2019届二轮复习小题对点练5 立体几何(1)作业（全国通用）
展开小题对点练(五) 立体几何(1)
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一、选择题
1．如图2，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
图2
A. MN∥PD B. MN∥PA
C. MN∥AD D. 以上均有可能
B [因为MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，所以MN∥PA.故选B.]
2．(2018·成都模拟)一个棱锥的三视图如图3所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是( )
图3
A. B．1 C. D.
D [由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，由四棱锥的直观图可知，四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面积是×1×＝.]
3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
C．若l∥α，α∥β，则l⊂β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
B [若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；
若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故B正确；
若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故C错误；
若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l⊂β，故D错误；故选B.]
4．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则点A1到平面AB1D1的距离是( )
A．1 B. C. D．2
B [设点A1到平面AB1D1的距离为h，因为VA1AB1D1＝VAA1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝＝＝，故选B.]
5．(2018·大庆实验中学模拟)四棱锥PABCD的三视图如图4所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上， E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为( )
图4
A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π
A [四棱锥PABCD中PA⊥面ABCD，且ABCD为正方形，球心为PC中点，因为PA＝AB＝a，PC＝a＝2R，所以R2＝2＋()2⇒R2＝2＋()2⇒R2＝3，∴S＝4πR2＝12π，选A.]
6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图5所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
图5
A. B. C．3 D．6
B [由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：
其底面是底和高分别为5，的三角形，高为＝，则该三棱锥的体积为V＝××5××＝，从而该不规则几何体的体积为.]
7．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB＝2，AC＝4，BC＝2，三棱锥OABC的体积为， 则球O的表面积为( )
A. 22π B. C. 24π D. 36π
D [△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，由勾股定理可知斜边BC中点O′就是△ABC的外接圆的圆心，∵三棱锥OABC的体积为，∴××2×4×OO′＝，
∴OO′＝2，球的半径R＝＝3，所以球O的表面积为4πR2＝4π×9＝36π.故选D.]
8．已知在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
C [因为ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB.共5对．]
9．某几何体的三视图如图6所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则( )
图6
A．3∈A B．5∈A
C．2∈A D．4∈A
D [由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为4，BF的长为2，EF的长为2，EC的长为4，故选D.]
10．在四棱锥PABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点．若异面直线PA与BE所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( )
A．4 B．2 C. D.
D [连接AC和BD相交于点O，连接OE(图略)，则OE∥PA，则∠OEB＝45°，又∠EOB＝90°，则BO＝OE＝1，底面正方形的边长为，四棱锥的高为，则体积为×()2×＝，故选D.]
11．如图7，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点．动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
图7
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，
其中恒成立的为( )
A．①③ B．③④
C．①② D．②③④
A [如图所示，设AC、BD相交于点O，连接SO，EM，EN.
对于①，由SABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∵AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，MN，EM⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∵EP⊂平面EMN，∴AC⊥EP.故①正确．
对于②，易知EP与BD是异面直线，因此②不正确．
对于③，由①可知平面EMN∥平面SBD，
∵EP⊂平面EMN，∴EP∥平面SBD，因此③正确．
对于④，由①同理可得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即④不正确．故选A.]
12．如图8，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
图8
A. 7π B. 5π C. 3π D. π
A [依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝，则外接球的半径R＝.所以该球的表面积S球＝4πR2＝7π.]
二、填空题
13．某三棱锥的三视图如图9所示，则该三棱锥的全面积是________．
图9
4＋2 [三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知PO⊥平面ABC，OC⊥平面PAB，且OP＝OC＝2，OB＝OA＝1，∴PA＝PB＝＝，AC＝BC＝＝，PC＝＝2，∴S△PAB＝S△CAB＝2，S△PAC＝S△PBC＝，∴全面积为4＋2.]
14．如图10①所示，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a(L)水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(如图10②所示)．有下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；
图10① 图10②
③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；
④若往容器内再注入a(L)水，则容器恰好能装满．其中真命题是________．
②④ [易知所盛水的体积为容器容积的一半，故④正确，于是①错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故②正确；③的错误可这样推出：将图①中容器的位置向右边倾斜一些，可推知点P将露出水面．]
15．如图11，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都是，且顶点A1在底面ABC上的射影O为△ABC的中心，则三棱锥A1ABC的体积为________．
图11
[由题意可知，底面三角形ABC为正三角形，
由O为△ABC的中心，可知O为△ABC的外心，
则OA为底面高的，
∵底面三角形的边长为，
∴底面三角形的高为＝，
∴OA＝，
在Rt△A1AO中，由A1A＝，OA＝，
得OA1＝＝，
∴三棱锥A1ABC的体积为××××＝.]
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC, 在正方形ABCD中，AC∩BD＝O有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与CD所成的角为90°，④取BC中点E，则∠AEO为二面角ABCD的平面角．
其中正确结论是________．(写出所有正确结论的序号)
①②④ [如图①所示，取BD中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD，
所以BD⊥平面AEC，从而可得AC⊥BD，故①正确；
设正方形ABCD边长为1，则AE＝EC＝，
所以AC＝＝1，又因为AD＝CD＝1，所以△ACD是等边三角形，故②正确；
分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN，
则MN∥AB，且MN＝，ME∥CD，
且ME＝，则∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．
在Rt△AEC中，AE＝CE＝，AC＝1，
∴NE＝.
则△MEN是正三角形，故∠EMN＝60°，③错误；
图① 图②
如图①所示，由题意可得：AB＝AC，则AE⊥BC，
由BE＝EC，BO＝OD，BC⊥CD可得OE⊥BC，
据此可知：∠AEO为二面角ABCD的平面角，说法④正确．]
