2019届二轮复习平面向量的概念及线性运算学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1．向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．平面向量的线性运算

一．向量的线性运算

二．向量的数乘运算及其几何意义

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①；②；③.

3．共线向量

共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

【重点难点突破】

考点1  向量的有关概念

【1-1】给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若是不共线的四点，则＝是四边形为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3        D．4

【答案】

【领悟技法】

(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．

(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．     

(3)几个重要结论

①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；

②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

【触类旁通】

【变式一】给出下列命题：

①的充要条件是且；

②若向量与同向，且，则；

③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

⑥任一向量与它的相反向量不相等．

其中真命题的序号是        ．

【答案】⑤ 学  ]

【解析】①当与是相反向量时，满足且，但≠，故①假；

②向量不能比较大小，故②假；

③与任意向量平行，故③假；     

④当与中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；

⑤由相等向量定义知，⑤真；

⑥的相反向量仍是，故⑥假．   

考点2 平面向量的线性运算

【2-1】【2018年新课标I卷理】在△中，为边上的中线，为的中点，则

A．     B．

C．     D．

【答案】A

，

所以，故选A.

【2-2】如图，正方形中，点是的中点，点 是的一个三等分点，那么等于（   ）

A．                      B．

C．                      D．

【答案】D

【解析】

根据向量加法、减法的三角形法则可知

,故选D.

【领悟技法】

1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

【触类旁通】

【变式一】【2018届四川省冲刺演练（一）】在四边形中，（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【变式二】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.

学+ + ]

【答案】=a＋b, a＋b，＝a－b.

考点3  共线向量

【3-1】已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量平行的向量为

A．     B．

C．     D．

【答案】B

【解析】分析：首先对各个选项进行分析，结合向量加法运算，以及正六边形的特征，利用向量共线的条件，求得正确结果.   

详解：因为，

故选B.

【3-2】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝，＝＋λ，则λ等于(　　)

A.      B.            C．－    D．－

【答案】

【领悟技法】

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

【触类旁通】

【变式一】已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在(　　)

    A．△ABC的内部               B．AC边所在直线上

    C．AB边所在直线上                 D．BC边所在直线上

【答案】

【解析】由得，∴.则为共线向量，又有一个公共点三点共线，即点在直线上．故选.

【变式二】设是不共线的两个向量，已知，，则(   )

A． 三点共线    B． 三点共线

C． 三点共线    D． 三点共线

【答案】D

【易错试题常警惕】

易错典例： 下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则a与b同向或反向；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为        ．

易错分析：概念理解不清致误．

正确解析：正解：若|a|＝0，则a＝0，故①错误；|a|＝|b|只说明a与b的模相等，它们的方向不能确定，故②错误；若a∥b且a，b为非零向量时， a与b的方向相同或相反，当其中一个向量为零向量时，另一个向量的方向任意．故③错误；④正确．所以正确命题的序号为④.   

答案：④

温馨提醒：(1)易忽略与0的区别，把零向量误写成0而致误．

(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a|＝|b|误推出a＝±b等．

(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.

【典例】【2018届安徽省安庆市二模】在中，点是边上任意一点， 是线段的中点，若存在实数和，使得，则（    ）

A．     B． 2    C． 2    D．

【答案】B