2020届二轮复习导数的应用学案（全国通用）
展开培优点五 导数的应用
1．利用导数判断单调性
例1：求函数的单调区间
【答案】见解析
【解析】第一步：先确定定义域，定义域为，
第二步：求导：
，
第三步：令，即，
第四步：处理恒正恒负的因式，可得，
第五步：求解，列出表格
2．函数的极值
例2：求函数的极值．
【答案】的极大值为，无极小值
【解析】
令解得：，的单调区间为：
的极大值为，无极小值．
3．利用导数判断函数的最值
例3：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．
【答案】
【解析】思路一：函数的定义域为，．
当时，，
当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；
当时，若，，为减函数，若，，为增函数，
所以为极小值，也是最小值；
①当，即时，在上单调递增，所以，
所以（矛盾）；
②当，即时，在上单调递减，，
所以；
③当，即时，在上的最小值为，
此时（矛盾）．
综上．
思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设，，分别为函数的最小值点，求出后再检验即可．
一、单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的导数为，令，得，
∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数．
因此，函数的单调递减区间是．故选A．
2．若是函数的极值点，则（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值0 D．有极小值0
【答案】A
【解析】因为是函数的极值点，所以，，，．当时，；当时，，因此有极大值，故选A．
3．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以对于一切恒成立，得，，
又因为在区间上既有最大值，又有最小值，
所以，可知在上有零点，
也就是极值点，即有解，在上解得，
可得，，故选C．
4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数是上的单调函数，只需恒成立，
即，．故选C．
5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，其定义域为，即，，
则函数为奇函数，故排除C、D，
，则函数在定义域内单调递减，排除B，故选A．
6．函数在内存在极值点，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】若函数在无极值点，则或在恒成立．
①当在恒成立时，时，，得；时，，得；
②当在恒成立时，则且，得；
综上，无极值时或．∴在在存在极值．故选A．
7．已知，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为，函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
只需，即解得或，故选D．
8．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象知和上递减，因此的解集为．
故选A．
9．设函数，则（ ）
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
【答案】D
【解析】的定义域为，在单调递减，单调递增，，
当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上无零点，
当在区间上时，在其上单调，，，故在区间上有零点．
故选D．
10．若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】，，
函数既有极大值又有极小值，
有两个不等的实数根，
，，则或，故选D．
11．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，求导，
的两个极值点分别在区间与内，由的两个根分别在区间与内，，
令，转化为在约束条件为时，求的取值范围，
可行域如下阴影（不包括边界），
目标函数转化为，由图可知，在处取得最大值，在处取得最小值，可行域不包含边界，的取值范围．本题选择A选项．
12．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间
上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，
∵函数在区间上为“凹函数”∴，
∴在上恒成立，即在上恒成立．
∵在上为单调增函数，∴，∴，
故选D．
二、填空题
13．函数在区间上的最大值是___________．
【答案】8
【解析】，已知，
当或时，，在该区间是增函数，
当时，，在该区间是减函数，
故函数在处取极大值，，又，故的最大值是8．
14．若函数在，上都是单调增函数，则实数的取值集合是______．
【答案】
【解析】，，
函数在，上都是单调增函数，
则，即，解得，，即，解得，
则实数的取值集合是，故答案为．
15．函数在内不存在极值点，则的取值范围是___________．
【答案】或
【解析】函数在内不存在极值点在内单调函数或在内恒成立，
由在内恒成立，，即，
同理可得，故答案为或．
16．已知函数，
① 当时，有最大值；
② 对于任意的，函数是上的增函数；
③ 对于任意的，函数一定存在最小值；
④ 对于任意的，都有．
其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【解析】由函数的解析式可得：，当时，，，单调递增，且，
据此可知当时，，单调递增，函数没有最大值，说法①错误；
当时，函数，均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法②正确；
当时，单调递增，且，
且当，据此可知存在，
在区间上，，单调递减；
在区间上，，单调递增；
函数在处取得最小值，说法③正确；
当时，，
由于，故，，说法④错误；
综上可得：正确结论的序号是②③．
三、解答题
17．已知函数
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：恒成立．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，
在上单调递减；（2）见解析．
【解析】（1），
当时，恒成立，所以，在上单调递增；
当时，令，得到，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证法一：由（1）可知，当时，，
特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），
因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，
设 ，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以，当时，，即在上恒成立．
因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立．
证法二：记函数，则，
可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，
且，则，即（*），
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，结合（*）式，知，
所以，
则，即，所以有恒成立．
18．已知函数，其导函数为．
（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．
【答案】（1）或；（2）不存在，见解析．
【解析】（1）当时，，，，，
由题意得，即，
令，则，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，
当时，，当时，，
则或时，在上有且只有一个零点．
（2）由，得，
假设存在，则有，
即，
，
，
，
即，，，
令，则，
两边同时除以，得，即，
令，，
令在上单调递增，且，
对于恒成立，即对于恒成立，
在上单调递增，，
对于恒成立，不成立，
同理，时，也不成立，
不存在实数使得成立．
