2+|x-2|的图像有唯一公共点,则实数a的值为　　　　。 
答案：2　
解析：由函数f(x)=a-22-x与函数g(x)=2x-2+|x-2|的图像有唯一公共点,可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解,方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解,即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图像只有一个交点,设h(x)=2x-2+22-x+|x-2|,由h(x)=h(4-x),可得函数h(x)关于直线x=2对称,若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解,则a=h(2)=2。
16.☉%9￥8@￥25*%☉(2020·黄湖中学月考)已知函数f(x)=2-x(x≤0),-x2+4x(x>0),则f(f(-1))=　　　　　　,若实数a 答案：4　(2,4]　
解析：f(f(-1))=f(21)=-4+8=4。作出f(x)的图像,如图。因为a
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)☉%￥9#**931%☉(2020·华师一附中高一检测)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}。
(1)分别求A∩B,(∁RB)∪A;
答案：解:因为3≤3x≤27,即31≤3x≤33,所以1≤x≤3,
所以A={x|1≤x≤3}。
因为log2x>1,即log2x>log22,所以x>2,所以B={x|x>2},
所以A∩B={x|2 ∁RB={x|x≤2},所以(∁RB)∪A={x|x≤3}。
(2)已知集合C={x|1 答案：由(1)知A={x|1≤x≤3},若C⊆A,当C为空集时,a≤1。
当C为非空集合时,可得1 18.(12分)☉%*￥@#8359%☉(2020·雅礼中学期中)已知函数f(x)=mx2-(m2+1)x+m(m∈R)。
(1)当m=2时,解关于x的不等式f(x)≤0;
答案：解:当m=2时,不等式f(x)≤0可化为2x2-5x+2≤0,即(2x-1)(x-2)≤0,解得12≤x≤2,所以不等式f(x)≤0的解集为x|12≤x≤2。
(2)当m>0时,解关于x的不等式f(x)>0。
答案：当m>0时,不等式可化为mx2-(m2+1)x+m>0,即x2-m+1mx+1>0,则(x-m)x-1m>0,
当01,则不等式的解集为x|x1m;
当m=1时,不等式化为(x-1)2>0,此时不等式解集为{x|x≠1};
当m>1时,0<1m<1,则不等式的解集为x|x<1m或x>m}。
19.(12分)☉%#￥58@5@3%☉(2020·湖北孝感模拟)某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费,为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图3所示的频率分布直方图。

图3
(1)求直方图中a的值;
答案：解:由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30。
(2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
答案：由频率分布直方图可知,100位居民每人月用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,由以上样本频率分布,可以估计80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12=96 000。
(3)若该市政府希望85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由。
答案：∵前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,∴2.5≤x<3。
由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9。
因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准。
20.(12分)☉%*65#@@26%☉(2020·湖南长沙雅礼中学月考)甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分。两人4局的得分情况如下 :
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y
(1)已知在乙的4局比赛中随机选取1局时,此局得分小于6分的概率不为零,且在4局比赛中,乙的平均得分高于甲的平均得分,求x+y的值;
答案：解:由题意得7+9+x+y4>6+6+9+94,即x+y>14。
∵在乙的4局比赛中随机选取1局时,此局得分小于6分的概率不为零,∴x,y至少有一个小于6。
又x≤10,y≤10,且x,y∈N,∴x+y≤15,∴x+y=15。
(2)如果x=6,y=10,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,并将其得分分别记为a,b,求a≥b的概率;
答案：设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局,且得分满足a≥b”为事件M,记甲的4局比赛为A1,A2,A3,A4,各局的得分分别为6,6,9,9;乙的4局比赛为B1,B2,B3,B4,各局的得分分别是7,9,6,10。则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局,所有可能的结果有16种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),
(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4)。而事件M的结果有8种,它们是(A1,B3),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),∴事件M的概率P(M)=816=12。
(3)在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出x的所有可能取值。(结论不要求证明)
答案：x的所有可能取值为6,7,8。
21.(12分)☉%4*￥6￥7￥2%☉(2020·江苏锡山高级中学月考)已知a∈R,函数f(x)=2x-a2x+a。
(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;
答案：解:由题意可知f(x)的定义域为R,因此,若f(x)为奇函数,则f(0)=0,即1-a1+a=0,所以a=1,经检验,a=1满足题意。
(2)若a≥0且f(x) 答案：由f(x)0。
因此2x-a2x+a 令t=2x,则t>0,于是有(a-5)t+a2+a>0对任意t∈(0,+∞)都成立,则a-5≥0,(a-5)×0+a2+a>0,解得a≥5。故a的取值范围为[5,+∞)。
22.(12分)☉%2@7#*@98%☉已知函数f(x)=ax2-4x+2,函数g(x)=13f(x)。
(1)若函数f(x)在(-∞,2]和[2,+∞)上单调性相反,求f(x)的解析式;
答案：解:由单调性知,函数f(x)=ax2-4x+2为二次函数,其对称轴为x=--42a=2,解得a=1,∴f(x)=x2-4x+2。
(2)若a<0,不等式g(x)≤9在x∈0,12上恒成立,求a的取值范围;
答案：依题意得13f(x)≤9=13-2,即13ax2-4x+2≤13-2在x∈0,12上恒成立,转化为ax2-4x+2≥-2在x∈0,12上恒成立⇔ax2-4x+4≥0在x∈0,12上恒成立,转化为a≥4x-4x2=4x-4x2在x∈0,12上恒成立,令1x=t(t≥2),则转化为a≥4t-4t2在t∈[2,+∞)上恒成立,即a≥(4t-4t2)max,即a≥-8,所以-8≤a<0。
(3)已知a≤1,若函数y=f(x)-log2x8在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a的范围。
答案：∵y=f(x)-log2x8=ax2-4x+5-log2x,设r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x,x∈[1,2],则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图像在区间[1,2]内有唯一交点。
当a=0时,r(x)=-4x+5在[1,2]内为减函数,s(x)=log2x在[1,2]内为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3 ∴函数在区间[1,2]内有唯一的交点。
当a<0时,r(x)图像开口向下,对称轴为x=2a<0,
∴r(x)在[1,2]内为减函数,s(x)=log2x在[1,2]内为增函数,
且r(1)≥s(1),r(2)≤s(2)⇒a+1≥0,4a-3≤1⇒-1≤a≤1,∴-1≤a<0。
当0 ∴r(x)在[1,2]内为减函数,s(x)=log2x在[1,2]内为增函数。
则由r(1)≥s(1),r(2)≤s(2)⇒a+1≥0,4a-3≤1⇒-1≤a≤1,∴0 综上,所求a的取值范围为[-1,1]。