【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——13 平面向量的概念及线性运算 （原卷版 解析版）

重难点13  平面向量的概念、线性运算与平面向量基本定理基本定理

1.熟记常用结论

（1）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

（2）在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：

 ①＋＋＝0；

②＝(＋)；

③＝(＋)＝(＋)．

（3） 若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

（4）对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a，b，不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．

2.平面向量的线性运算技巧

（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

（3）平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

（4）在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

3.共线向量定理的三个应用

平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，2023年高考仍将重点考查向量的线性运算及向量共线的充要条件，难度为基础题或中档题，题型为选择题或填空题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知点则与同方向的单位向量为

A． B． C． D．

2．如图，正六边形ABCDEF中，=(   )

A．0 B． C． D．

3．中，边的高为，若，，，，，则（ )

A． B． C． D．

4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则

A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）

5．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

7．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

A． B．

C． D．

8．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

9.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

10．在中，，．若点满足，则（ ）

A． B． C． D．

11．已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则

A． B．

C． D．

12．已知向量，若时，；时，，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知向量，若，则_________．

14．　(1)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________.

＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.

15．已知点，若向量与=同向， =，则点的坐标为________.

16．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.

三、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量．

（1）若，求tanx的值；

（2）若的夹角为，求x的值．

18．已知是的三个顶点．

(1)写出的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;

(2)当直线与平行时,求顶点C的轨迹．