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    2020届二轮复习函数与方程综合问题课时作业(全国通用)
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    2020届二轮复习函数与方程综合问题课时作业(全国通用)

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     讲函数与方程综合

    A

    一、选择题

    12018全国卷Ⅰ已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是      

    A       B            C       D

    【答案】C

    【解析】函数存在 2个零点,即关于的方程2 个不同的实根,

    函数的图象与直线2个交点,作出直线与函数的图象,

    如图所示,

    由图可知,,解得,故选C

    2.已知实数满足,则函数的零点所在的区间是(   

             A.         B.          C.         D.

    【解析】从而由零点存在定理可知在区间上存在零点.故选B.

    3.已知函数.若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是

    A                 B              C         D

    【答案】B

    【解析】如图所示,方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率,且小于直线的斜率时符合题意,故选

     

    4.设函数,则函数(   

    A.在区间内均有零点           B.在区间内均无零点

    C.在区间内有零点,在内无零点   D.在区间内无零点,在(内有零点

    【解析】的定义域为,故上递减,又

       ,故选D.

    5. 已知函数满足:,且偶函数,时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是(   

    A.        B.       C.       D.

    【解析】由的周期为,又偶函数,且时,,故可示意上图象,有4个零点转化为函数上有4个交点,由图象知,故选C.

    6.已知方程有两个实根,则实数的取值范围为   

      A.          B.           C.       D.[1, ∞)

    【解析】设,原题转化为函数上有两个零点(可以相同),则

            解得,故选B.

    7.2016高考新课标2卷理)已知函数满足,若函数图像的交点为   

    A. 0            B.                C.                D.

    【解析】由于,不妨设,与函数的交点为,故,故选B.(客观上函数有共同的对称中心,所以它们的所有交点

    关于对称

    二、填空题

    82018全国卷Ⅲ函数的零点个数为________

    【答案】3

    【解析】由题意知,,所以,所以,当时,;当时,;当时,,均满足题意,所以函数的零点个数为3

     

    9(2017年高考全国3卷理)设函数则满足的x的取值范围是_________。

    【答案】

    【解析】由题意:  ,函数 在区间 三段区间内均单调递增,且:

    据此x的取值范围是 .

    10若函数f(x)= -x-m无零点,则实数m的取值范围是                 .

    【解析】原题转化为函数所表示的上半圆与斜率为1的平行线系没有公共点的问题,

          画图,可得.

    11设常数使方程在闭区间上恰有三个解,则        .

    【解析】原方程可变为,作出函数的图象,再作直线,从图象可知

            函数上递增,在上递减,在上递增,只有当时,才有

            三个交点,,所以.

    12.2016高考山东卷理)已知函数 其中,若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是________________.

    【解析】画出函数图象如下图所示:

    由图所示,要有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即,解得.

    13.2018高考上海某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为

    (单位:分钟),

    而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

    (1)在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

    (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.

     (2)设该地上班族总人数为,则自驾人数为,乘公交人数为

    因此人均通勤时间,整理得:

    则当,即时,单调递减;

    时,单调递增.

    实际意义:当有的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短.

    适当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容易导致交通拥堵,使得整体效率下降.

     

     

     

     

    B

    一、选择题

    1. 设函数的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是(  )

      A         B 

      C         D

    【解析】依题意,示意图象,可知,且异号,而,故选B.

    2.已知函数,则关于的零点叙述正确的是(     )

      A.,函数有两个零点    B.函数必有一个零点是正数

      C.,函数有两个零点    D.,函数只有一个零点

    【解析】函数的零点可转化为函数图象的交点情况研究,选B.

    3.已知函数若对于任意实数的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是(  )

    A.            B.             C.               D.

    【解析】依题意,不符;时,则对于,当时,显然,不符;时,则对于,由,需对称轴:

    解得,故选B.

    4.函数的零点个数为 (  )

    A. 9                  B. 10                  C. 11                 D. 12 

    【解析】示意函数的图象可确定选D.

    5.已知函数的图上关于轴对称的点至少有对,则实数的取值范围是   

      A.            B.             C.          D.

    【解析】依题意,需要轴左侧图象对称到轴右侧,即,需要其图象与

         轴右侧图象至少有个公共点,不能满足条件,只有,如图,

    此时,只需在时,的纵坐标大于,即,得.

    6.已知实数若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为(    )A.       B.     C.      D.

    【解析】做出函数的图象,如图所示,由图可知,当时直线的图象有两个交点,当时直线的图象有一个交点,题意要求方程有三个不同的实根,则方程必有两不等实根,且一根小于1,一根不小于1,当,即时,方程的两根为1,符合题意;当,即时,方程有两个不等实根,且一根小于1,一根大于1,符合题意.综上由.

    7.(2018年江苏卷)若函数内有且只有一个零点,则上的最大值与最小值的和为________

    【答案】–3

    【解析】,因为函数上有且仅有一个零点且,所以,因此从而函数上单调递增,在上单调递减,所以

    8. 设函数.

     1,则的最小值为______2恰有个零点,则实数的取值范围是             

    【解析】(1)当时,若;当时,则 时,  2时,无零点;不符;时,有一个零点;,符合;个零点;,符合. 综上得

    9.已知,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是           .

    【解析】由题意,问题等价于方程与方程的根的个数和为

    若两个方程各有一个根:则可知关于的不等式组有解,,从而

    若方程无解,方程2个根:则可知关于的不等式组有解,从而

    ,综上,实数的取值范围是.

    10.已知函数.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________              

    【解析】在同一坐标系中画的图象(如图),问题转化为

    图象恰有四个交点.当(或)相切时,图象恰有三个交点.把代入,得,即,由,得,解得.又当时,仅两个交点,

    三、解答题

    11.设函数为常数,是自然对数的底数).

    )当时,求函数的单调区间;

    )若函数内存在两个极值点,求的取值范围.

    【解析】I)函数的定义域为

    可得  所以当时,,函数单调递减,

    时,,函数单调递增.

    所以的单调递减区间为,单调递增区间为.

    II)由(I)知,时,函数内单调递减,

    内不存在极值点;  时,设函数

    因为

    时,当时,单调递增,故内不存在两个极值点;

    时,得时,,函数单调递减,

               时,,函数单调递增,

           所以函数的最小值为  函数内存在两个极值点;

    当且仅当    解得

    综上所述,函数在内存在两个极值点时,k的取值范围为.

     

     

     

     

     

     

    C

    一、选择题

    1.记方程,方程,方程其中是正实数.成等比数列时,下列选项中,能推出方程无实根的是(   

    A.方程有实根,且有实根  B.方程有实根,且无实根

    C.方程无实根,且有实根  D.方程无实根,且无实根

    【解析】按D考虑,则由,故选D.

    2.是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于(    )

    A6            B7            C8            D9

    【解析】依题,则这三个数适当排序排成等比数列必有

            这三个数适当排序后成等差数列应有,解得

            ,故,选D.

    3.已知函数 函数 ,其中,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是(     )

        A.         B.          C.           D.

    【解析】

    所以,即

    ,所以恰有4个零点等价于方程

    4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知. 故选D.

    4.定义在上的函数满足下列两个条件:(1)对任意的恒有成立;(2)当 时,.记函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是(   

                                        

    【解析】对任意的恒有成立,且当 时,.由题意得的函数图象是过定点的直线,如图所示红色的直线与线段AB相交即可(可以与B点重合但不能与A点重合),可得k的范围为.

    5.设函数上存在导数,有,在,若,则实数的取值范围为(     )

    A        B        C      D

    【解析】设,依题,则是奇函数,又,可判断

           上递减,不等式可转化为,则,得

           故选B.

    6.定义在上的奇函数,当时,,则关于的函数的所有零点之和为    

    A.          B        C           D

    【解析】由题意得:,所以当有五个交点,

           其中的两个交点关于对称,和为8;

           两个交点关于对称,和为-8;的一个交点,值为;因此

           所有零点之和为,故选B.

    二、填空题

    7.2018高考浙江卷)已知λR,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是

    ___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________

     

    【答案】  

     

    8.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则函数的零点个数为     个.

    【解析】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的图象的交点的个数.由已知条件作出函数的图象与直线的图象,如下图.由图可知,函数的图象与直线的图象有6个交点.

    9.已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是                   .

    【解析】令,得,设,即,原问题转化为直线与函数

      只有一个交点且此交点的横坐标为正,由,得,且

     递增,在上递减,在上递增,可知,由图象得.

    10. 函数互不相等,且,则的取值范围为         

    【解析】示意图象,由互不相等,且,不妨令,应有

      ,则

      ,可判断函数上递增,故

    三、解答题

    11. 已知,函数.

    1)当时,解不等式

    2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;

    3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.

    【解析】(1)由,得,解得

          2

                时,,经检验,满足题意.当时,,经检验,满足题意.

                时,

               是原方程的解当且仅当,即是原方程的解当且仅当,即

               于是满足题意的. 综上,的取值范围为

           3)当时,

              所以上单调递减.

             函数在区间上的最大值与最小值分别为

             ,对任意成立.

             因为,所以函数在区间上单调递增,时,

             有最小值,由,得. 故的取值范围为  

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