2021高考数学大一轮复习考点规范练17定积分与微积分基本定理理新人教A版
展开考点规范练17 定积分与微积分基本定理
考点规范练A册第11页
基础巩固
1.若(sin x-acos x)dx=2,则实数a等于( )
A.-1 B.1 C.- D
答案:A
解析:(sinx-acosx)dx=(-cosx-asinx)=-a+1=2,∴a=-1.
2.若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=( )
A.-1 B.- C D.1
答案:B
解析:设f(x)dx=c,∴f(x)=x2+2c,
则f(x)dx=x3+2cx+2c=c⇒c=-,故选B.
3.(2019河北张家口质检)如图,由曲线y=x2-4,直线x=0,x=4和x轴围成的封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A(x2-4)dx B
C|x2-4|dx D(x2-4)dx+(x2-4)dx
答案:C
解析:当0≤x≤2时,S1=[0-(x2-4)]dx=(4-x2)dx;当2≤x≤4时,S2=(x2-4)dx.
故S=S1+S2=(4-x2)dx+(x2-4)dx=|x2-4|dx.
4.由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为,则m的值为( )
A.2 B.3 C.1 D.8
答案:A
解析:S=(m-)dx==m3-m3=,解得m=2.
5.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则时间在区间[1,2]内此质点的位移为( )
A B C D
答案:A
解析:s=(t2-t+2)dt=
6.由直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的图形的面积为( )
A.1 B.3 C.6 D.9
答案:D
解析:由
故直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积为S=(4-2x2-2x)dx==9.
7.设f(x)=sin tdt,则f的值等于( )
A.-1 B.1 C.-cos 1 D.1-cos 1
答案:D
解析:∵fsintdt=(-cost)=1,
∴f=f(1)=sintdt=(-cost)=1-cos1.
8.设函数f(x)=xm+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于( )
A B C D
答案:A
解析:因为f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,
于是f(-x)dx=(x2-x)dx=
9(ex+x)dx= .
答案:e-
解析:(ex+x)dx==e+-1=e-
10.若函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f'(1),则f(x)dx=.
答案:-4
解析:因为f(x)=x3+x2f'(1),
所以f'(x)=3x2+2xf'(1).
所以f'(1)=3+2f'(1),
解得f'(1)=-3.
所以f(x)=x3-3x2.
所以f(x)dx=(x3-3x2)dx==-4.
能力提升
11.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=2f(x0),x0>0,则x0=( )
A.2 B C.1 D
答案:D
解析:∵函数f(x)=ax2+b(a≠0),
f(x)dx=a+2b,
又f(x)dx=2f(x0),a+2b=2a+2b.
又x0>0,∴x0=
12.某物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m,则力F(x)做的功为( )
A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J
答案:B
解析:力F(x)所做的功为10dx+(3x+4)dx=20+26=46(J).
13.如图所示,曲线y=x2和直线x=0,x=1及y=所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A B
C D
答案:D
解析:由x2=,得x=或x=-(舍),
则阴影部分的面积为S=dx+dx=
14dx+dx= .
答案:2π+1
解析:因为dx=lnx=lne-ln1=1,
又dx的几何意义表示为y=对应上半圆的面积,
即dx=π×22=2π,
所以dx+dx=2π+1.
15.欧阳修《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为b2sin xdx cm的圆面,中间有边长为a=dx的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油,则油滴(油滴大小忽略不计)正好落入孔中的概率是 .
答案:
解析:因为直径为b=2sinxdx=(-2cosx)=4cm的圆中有边长为a=dx==1cm的正方形,由几何概型的概率公式,得“正好落入孔中”的概率为P=
高考预测
16.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A B C D
答案:D
解析:依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)dx=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.
