2021高考数学大一轮复习考点规范练30等差数列及其前n项和理新人教A版
展开考点规范练30 等差数列及其前n项和
考点规范练B册第18页
基础巩固
1.(2019河北唐山高三摸底考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11=4,则S13=( )
A.13 B.26 C.39 D.52
答案:B
解析:由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,则S13==26,故选B.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
答案:B
解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.
3.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为( )
A.110 B.200 C.210 D.260
答案:C
解析:设{an}的前n项和为Sn.
∵在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,
又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100成等差数列,
∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.
4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是( )
A.18 B.19 C.20 D.21
答案:C
解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,
则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.
5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案:D
解析:(方法一)由题知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.
(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.
6.(2019广东汕头二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,2S3=2a4+S2,则a8=( )
A.8 B.9 C.16 D.15
答案:D
解析:由2S3=2a4+S2,得2(3a1+3d)=2(a1+3d)+(2a1+d),即2a1=d,d=2,故a8=a1+7d=15.
7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 斤.(注:“斤”非国际通用单位)
答案:184
解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,
由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,
即8a1+17=996,解得a1=65.
所以a8=65+7×17=184.
8.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
能力提升
9.(2019河北衡水高三下学期大联考)已知等差数列{an}的首项a1=31,公差为d(d为整数),若数列{an}的前8项和最大,则d=( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
答案:C
解析:由题意得所以-d<-又因为d为整数,所以d=-4.故选C.
10.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:
①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.
其中一定正确的结论是( )
A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④
答案:B
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则2a1+3a1+6d=6a1+15d,
即a1+9d=0,a10=0,故①正确;
若a1>0,d<0,则S9=S10,
且它们为Sn的最大值,故②错误;
S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,
即S7=S12,故③正确;
S19==19a10=0,故④正确.
11.设数列{an}的前n项和是Sn,若点An在函数f(x)=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
解:(1)因为点An在函数f(x)=-x+c的图象上运动,
所以=-n+c,所以Sn=-n2+cn.
因为a1=3,所以c=4,所以Sn=-n2+4n,所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n≥2).
又a1=3满足上式,所以an=-2n+5(n∈N*).
(2)由(1)知,bn==-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,
故数列{bn}为等差数列.
当n=1时,a1=-1<0,当n≥2时,an>0,则Tn的最小值是T1=-1.
12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求通项公式an;
(2)求Sn的最小值;
(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.
又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,
∴通项公式an=4n-3.
(2)由(1)知a1=1,d=4,
∴Sn=na1+d=2n2-n=2
∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(2)知Sn=2n2-n,∴bn=,
∴b1=,b2=,b3=
∵数列{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,即2=,∴2c2+c=0,
∴c=-(c=0舍去),故c=-
高考预测
13.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.
解:(1)∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,
解得
∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.
(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,
∴满足条件的n组成等差数列{bn},
且b1=20,d=5,bn=115,
∴项数为+1=20.
∴{bn}的所有项的和为S20=20×20+20×19×5=1350.
又an=2n,即an=2bn,
∴满足条件的所有an的和为2S20=2×1350=2700.
