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2020届二轮复习算法与平面向量学案（全国通用）
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第3讲 算法与平面向量
算 法
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：选C．ε＝0.01，
x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x<ε成立；
此时输出s＝2－.故选C．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
解析：选A．对于选项A，A＝.当k＝1时，A＝，当k＝2时，A＝，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A．
3．(2019·唐山模拟)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A．求1＋＋＋＋…＋的值
B．求1＋＋＋＋…＋的值
C．求1－＋－＋…－的值
D．求1－＋－＋…＋的值
解析：选C．执行程序框图，S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21>19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S＝1－＋－＋…－的值，故选C．
4．(2019·开封模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为( )
A．－1 B．0
C．－1或1 D．－1或0
解析：选D．由得x＝－1；由得x＝0.故选D．
5．(2019·长春市质量监测(一))我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升)．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15(单位：升)，则输入的k的值为( )
A．45 B．60
C．75 D．100
解析：选B．依题意知，n＝1，S＝k，满足条件n<4，执行循环体，n＝2，S＝k－＝；满足条件n<4，执行循环体，n＝3，S＝－＝；满足条件n<4，执行循环体，n＝4，S＝－＝，此时不满足条件n<4，退出循环，输出的S＝.由题意可得＝15，解得k＝60，故选B．
6．(2019·郑州市第二次质量预测)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f(x)＝2 019x2 018＋2 018x2 017＋…＋2x＋1，程序框图设计的是求f(x0)的值，在M处应填的执行语句是( )
A．n＝2 018－i B．n＝2 019－i
C．n＝i＋1 D．n＝i＋2
解析：选B．根据程序框图的功能，若在M处填n＝2 019－i，执行程序框图，i＝1，n＝2 019，S＝2 019，i＝1≤2 018成立，S＝2 019x0，n＝2 019－1＝2 018，S＝2 019x0＋2 018，i＝2≤2 018成立，S＝(2 019x0＋2 018)x0＝2 019x＋2 018x0，n＝2 019－2＝2 017，S＝2 019x＋2 018x0＋2 017，i＝3≤2 018成立，…，由此可判断，在M处应填的执行语句是n＝2 019－i，故选B．
两类程序框图问题的解决方法
(1)求解程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．
[提醒] 解决程序框图问题应注意3点
(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体．
(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化．
(3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
平面向量的线性运算
[考法全练]
1．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
解析：选A．通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A．
优解一：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
2. (一题多解)(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．通解：因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C．
优解：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋.因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C．
3．已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，
||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析：选B．由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2，故选B．
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若a∥(a＋b)，则实数m的值为________．
解析：a＋b＝(1＋m，1)，因为a∥(a＋b)，所以2(1＋m)＝1，解得m＝－.
答案：－
5．(2019·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
解析：由题图可设＝x(x>0)，则＝x(＋)＝x(＋)＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
答案：
平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
[提醒] 向量线性运算问题的2个关注点
(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)注意结论的使用：O为直线AB外一点，若点P在直线AB上，则有＝α＋β(α＋β＝1)；若点P满足＝，则有＝＋.
平面向量的数量积
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C．因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.
故选C．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． `D．
解析：选B．由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2.
因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝.
因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
故选B．
3．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝( )
A． B．
C．1 D．2
解析：选C．法一：因为＝2，所以－＝2(－)，所以＝＋，则·＝·＝·＋2＝×3×2×＋×32＝1，故选C．
法二：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，因为＝2，所以＝＝(－4，)＝，则D，所以＝(3，0)，＝，则·＝3×＋0＝1，故选C．
4．(一题多解)(2019·长春市质量监测(二))如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则||＝( )
A．3 B．5
C． D．
解析：选D．法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(2，1)．设||＝x，则F(x，2)，故＝(x，2)，＝(2，1)．因为·＝||2，所以(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5，解得x＝，所以||＝＝，故选D．
法二：连接EF，因为·＝||||cos∠EAF＝||2，所以||cos∠EAF＝||，所以EF⊥AE.因为E是BC的中点，所以BE＝CE＝1.设DF＝x，则CF＝2－x.在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝，所以AF＝＝.故选D．
5．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
解析：由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝.
答案：
6．已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．
解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
答案：2
平面向量数量积问题的难点突破
(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础．
(2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标运算．
平面向量在几何中的应用
[考法全练]
1．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为( )
A．－ B．0
C．4 D．－1
解析：选A．通解：因为BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中线BD＝2，且∠CBD＝45°.因为点P在边AC的中线BD上，所以设＝λ(0≤λ≤1)，如图所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ2·2＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，当λ＝时，·取得最小值－，故选A．
优解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)，(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，
当t＝时，·取得最小值－，故选A．
2．(一题多解)(2019·武汉市调研测试)在△ABC中，·＝0，||＝4，||＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则·＝( )
A． B．
C．－ D．7
解析：选A．法一：·＝(－)·＝·－·＝(－)·－·＝·－·－·＝－×5×1＋4×5×＝－＋16＝.故选A．
法二：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，因为||＝5，所以C(0，3)，D，易知直线BC的斜率为－，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，所以直线DE的方程为y－＝(x－2)，令x＝0得y＝－，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为＝(4，－3)，所以·＝·(4，－3)＝，故选A．
3．(一题多解)(2019·高考江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
解析：法一：如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点，又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝(＋)·(－)＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，所以＝.
法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.
⇒O.
因为·＝6·，
所以(3，0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
所以a2＋b2＝3，所以AC＝，所以＝＝.
答案：
用向量解决平面几何问题的3个步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[提醒] 关注2个常用结论的应用
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
一、选择题
1．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解析：选A．因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故选A．
2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝( )
A．－ B．
C．1或－ D．1或
解析：选A．因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A．
3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B．
4．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．
解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A．
5．(2019·湖南省五市十校联考)执行如图所示的程序框图，其中t∈Z.若输入的n＝5，则输出的结果为( )
A．48 B．58
C．68 D．78
解析：选B．输入的n＝5，则a＝28＝7×4；n＝7，a＝38＝7×5＋3；n＝9，a＝48＝7×6＋6；n＝11，a＝58＝7×8＋2.退出循环，输出的结果为58.故选B．
6．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为( )
A．1 B．
C． D．
解析：选B．由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a|cos〈a，a－b〉＝＝，故选B．
7．(2019·湖南省湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为( )
A．i≤4 B．i≤5
C．i≤6 D．i≤7
解析：选B．初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；第二次循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S＝31，i＝5，第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出S＝63.结合选项知判断框中应填入的条件为i≤5，故选B．
8．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝( )
A．8 B．12
C．16 D．20
解析：选D．法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D．
法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D．
9．(2019·蓉城名校第一次联考)已知n等于执行如图所示的程序框图输出的结果S，则的展开式中常数项是( )
A．10 B．20
C．35 D．56
解析：选B．执行程序框图，i＝0，S＝0，i＝0＋1＝1，满足i<4；S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2，满足i<4；S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3，满足i<4，S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4，不满足i<4退出循环，输出的S＝6.所以n＝6，二项式的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r，令6－2r＝0⇒r＝3，所以二项式的展开式的常数项为T4＝C＝20.故选B．
10．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为( )
A．12 B．15
C．17 D．16
解析：选B．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B．
11．(2019·济南模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为(sin α)sin α，(sin α)cos α，(cos α)sin α，其中α∈，则输出的x为( )
A．(cos α)cos α B．(sin α)sin α
C．(sin α)cos α D．(cos α)sin α
解析：选C．该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者．当α∈时，0
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
解析：选A．法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A．
法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A．
二、填空题
13．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解析：2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
答案：
14．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝(a＋b)，|d－c|＝，则|d|的取值范围是________．
解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2]．
答案：[0，2]
15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是________．
解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42＜m，退出循环，所以30＜m≤42.
答案：(30，42]
16．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.
答案：
算 法
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：选C．ε＝0.01，
x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x<ε成立；
此时输出s＝2－.故选C．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
解析：选A．对于选项A，A＝.当k＝1时，A＝，当k＝2时，A＝，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A．
3．(2019·唐山模拟)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A．求1＋＋＋＋…＋的值
B．求1＋＋＋＋…＋的值
C．求1－＋－＋…－的值
D．求1－＋－＋…＋的值
解析：选C．执行程序框图，S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21>19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S＝1－＋－＋…－的值，故选C．
4．(2019·开封模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为( )
A．－1 B．0
C．－1或1 D．－1或0
解析：选D．由得x＝－1；由得x＝0.故选D．
5．(2019·长春市质量监测(一))我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升)．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15(单位：升)，则输入的k的值为( )
A．45 B．60
C．75 D．100
解析：选B．依题意知，n＝1，S＝k，满足条件n<4，执行循环体，n＝2，S＝k－＝；满足条件n<4，执行循环体，n＝3，S＝－＝；满足条件n<4，执行循环体，n＝4，S＝－＝，此时不满足条件n<4，退出循环，输出的S＝.由题意可得＝15，解得k＝60，故选B．
6．(2019·郑州市第二次质量预测)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f(x)＝2 019x2 018＋2 018x2 017＋…＋2x＋1，程序框图设计的是求f(x0)的值，在M处应填的执行语句是( )
A．n＝2 018－i B．n＝2 019－i
C．n＝i＋1 D．n＝i＋2
解析：选B．根据程序框图的功能，若在M处填n＝2 019－i，执行程序框图，i＝1，n＝2 019，S＝2 019，i＝1≤2 018成立，S＝2 019x0，n＝2 019－1＝2 018，S＝2 019x0＋2 018，i＝2≤2 018成立，S＝(2 019x0＋2 018)x0＝2 019x＋2 018x0，n＝2 019－2＝2 017，S＝2 019x＋2 018x0＋2 017，i＝3≤2 018成立，…，由此可判断，在M处应填的执行语句是n＝2 019－i，故选B．
两类程序框图问题的解决方法
(1)求解程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．
[提醒] 解决程序框图问题应注意3点
(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体．
(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化．
(3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
平面向量的线性运算
[考法全练]
1．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
解析：选A．通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A．
优解一：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
2. (一题多解)(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选C．通解：因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C．
优解：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋.因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C．
3．已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，
||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析：选B．由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2，故选B．
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若a∥(a＋b)，则实数m的值为________．
解析：a＋b＝(1＋m，1)，因为a∥(a＋b)，所以2(1＋m)＝1，解得m＝－.
答案：－
5．(2019·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
解析：由题图可设＝x(x>0)，则＝x(＋)＝x(＋)＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
答案：
平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
[提醒] 向量线性运算问题的2个关注点
(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)注意结论的使用：O为直线AB外一点，若点P在直线AB上，则有＝α＋β(α＋β＝1)；若点P满足＝，则有＝＋.
平面向量的数量积
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C．因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.
故选C．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． `D．
解析：选B．由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2.
因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝.
因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
故选B．
3．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝( )
A． B．
C．1 D．2
解析：选C．法一：因为＝2，所以－＝2(－)，所以＝＋，则·＝·＝·＋2＝×3×2×＋×32＝1，故选C．
法二：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，因为＝2，所以＝＝(－4，)＝，则D，所以＝(3，0)，＝，则·＝3×＋0＝1，故选C．
4．(一题多解)(2019·长春市质量监测(二))如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则||＝( )
A．3 B．5
C． D．
解析：选D．法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(2，1)．设||＝x，则F(x，2)，故＝(x，2)，＝(2，1)．因为·＝||2，所以(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5，解得x＝，所以||＝＝，故选D．
法二：连接EF，因为·＝||||cos∠EAF＝||2，所以||cos∠EAF＝||，所以EF⊥AE.因为E是BC的中点，所以BE＝CE＝1.设DF＝x，则CF＝2－x.在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝，所以AF＝＝.故选D．
5．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
解析：由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝.
答案：
6．已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．
解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
答案：2
平面向量数量积问题的难点突破
(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础．
(2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标运算．
平面向量在几何中的应用
[考法全练]
1．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为( )
A．－ B．0
C．4 D．－1
解析：选A．通解：因为BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中线BD＝2，且∠CBD＝45°.因为点P在边AC的中线BD上，所以设＝λ(0≤λ≤1)，如图所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ2·2＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，当λ＝时，·取得最小值－，故选A．
优解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)，(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，
当t＝时，·取得最小值－，故选A．
2．(一题多解)(2019·武汉市调研测试)在△ABC中，·＝0，||＝4，||＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则·＝( )
A． B．
C．－ D．7
解析：选A．法一：·＝(－)·＝·－·＝(－)·－·＝·－·－·＝－×5×1＋4×5×＝－＋16＝.故选A．
法二：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，因为||＝5，所以C(0，3)，D，易知直线BC的斜率为－，因为直线DE是线段BC的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，所以直线DE的方程为y－＝(x－2)，令x＝0得y＝－，所以直线DE与y轴的交点坐标为，不妨令E，因为＝(4，－3)，所以·＝·(4，－3)＝，故选A．
3．(一题多解)(2019·高考江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
解析：法一：如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点，又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝(＋)·(－)＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，所以＝.
法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.
⇒O.
因为·＝6·，
所以(3，0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
所以a2＋b2＝3，所以AC＝，所以＝＝.
答案：
用向量解决平面几何问题的3个步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[提醒] 关注2个常用结论的应用
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
一、选择题
1．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解析：选A．因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故选A．
2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝( )
A．－ B．
C．1或－ D．1或
解析：选A．因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A．
3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B．
4．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．
解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A．
5．(2019·湖南省五市十校联考)执行如图所示的程序框图，其中t∈Z.若输入的n＝5，则输出的结果为( )
A．48 B．58
C．68 D．78
解析：选B．输入的n＝5，则a＝28＝7×4；n＝7，a＝38＝7×5＋3；n＝9，a＝48＝7×6＋6；n＝11，a＝58＝7×8＋2.退出循环，输出的结果为58.故选B．
6．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为( )
A．1 B．
C． D．
解析：选B．由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a|cos〈a，a－b〉＝＝，故选B．
7．(2019·湖南省湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为( )
A．i≤4 B．i≤5
C．i≤6 D．i≤7
解析：选B．初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；第二次循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S＝31，i＝5，第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出S＝63.结合选项知判断框中应填入的条件为i≤5，故选B．
8．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝( )
A．8 B．12
C．16 D．20
解析：选D．法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D．
法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D．
9．(2019·蓉城名校第一次联考)已知n等于执行如图所示的程序框图输出的结果S，则的展开式中常数项是( )
A．10 B．20
C．35 D．56
解析：选B．执行程序框图，i＝0，S＝0，i＝0＋1＝1，满足i<4；S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2，满足i<4；S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3，满足i<4，S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4，不满足i<4退出循环，输出的S＝6.所以n＝6，二项式的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r，令6－2r＝0⇒r＝3，所以二项式的展开式的常数项为T4＝C＝20.故选B．
10．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为( )
A．12 B．15
C．17 D．16
解析：选B．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B．
11．(2019·济南模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为(sin α)sin α，(sin α)cos α，(cos α)sin α，其中α∈，则输出的x为( )
A．(cos α)cos α B．(sin α)sin α
C．(sin α)cos α D．(cos α)sin α
解析：选C．该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者．当α∈时，0
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
解析：选A．法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A．
法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A．
二、填空题
13．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解析：2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
答案：
14．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝(a＋b)，|d－c|＝，则|d|的取值范围是________．
解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2]．
答案：[0，2]
15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是________．
解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42＜m，退出循环，所以30＜m≤42.
答案：(30，42]
16．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.
答案：
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