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2020届二轮复习圆锥曲线离心率综合问题课时作业(全国通用)

试卷
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第三十圆锥曲线的离率问题

A

一、选择题

1(2017年高考全国3卷理)已知椭圆C:,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为

A.    B.    C.    D.

【答案】A

【解析】以线段为直径的圆是,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为,即,即,故选A.

2.已知双曲线,抛物线有公共的焦点在第一象限的公共点为,直线的倾斜角为,且,则关于双曲线的离心率的说法正确的是()

A. 仅有两个不同的离心率    B. 仅有两个不同的离心率    C. 仅有一个离心率    D. 仅有一个离心率

【答案】C

【解析】的焦点为双曲线交点为横坐标为

可化为

只有一个根在内,故选C.

3已知是双曲线的左右焦点,过作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点,交另一条渐近线于点,且,则该双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】到渐近线的距离为即有

化简可得,即有即有故选A.

4是双曲线的右顶点,是右焦点,若抛物线的准线上存在一点,使,则双曲线的离心率的范围是(   

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF=,所以AF,圆心,半径圆上任取一点P,,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.A.

5中心为原点的椭圆焦点在轴上,为该椭圆右顶点,为椭圆上一点,,则该椭圆的离心率的取值范围是 (   

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设椭圆标准方程为,设P(x,y),点P在以OA为直径的圆上。圆的方程:,化简为可得。则所双可得,选B.

6设点分别为双曲线:的左、右焦点,若在双曲线左支上存在一点,满足,点到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(    

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意知,可知是等腰三角形,在直线的投影是中点,可得,由双曲线定义可得,则,又,知,可得,解得.故本题答案选

7如图,两个椭圆的方程分别为),从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线,若的斜率之积恒为,则椭圆的离心率为(  

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意知,外层椭圆方程为,设切线的方程为代入内层椭圆消去: 化简得同理得所以A.

8已知双曲线C:的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为AB,虚轴的上、下端点分别为CD,若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E,且,则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】根据双曲线的性质可以得到,,双曲线的渐近线方程,直线方程:,联立得到,即点,所以是线段的中点,又因为,所以,而,故,因为,所以,因为,即,所以,故选C

9已知是双曲线上的三个点,经过原点,经过右焦点,若,则该双曲线的离心率是(  

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】做出如图因为经过原点,经过右焦点,可得为矩形,设AF=a,则根据双曲线定义可知,在

10已知分别为双曲线的右焦点和右顶点,过轴的垂线在第一象限与双曲线交于点的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点,若,则双曲线的离心率为(     

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】QQRx轴与R,如图,由题意设F(c,0),则由OA=aAF=c-a,将x=c代入双曲线得P,则直线AP的斜率为,所以直线AP的方程为,与渐近线联立,得x=,所以AR=,根据相似三角形及AF=)AR,即代入,得

11已知双曲线),过其左焦点轴的垂线,交双曲线于两点,若双曲线的右顶点在以为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是(  

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】是双曲线通径,,由题意,即,即,解得舍去),故选D.

12已知点分别是双曲线的左右两焦点,过点的直线与双曲线的左右两支分别交两点,若是以为顶角的等腰三角形,其中,则双曲线离心率的取值范围为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

 因为为等腰三角形,设

为双曲线上一点,

为双曲线上一点,

中,由余弦定理得,

所以,所以

又因为,所以,所以,故选A.

二、填空题

13分别为椭圆与双曲线的公共焦点,它们在第一象限内交于点,若椭圆的离心率,则双曲线的离心率的取值范围为__________

【答案】

【解析】MF1=s,MF2=t,由椭圆的定义可得s+t=2a1

由双曲线的定义可得st=2a2

解得s=a1+a2,t=a1a2

由∠F1MF2=90°,运用勾股定理,可得s2+t2=4c2

即为

由离心率的公式可得

,可得

据此有:

a2>b1,可得

则双曲线的离心率的取值范围为.

14已知双曲线的右焦点为,点在双曲线的左支上,若直线与圆相切于点,则双曲线的离心率值为__________

【答案】

【解析】设双曲线的左焦点为,由圆心可知,,又,可知,且由双曲线的定义得中,.

 

15过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,两点,与双曲线的渐近线交于,两点,若,则双曲线离心率的取值范围为__________

【答案】

【解析】易知,因为渐近线,所以 ,由化简得,即,所以,从而

解得.

B组

一、选择题

1已知椭圆的两个焦点是是直线与椭圆的一个公共点,当取得最小值时椭圆的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】解:联立直线与椭圆的方程整理可得:

满足题意时:

时,椭圆的离心率取得最小值 .

本题选择D选项.

2过双曲线)的左焦点作圆的切线,设切点为,延长交双曲线,若点为线段的中点,则双曲线的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】取双曲线右焦点,连接,由题意可知,为直角三角形,且由勾股定理可知,,选A.

3已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若,则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由图知是等边三角形,设中点是,圆的半径为,则,因为,所以,即,所以,即,从而得,故选B

4在平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点,则的离心率为(  

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】焦点为,由题意,即,所以,又,而,即,所以,故选C

5已知双曲线的左右顶点分别为是双曲线上异于的任意一点,直线分别与轴交于两点,为坐标原点,若依次成等比数列,则双曲线的离心率的取值范围是(   

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】,因为,所以,直线方程为,令得,,即,同理得由于成等比数列,则,即是双曲线上的点,则,所以,即,所以,而,从而,所以,故选A

6已知点是双曲线的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是(  

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】如图,根据双曲线的对称性可知,若是钝角三角形,显然为钝角,因此,由于过左焦点且垂直于轴,所以,则,所以化简整理得:,所以,即,两边同时除以解得(舍),故选择D.

7双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为,点为双曲线左支上一点,若周长的最小值为,则双曲线的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设双曲线的右焦点为的周长为 , 而 ,所以三角形周长的最小值是,解得: ,解得: ,故选B.

8已知椭圆和双曲线焦点相同,且离心率互为倒数,是它们的公共焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点,若,则椭圆的离心率为(  

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】在椭圆

,即

在双曲线

,则

所以,由题知,则椭圆离心率,选A.

9已知椭圆的右焦点为为坐标原点,轴上一点,点是直线与椭圆的一个交点,且,则椭圆的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】如图:

因为,所以,所以,由椭圆定义,可得,选D.

10设椭圆与函数的图象相交于两点,点为椭圆上异于的动点,若直线的斜率取值范围是,则直线的斜率取值范围是( 

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】,因为椭圆和函数的图象都关于原点对称,则从而有

,得,即有

,因为,则有,选D.

11已知为双曲线的左、右焦点,点上,,且,则双曲线的离心率 

A.     B.     C. 2    D. 3

【答案】A

【解析】由双曲线定义及,得

由余弦定理得,得,选A.

 

二、填空题

12过双曲线)的左焦点向圆作一条切线,若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限,且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为,则该双曲线的离心率为__________

【答案】

【解析】该切线与双曲线的两条渐近线交点,分别联立切线与两条渐近线:,解得,,解得,根据弦长公式得:,两边平方得:,即,解得:,又因为切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限,所以,故填.

13已知椭圆的左、右焦点分别为,过且与轴垂直的直线交椭圆于两点,直线与椭圆的另一个交点为,若,则椭圆的离心率为__________

【答案】 

【解析】设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得,可设,由,可得,即有,即,可得,代入椭圆方程可得,由,即有,解得.

14椭圆的左、右焦点分别为,上、下顶点分别为,右顶点为,直线交于点.若,则的离心率等于__________

【答案】

【解析】如图:设,由,得根据相似三角形得:求得,又直线方程为:,将点D代入得:

 

 

 

C组

一、选择题

1已知中,,以为焦点的双曲线)经过点,且与边交于点,若,则该双曲线的离心率为(  

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】 ,根据双曲线的定义的定义可得 ,又知 在直角三角形 中,根据勾股定理可得 可得 在直角三角形 中,根据勾股定理可得,故选D.

2已知分别为双曲线 ()的左、右顶点,不同两点在双曲线上,且关于轴对称,设直线的斜率分别为,则当取最大值时,双曲线的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】解:由题意可知,满足题意时 ,结合对称性可知:

设点 的坐标为 ,则:

在双曲线上,则:

据此有: .

本题选择A选项.

3已知双曲线)的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,若,则双曲线的离心率为(  

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意,得,则,由正弦定理,得,解得,即该双曲线的离心率为;故选C.

4已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点,分别交轴于两点,若的周长 12,则取得最大值时该双曲线的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】解:由题意,ABF2的周长为24

|AF2|+|BF2|+|AB|=24

|AF2|+|BF2|−|AB|=4a,|AB|=

=24−4a,b2=a(6−a)

y=a2b2=a3(6−a),y′=2a2(9−2a)

0<a<4.5,y′>0,a>4.5,y′<0

a=4.5,y=a2b2取得最大值,此时ab取得最大值,

故: .

本题选择D选项.

5若直线和直线相交于一点,将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为,则角就叫做的角,,其中分别是的斜率,已知双曲线的右焦点为是右顶点,是直线上的一点,是双曲线的离心率,,则的最大值为(    

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】解:设的斜率为,由题意可知:

不妨设,当时由对称性可知结果一致,

则:

取得最大值时满足题意,

很明显,则:

当且仅当时等号成立,

此时: .

本题选择C选项.

6已知双曲线)的一条渐近线为,圆交于两点,若是等腰直角三角形,且(其中为坐标原点),则双曲线的离心率为(   

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】双曲线渐近线为,圆的圆心为,半径,由于,由勾股定理得,故,在中,由余弦定理得,解得.根据圆心到直线的距离为,有,结合解得,故离心率为.

7已知为双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为与双曲线相交于点,且,则该双曲线的离心率为(   

A.     B. 2    C.     D.

【答案】A

【解析】依题意设,则根据双曲线的定义,有,分别在两个直角三角形中利用勾股定理有,解得,且,故离心率为.

8已知双曲线的左、右焦点分别为,焦距为,抛物线的准线交双曲线左支于两点,且,其中为原点,则双曲线的离心率为(   

A. 2    B.     C.     D.

【答案】C

【解析】如下图:

,,代入双曲线方程,可得,解得,选C.

对于求离心率的题,重要的是根据几何关系,或代数关系建立关于的等式,再进一步求出离心率。

9已知为双曲线的左焦点,点为双曲线虚轴的一个端点,过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为,若,则此双曲线的离心率是(   

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由双曲线,可设,易知左焦点,过的直线方程斜率为,所以直线方程为,双曲线的一条渐近线方程为,联立这两式可得,根据,代入得,整理得

10已知椭圆的左右焦点分别为,过的直线与椭圆交于AB两点,若是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为(  

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】 如图所示,设,则

 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形,

所以

 联立解得

 解得,故选A.

11P为双曲线C上且在第一象限内的点,F1F2分别是双曲的左、右焦点,PF2F1F2x轴上有一点AAPPF1EAP的中点,线段EF1PF2交于点M.若,则双曲线的离心率是

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题设条件知

在Rt△PF1A中,由射影定理得,所以

所以.

所以EF1的直线方程是,当x = c

,又,所以,即,同除以a4,得

所以

12已知点是抛物线准线上的一点,点的焦点,点上且满足,当取最小值时,点恰好在以原点为中心,为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】 由点在抛物线的准线上,所以,所以抛物线的方程为

 所以抛物线的焦点,准线方程为

过点作准线的垂线,垂直为

由抛物线的定义可知,

因为,则,当直线与抛物线相切时,此时取得最小值,

设直线的斜率为,则直线的方程为

联立方程组 ,整理,由,解得

此时直线的方程为

与抛物线方程联立,解得点

此时双曲线的焦点坐标为,且过点

根据双曲线的定义可知

所以,所以双曲线的离心率为 ,故选A。

 

二、填空题

13已知椭圆C:的左右焦点分别为,P在椭圆C上,线段与圆:相切于点Q,若Q是线段的中点,eC的离心率,则的最小值是______________

【答案】

【解析】 连接,

 为中位线,可得 ,,

 ,可得

由椭圆的定义可得,可得

,可得

即有,即为

化为,即

,即有

当且仅当时,即时等号成立,所以的最小值为.

14已知椭圆的右焦点为,上、下顶点分别为,直线于另一点,若直线轴于点,则的离心率是__________

【答案】

【解析】由题意,得,则直线的方程分别为,联立两直线方程,得,则,解得,则该椭圆的离心率为.

15已知点抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为__________

【答案】

【解析】作准线的垂线,垂足为

则由抛物线的定义可得

的倾斜角为,则

取得最大值时, 最小,此时直线与抛物线相切,

设直线的方程为,代入s可得双曲线的实轴长为双曲线的离心率为

 

 

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