2019届二轮复习你能把圆锥曲线拍多扁--离心率问题学案（全国通用）

考纲要求:

1．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.．

基础知识回顾:

1、椭圆的标准方程和几何性质

 学  ]

椭圆离心率：.，越大，椭圆越扁平一些，越小，椭圆越圆些.

2．双曲线的标准方程和几何性质

双曲线离心率：. ，越大，双曲线开口越开阔一些，越小，双曲线开口越窄.

应用举例:

类型一、求椭圆、双曲线的离心率（范围）

【例1】【河北省衡水金卷2018年高三调研卷】已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【 方法点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据三角形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．

【例2】【河北省石家庄2018届高三教学质量检测（二）】倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

设直线的参数方程为,代入椭圆方程并化简得,所以

,由于,即,代入上述韦达定理,化简得,即.故选.

【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程的设法,考查直线参数方程参数的几何意义.由于本题直线过焦点,而且知道它的倾斜角为,在这里可以考虑设直线方程的点斜式,也可以考虑设直线的参数方程,考虑到,即,所以采用直线参数方程,利用参数的几何意义,可以快速建立方程,求出结果.

【例3】【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试】如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

∴4a2b2=（b2﹣3a2）c2，

∴4a2（c2﹣a2）=（c2﹣4a2）c2，

∴e4﹣8e2+4=0，

∵e＞1，∴e2=4+2，

∴e=+1．

故选：C．

【点睛】

求离心率的常用方法有以下两种：

（1）求得的值，直接代入公式求解；

（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．

【例4】【湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测试】已知是双曲线的左右焦点，若在右支上存在点使得点到直线的距离为，则离心率的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

设 ，所以

选B.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

类型二、已知离心率的圆锥曲线问题

【例5】【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】已知双曲线的离心率为，则的值为（    ）

A． 1    B． -2    C． 1或-2    D． -1

【答案】C

【解析】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果.

详解：可用排除法，当时，化为，

离心率为，符合题意；

当时，化为，

离心率为，符合题意,

的值为，故选C.

点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.

【例6】【江西省抚州市临川区第一中学2018届高三全真模拟（最后一模）】已知双曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于、，，则双曲线的实轴长（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

点睛: 抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为.

【例7】【江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考】已知焦点在轴上的椭圆方程为，随着的增大该椭圆的形状（       ）

A． 越接近于圆          B． 越扁

C． 先接近于圆后越扁    D． 先越扁后接近于圆

【答案】A

【例8】【山东省日照市2017届高三第三次模拟考试】在等腰梯形 中， 且

，其中  ，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为

A．     B．     C． 2    D．

【答案】B

【解析】

在等腰梯形ABCD中， ,

由双曲线的定义可得,

由椭圆的定义可得,

则，

令在上单调递减，所以

，故选B.

方法、规律归纳:

1．求离心率的值

（1）直接求出，求解：已知标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式e＝求解；

（2）变用公式，整体求：如椭圆离心率e与a，b的关系：e2＝⇒＝；

双曲线的离心率e＝＝＝，e＝＝ ；

2．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．

实战演练:

1．【山东省济南第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】设椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

在直角三角形PF1F2中，|F1F2|=2c，再根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，得a与c的关系，进而根据离心率公式求解.

【详解】

由题意可知，在直角三角形PF1F2中，|F1F2|=2c，，

∴|PF1|= ，|PF2|=，

又|PF1|+|PF2|=2a，∴

∴C的离心率e=

【点睛】

本题考查了椭圆的定义及椭圆的离心率，求得a，c的关系是关键，考查理解与应用能力.

2．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.

【点睛】

本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.

3．【河南省信阳市信阳高级中学2018届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟测试】已知点P（x0，y0）（x0≠）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是

A． （0，）    B． （0，1）    C． （，1）    D． （0，）

【答案】C

【解析】

【分析】

因为，所以点P在以OM为直径的圆上，所以由参数写出圆的方程，与椭圆方程联立，得到二次方程，使得方程在区间上有解，即可得到关于参数的不等关系，由离心率公式便可求得离心率取值范围.

所以：，结合，解得：，

根据离心率公式可得：.

故选C.

【点睛】

本题考查离心率的求法，垂直一般可联系向量乘积为0或直径所对圆周角为直角两个知识点，求离心率有两种方式，一种是求出a、c，解出离心率，另一种是求出参数之间的关系，求出离心率.

4．【广东省东莞市2018年全国卷考前冲刺演练精品卷】已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆几何性质得短轴端点（设为M）对长轴张角最大，即得,再根据,解得离心率的最小值.

【详解】

设M为椭圆短轴一端点，则由题意得,即,

因为，所以，

,

选C.

【点睛】

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

5．【黑龙江省大庆中学2018届高三考前仿真模拟考试】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|•|PF2|=a2，可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得b=c，计算即可得到椭圆的离心率．

即为a=c，e==．

故选：C．

【点睛】

求解离心率的常用方法

1.利用公式，直接求.

2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．

3.通过取特殊位置或特殊点求解．

4变用公式,整体求出：以椭圆为例,如利用,.

6．【安徽省定远重点中学2018届高三5月高考模拟考试】在等腰梯形中， ， ， ， ，以、为顶点的椭圆经过、两点，则此椭圆的离心率为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，建立直角坐标系，设出的坐标，计算可得的坐标，结合椭圆的性质分析可得 的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．

∵椭圆是以为顶点，且经过两点

∴，即； ，即

∴

故选A

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，关键是建立直角坐标系．

7．【黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试】在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

垂直于轴且，因为，故，所以，从该式可求出离心率的取值范围．

【点睛】

求离心率的取值范围，关键在于构建关于的不等关系，它来自圆锥曲线上点的坐标的范围或某些几何量的范围或点、直线与椭圆的位置关系等．

8．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).

9．【河北省衡水金卷2018年高三调研卷】所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（    ）

A．     B．     C． 2    D． 3

【答案】C

【解析】

设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上， ，故选C.

10．【湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考】曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y,由k=1得到，即.

由k=3得到，即，再求离心率的范围.

【点睛】

(1)本题主要考查双曲线的离心率的范围，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求离心率常用的方法用公式法和方程法.

11．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（    ）

A． 2或    B． 2或    C． 或    D． 或

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．

【点睛】

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．

12．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，可求出．得到.

【详解】

抛物线的焦点为（0，2），
∴椭圆的焦点在y轴上，
∴c=2，
由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，

故.

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．

13．【广东省2019届高三六校第一次联考】直线的倾斜角为，直线与双曲线 的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得

，结合点在双曲线上，即可求出离心率.

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.

圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：

1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.

根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.

2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.

   根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.

14．【广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第一次联考】双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).

15．【陕西省黄陵中学高新部2018届高三6月模拟考】双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ）

A．     B．     C．     D． 或

【答案】B

【解析】

【分析】

先求渐近线，再根据垂直关系得a,b关系，最后得离心率.

【点睛】

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.